高等代数教学改革的若干策略

黄政阁 崔静静

广西民族大学数学与物理学院 广西南宁 530006

1 概述

高等代数[1]是数学系本科专业最重要的专业基础课程之一，也是报考数学专业研究生的必考专业课之一。这门数学基础课程具有很强的理论性和实用性。因此，学好这门课程对数学专业的学生是至关重要的，它可以锻炼数学抽象思维，同时这门课程也是数学专业后续许多课程的基础，如数值分析、常微分方程等课程均用到线性方程组的求解理论和矩阵的代数性质，如泛函分析中学习的各类空间是在高等代数中的线性空间和欧式空间的基础上提出的。

鉴于高等代数这门课程的重要性，有必要探讨研究如何让学生学习好这门课程，系统地掌握好它的各知识点，且将其灵活地进行运用等问题。而与之密切关联的因素是高等代数的教学策略是否有效得当。老师是人类文化知识的传递者，是人类文明知识的延续与发展的桥梁。教师的引导和教学的效果与学生学习的主动性、兴趣、学习效率有着极大的关系。

由于高等代数课程知识点多，课本中涉及的模型较少，内容抽象，而且还需要通过做习题来掌握和巩固知识，因此这门课程的教学需要大量的课时。但对大多数高校来说，上课时间比较有限，因此，大多数老师对这门课的教授采用的是“灌输法”，教学手段单一，即主要采用板书的方法将高等代数的知识讲授给学生；甚至有些老师在课时不够的情况下把上课变成赶课，这种方式会降低学生学习的兴趣；对于一成不变的教学方式，人的专注力会逐渐下降，影响学习效率，不利于学生对知识的掌握。另外，此教学方式容易让学生对抽象的知识产生疑问：在生活上没有直观地见过这些知识，学习它对以后的工作发展有没有帮助？若上课只讲知识而没有很好地对知识进行引入，未体现应用背景，或未做好师生互动也会降低学生的学习兴趣，而且大多数学生在学习高等代数这门课程时掌握的知识是片段不连续的，对高度抽象的知识未形成知识网络将会导致学生对所学知识记忆不深且对其难以运用。解决这些问题需要教师们有针对性地采用合理高效的教学模式，传统单一的教学模式适应不了当前社会的发展，也无法使学生高效地掌握高等代数的知识，故需要通过使用或结合例如多媒体、微课[2]、大班授课小班研讨[3]等这些教学方式，提高学生对所学知识的掌握和应用。以上所述问题等都会对学生有效学习高等代数的知识产生较大的影响，因此有必要探究当前高等代数的教学模式，提出其若干教学改革策略，改变传统灌输式的单一教学模式，提高学生学习这门课程的积极性和对所学知识的应用能力。针对在高等代数教学中存在的问题，已有许多教育工作者提出了一些教学改革措施来提高教学效果。例如，文献[2]提出了将传统教学和微课进行结合，可促进学生课后思考，提高学生解决问题的能力及学习的积极性；文献[4]提倡引导学生数学思维从低到高进行过渡，可使得学生更好地适应抽象的高等代数知识；文献[5-6]提出了培养学生问题意识，激起他们求知欲望和兴趣；更多改革方案可参阅文献[7-12]。本文基于已有的教学改革措施，进一步从师生关系、引导学生学习动机意识、教学技术、教学模式、作业特点、复习方面及考核方式几个方面提出若干高等代数的教学改革策略，对已有教改措施是有益的补充，可有效地提高课堂教学效果及提高学生学习的积极性和应用知识的能力。

2 高等代数教学改革的若干策略

2.1 从在课堂上师生之间的关系方面进行改革

2.1.1 在课堂上学生和老师是一个整体，且以学生为中心

作为一个老师，若上课时不顾学生的掌握情况，自己讲自己的，就无法使学生融入课堂，这势必对学生学习知识产生不利的影响。老师应树立老师和学生是一个整体、两者不能分离的思想，且在课堂上以学生为中心，以使学生良好掌握高等代数知识和数学思维为主要目标来实施教学过程。部分老师以不正确的方式——自己单位时间教授知识的多少来衡量教学效率，应变为以学生为中心，即以单位时间内学生掌握、理解所学知识的多少来衡量，这也体现了以学生为本的思想。

2.1.2 正确建立老师和学生之间的关系，建立正确的教学意识

作为教育教学过程中的两个主要角色，老师和学生之间建立良好的师生关系是非常重要的。老师上课时的语言行动对学生的学习有着潜移默化的影响。因为从小学到中学，再到大学，老师一直是以学生管理者的身份出现在课堂上以及学生的生活中，所以学生一开始对老师或多或少有种畏惧的心理。因此，建立好老师与学生之间的关系，多与学生交流沟通，降低或消除学生对老师的畏惧心理是激发学生思考问题、提高学习主动性的好方法。

(1)对待学生老师心理要平衡，要以相同态度对待学习好和学习差的学生。建立民主、平等的教学气氛，不仅要能够使学生意识到自己是学习的主人，还要意识到自己能力不比别人差。否则会对学生的心理产生影响，觉得自己没人关心，能力不行，使得学生的自信心下降。

(2)在教育学生时避免伤害学生的自尊心。对待课堂上影响教学活动的行为，例如睡觉、上课说话等行为尽量采用负惩罚方式，稍微减少对不遵守课堂纪律的学生的鼓励，让其在心理上有一个对自己行为进行反思的过程。

(3)鼓励学生思考并回答老师提出的问题。学习新课程之前，可告诉学生：“老师不是课堂唯一的主持人，每个同学都是主持人，同学们可以大胆思考并回答老师提出的问题。”例如，在讲子空间的交与和时，可先告诉学生交与并是常见的集合运算，子空间的交还是子空间，那么它们的并还是不是子空间呢？让学生们大胆思考，无论回答是否正确，只要有自己的想法，哪怕回答错误，也不应该批评，而是应该鼓励并给予他们正确的解答。老师在听取学生想法时应以鼓励为主，可说：“你的想法不错。”但也不能一味去夸奖，要让他们明白自己的想法哪里有缺陷，为什么会导致错误，并引领学生探索正确的答案。

2.2 从引导学生学习动机和问题意识方面进行改革

2.2.1 要注重培养学生正确学习高等代数的意识

俗话说得好：“兴趣是最好的老师。”正确引导学生学习高等代数，使其产生学习兴趣，是提高他们学习这门课程主动性最好的方法。因此，老师的正确引导是非常重要的。课程开始阶段，学生面对多项式理论、行列式、方程组、矩阵、二次型、线性空间等这些抽象的概念，往往觉得学起来比较困难，因此如果一开始没有形成良好的求知欲和兴趣，往后的学习很难再有较高的学习积极性，这是学习困难产生的心理作用。新生普遍具有这样的心理特点：对新接触到的知识具有较强好奇心；心理不够成熟，具有依赖性[13]。老师要抓住大学新生对知识渴望、好奇但又依赖老师授课的心理特点，正确引导他们迈入高等代数知识的学习中。例如，通过开讲座讲授相关知识、历史背景、在生活中的应用、课程的重要性来提高学生的学习兴趣，以及多鼓励学生，多与学生面谈释放他们的心理压力；课后多辅导学生，降低他们对高等代数学习困难的恐惧等。此外，相比中学时期，大学生具有对新事物的观察比较敏感、深刻、明确[14]，而不仅仅满足于对课本上内容的学习的认知特点。老师要抓住大学新生这些的认知特点，培养学生形成良好的学习意识。例如，可基于大学生对新事物观察比较深刻明确的特点，利用生活上常见的物体来形象体现高等代数里的一些概念，比如一个表格中的数据，可将它们以整体的思想展示给学生看，其实这就是一个矩阵；又好比在家里摆放家具时通常要调整角度，其实就是一个线性变换，其可使学生更易理解知识，引发学生的学习兴趣，促使学生在平时学习高等代数知识时将所学知识与生活对象和现象进行类比。

2.2.2 老师要根据教授内容的难易程度来恰当控制学生学习的动机水平

高等教育心理学表明，学生对高等代数的学习动机和学习效果是紧密联系、相互制约的。学生学习动机水平的提高往往可促进学习积极性，但并不总是成立的。著名的耶克斯—多德森定律表明，最佳动机水平与任务难度是密切相关的，任务较简单，那么最佳动机激起水平较高，反之较低[14]。由此可知，当老师在上课时可针对教授内容的难易程度，对学生的学习动机进行相应地调整。例如，在讲线性变换的值域与核这一节的时候，关于线性变换的值域与核的定义对学生来说是较容易理解的内容，因此可稍微加快语速和提高分贝，使学生在吸收这些知识时尽量保持注意力集中一些，这样对较简单的知识理解和掌握更快；而关于较难的知识点，如线性变换值域与核的维数与基之间的关系，应放慢语速，语调平和，给学生创造一个轻松自由的学习环境。且在讲这个内容时可以穿插一些简单的知识点，面带轻松的笑容，微笑讲授，灵活运用耶克斯—多德森定律来充分提高学生的学习积极性。

2.3 从教学方法和教学技术方面进行改革

2.3.1 在学习新内容之前要利用合适的方法引入

高等代数是高度抽象的数学学科，学生学习起来比较枯燥，因此老师准确有效地引入知识可引发学生的兴趣和思考。可考虑运用图形引入和问题引入两种方式，图形引入如：在第九章欧几里得空间中讲到欧式空间的三角不等式|α+β|≤|α|+|β|时，首先利用中学的平面向量图形(见图1)来帮助理解：

图1

学生在平面向量中对三角不等式容易理解，之后给学生说明欧式空间是一般几何空间的推广，这个结论有可能也是成立的，再给出相应的证明，可使学生的思维有过渡，由初等代数思维推广到高等代数思维，则学生在学习新知识时较易接受。

问题引入通常可激发学生对新知识的求知欲和探索欲。例如,在讲授二次型之前，先回顾解析几何里的二次曲线和二次曲面方程的形式，让学生了解它们的形式都具有什么特点？它们都是二次齐次多项式且来源广泛，初步了解二次型的定义及学习相关知识的意义。再提到判断二次方程的类型有利于研究它们的性质，这里涉及二次曲线的化简问题，让学生回忆解析几何中化简的方法，进而引入线性替换的概念。此外，为什么要学习欧几里得空间？先比较一下线性空间中元素的性质和几何空间中元素的性质有什么差别？线性空间中元素不涉及向量的长度和方向(夹角)，但为了更好地研究线性空间中元素的性质，有必要将度量性质引入线性空间，进而引出欧几里得空间的必要性。当然，引入新知识的设计方法很多，关键是老师在教学过程中要有意识地对所讲知识进行合适的引入，从而使学生从具体的数学思维上升到抽象的数学思维，对新知识产生兴趣，促进学生思考。

2.3.2 在课堂上要经常设问引发学生的思考

在课堂上经常设问让学生思考是学生与老师之间的一种交流和互动，可拉近两者之间的距离。1987年《高等教育教学新动向》的报告认为课堂内外学生与教师经常的接触是影响学生动机和参与的最重要因素[15]。在讲授知识的过程涉及很多数学证明，证明过程的每一步常利用到前几节甚至前几章的知识点，这时每推导一步就可向学生设问该步怎么来的，用到什么知识？如在证明两个子空间的交是子空间时，可问学生怎么证明？这时候引发学生回顾子空间的定义：(1)线性空间的非空子集；(2)关于所定义的加法封闭；(3)关于所定义的数量乘法封闭。这使得学生在脑海里复现了此概念，达到巩固知识的目的。另外，合理设问可激发学生的思考和探究，自然引申出下一个知识点。例如提问：两个子空间的并的元素关于加法不一定封闭，因此它不一定形成子空间。那么能不能在子空间的并的基础上构造一个新的子空间？这就促使学生思考要包含子空间的并，必须要包含两个子空间中所有元素的和，进而自然引申出子空间的和这一定义。

2.3.3 采用延伸、类比、数形结合等方法培养学生举一反三、创新和逆向的思维

高等代数中蕴含许多重要的数学思想，教授这门课时培养学生掌握举一反三、创新和逆向的思维可让他们在学习中形成主动思考探索的意识。

(1)采用延伸法培养学生的创新思维：向学生展现从范围较小的对象到范围更广的对象，从简单的对象到复杂的对象，从特殊的对象到一般的对象的性质变化，可提高学生数学思维。例如，在讲线性空间定义时，先回顾n维向量空间、数域P上全体n级矩阵和闭区间上连续函数全体的性质和运算，让学生思考它们关于运算方面共同的特点——关于所定义的加法和数量乘法封闭，且满足八条运算规则。从几个特殊的空间，提取出关于加法和数量乘法的共同特征，延伸出线性空间的定义，让学生更好地理解和掌握这个知识。另外，在讲授欧式空间基本定义及性质时，首先在线性空间的基础上引入度量的概念——内积。引入内积之后，自然延伸到向量长度和夹角的定义，那么这里需要满足什么条件？对内积有什么性质要求？是不是自然成立的？这可促进学生的思考，提高其学习主动性并积极寻找答案，培养其创新思维。

(2)采用类比法培养学生举一反三的思维：利用形式或定义类似的对象进行比较，促进学生思考它们的共同点和区别。例如在学习逆变换σ-1时先让学生回顾：a(a≠0)的倒数是1/a，它们满足1/a×a=a×1/a=1，接着思考关于可逆变换σ的逆变换应满足什么条件？由1/a×a=a×1/a=1这个式子可类比出满足条件σ-1γ=γσ-1=1(这里1表示单位变换)的变换γ是可逆变换σ的逆变换。通过类比，可让学生对具有类似性质的数学对象进行分类总结，从而加深记忆和理解。此外还可培养学生举一反三的思维，例如关于可逆矩阵A的逆矩阵满足什么条件？学生根据类比法就不难想到满足条件AB=BA=I的矩阵B是矩阵A的逆矩阵。

(3)采用数形结合法培养学生逆向思维：利用数形结合法可清晰地向学生体现高等代数的知识主线，也可用来培养学生的逆向思维。例如，在教授线性子空间的内容时，由子空间关于所定义的加法数乘的封闭性可知，若子空间包含有限多个元素a1，a2，…，ak，那么它们的和与倍数同时也包含在此子空间中。反之，如果一个集合包含元素a1，a2，…，ak，那么它应该满足什么条件才能形成线性子空间？这个问题可以通过图2展示出来：

图2

这里就促使学生不仅想到子空间的基本性质——关于所定义的加法和数乘是封闭的，而且反过来思考，若要求包含若干给定元素的集合是子空间，那么应满足什么条件？即需要包含这些给定元素的所有线性组合，从而引出生成子空间的定义。这里就通过数形结合方法来激发学生反向思考，培养学生的逆向思维，加深对知识的理解。

2.4 从教学模式方面进行改革，根据学生的具体学习情况灵活运用多种教学方式

使用单一的教学方式在当今电子科技高速发展的时代往往不能满足教学的需要，仅仅使用PPT教学对于高等代数这门高度抽象化、对数学思维要求高的课程，需要老师在黑板上一步步推导证明过程来体现数学思维，使用PPT授课某些数学思维和知识点不能完全体现，会导致学生跟不上老师的节奏。但仅仅使用传统的教学方式——板书往往会使得学生觉得课堂枯燥，注意力逐渐下降，不利于对课程的学习，这就说明了采用多种合适的教学手段是非常必要的。对于比较简单的知识点，可以通过PPT直接体现给学生，提高教学效率；而对于较难的知识点，需要老师结合PPT和板书来教学，PPT可以体现概念，节省老师在黑板上抄写一些简单数学概念的时间，也可方便老师在推导时，学生对应参看PPT上的概念和定理叙述。此外，一些抽象的概念如子空间的和，用板书效果不是很好，但用PPT动态旋转体现，会使学生更清晰地了解该定义。如将3维几何空间的Z轴看作子空间V1，X0Y平面看作子空间V2。用PPT动态图(见图3)表示V1和V2的和，可让学生更直观了解该定义。

图3

2.5 从复习方式进行改革，采用知识框架将知识串联起来

高等代数这门课程具有知识点多、概念抽象等特点，学生学习这门课程往往比较困难，在学生脑海中高等代数的知识往往是片段性的，而不是连续性的。具体来说就是章与章之间、节与节之间的知识没有形成联系，这对于有效掌握运用所学知识是比较困难的。这时可通过知识框架将知识串联起来，让学生在脑海里形成知识网络。例如，在复习第6章线性空间时，可采用如下图4中的知识网络框架将整章的知识串联起来：

图4

这样学生可根据该知识框架中小节知识之间的联系来回顾复习整章内容，再如第八节同构映射，与第一节映射的定义密切相关，可以将线性和向量空间的联系体现出来。此外在复习子空间的直和时，根据知识框架中的箭头可以回顾出子空间直和可通过子空间的交、子空间的维数关系、子空间基的性质来判断。充分利用这个知识框架图，使用知识框架给学生复习可将知识整体化，在大脑中形成知识网，不仅提高复习效率，还可提高学习知识的整体性。

2.6 从考核方式进行改革，采用多种考核方式提高学生对所学知识的运用

当前高等代数的考核方式基本上都是以期末考试为主，导致学生在学习高等代数中重结果轻过程，也会导致学生以考好考试为最终目标，重理论轻应用。要改变这种情况，需采用多种考核方式。如将考核方式改为考试与考察相结合，设定最终成绩为平时成绩和考试成绩按比例分配的总和。平时成绩应根据平时作业、随堂测验、随堂提问以及课后小论文等完成情况来评定。其中随堂测验和随堂提问可使学生保持注意力，促进思考，进而提升课堂教学效果；另外课后小论文，例如用第三章线性方程组的相关知识去解决一些实际生活中的科学或工程问题，比如确定卫星的位置[5]，这些可促使学生在课后去图书馆或上网查阅相关资料来寻找合适的方案。不仅对所学知识的进行了应用，而且进一步巩固了所学的知识。此外，老师的教学意识对学生的学习方式影响也是深远的，老师作为课堂传授知识的导向人，应以自身为榜样，不能重理论轻应用、重知识轻思想，在课堂上过度强调考试成绩的重要性，会给学生形成考试很重要，学习过程和知识应用无关紧要的意识。

结语

当今社会的科学在飞速发展，对科学高水平人才需求越来越高。而科技的发展与数学的应用是密不可分的。因此学生学好高等代数这一门重要的数学专业必修课是非常重要的，而当前主要采用的板书的教学手段将高等代数的知识讲授给学生的“输灌法”及传统的考核方式不利于学生的思考和学习积极性。因此改变已有的旧教学考核模式来提高课堂效率，促进学生学习动机，形成良好数学思维并最终运用所学知识是我们努力实现的目标。

本文从师生关系方面、培养学生学习意识方面、教学技术模式方面、复习方面、考核方面给出高等代数教学改革的若干方案。目前已有相关教育工作者提出了这门课程的若干教学改革策略[2-12]。本文提出的几点教学改革措施可作为已有改革方案的补充，对它们进行结合采用，可期望提高学生对高等代数的学习的主动性，对培养思维更有效。