用洛必达法则求解高中函数问题的合理转换方法

包文涛

(福建省南平第一中学)

函数是高中数学的重要知识点,“由不等式恒成立求解参数范围”又是函数的热点问题,这类问题在实际求解中,大部分是通过对整体进行含参讨论,进而求解参数范围.在实际教学中,笔者发现,有部分学生无法掌握含参讨论的方法.如果对该问题进行参变分离求解函数确界,会出现“0比0”这类高中生无法求解的情况.于是,笔者提出了两种方法,引导学生在高中的知识体系下合理应用高等数学中的洛必达法则解决问题.

1 题型举例

例1 设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.若当x＞0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.

2 参考答案的求解过程

f(x)＝x(ex－1)－ax2＝x(ex－1－ax).

令g(x)＝ex－1－ax,则g′(x)＝ex－a.

若a≤1,则当x∈(0,＋∞)时,g′(x)＞0,g(x)为增函数,而g(0)＝0,从而当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥0.

若a＞1,则当x∈(0,lna)时,g′(x)＜0,g(x)为减函数,而g(0)＝0,则当x∈(0,lna)时,g(x)＜0,即f(x)＜0.

综上,a的取值范围是(－∞,1].

3 参变分离求解的情形分析

4 高等数学中的洛必达法则进一步求解

5 在高中知识体系下的转换方法

5.1 在高中知识体系下转换方法1

在高中数学导数这一章中,第一节就介绍了极限的概念,并由此引出导数.因此,虽然此类题型在高中生的视角下无法直接使用洛必达法则求解,但可以通过极限,将其转换为导数的定义,进而绕过洛必达法则,解决此类题型,具体过程如下.

5.2 在高中知识体系下的转换方法2

笔者在实际教学中发现,对于基础薄弱的学生来说,导数的定义相对较为陌生,并不能很好地应用方法1进行求解.针对此类学生,笔者提出了方法2,供其参考.方法2的思路在于“先猜后证”.

6 应用举例

7 小结

在解决该类问题的传统方法中,含参讨论是解题的难点.本文采用两种方法,使得该类问题能够通过参变分离进行解决.

方法2通过“先猜后证”的形式,求出参变分离后新函数的确界,进而解决该类问题.实践表明,这种处理方式,更适合基础薄弱的学生.

两种方法都能将高等数学中的洛必达法则延伸到高中数学中使用.在平时的学习中,学生可以在标准答案外,扩展、延伸这两种方法,依据自身理解,在具体解题中选择适合自己的方法.