用图式语言助力几何直观

林 梅

(福建省福州第二十九中学 350028)

用图形助力几何直观是培养几何直观的很好的策略.初中生几何直观能力存在萌芽期，发展期，成熟期，不管哪个时期都应以图形为抓手，逐步培养学生的识图、作图、析图的能力，要关注图形背后的数学理性理解，不能仅仅局限于图，而是应以图形为载体，力争使核心知识走向核心素养.

1 几何直观能力的萌芽期

1.1 看一看：培养识图习惯

小学升初中阶段即几何直观能力的萌芽期，小学阶段学生图形方面的训练较少，大部分初一学生用图意识不强.所以首先要持之以恒地培养学生的读图意识，加强图感与图形语言的强化训练，其次要培养学生有序地进行识图的习惯，要归纳出一类图形的观察方法与步骤，要培养学生有目的，有方向地识图，准确描述图形，养成正确的识图习惯.以人教版教材数轴教学为例：数轴的教学这是初中第一次数形结合的教学，也是几何直观能力的第一次呈现，在数轴识图阶段，学生首先要明确数轴三要素，其次要懂得从左到右的顺序观察数据变化趋势，体会数与形的相互转化.在教学中要多鼓励学生用图，尽可能多的用图形解决问题，形成知识的“心理图像”.

1.2 画一画：由简入手

除了识图，画图也是小学到初中衔接阶段的重要内容.作图的过程，就是对图形的实践操作过程，在画图过程中，感悟图形的生成过程，从而实现小学生感性思维到初中生理性思维的飞跃.但是画图能力并非与生俱来，教师要根据学生的认知规律，引导学生由简单到复杂，从特殊到一般，逐级而上，从学生熟悉的图形入手，从简单的实物入手，通过作图实践，观察操作，从实物中抽象出几何图形，使学生感知实物与图形间的联系与转化.刚开始培养阶段先学会用刻度尺和量角器量，学会画出整厘米数的线段和整度数的角，再过渡到画线段、角的和、差、倍、几分之一等分线段和几分之一等分角，然后再慢慢过渡到稍复杂的图形.在学习简单几何推理时 , 教会学生利用量角器和直尺直观理解和近似检验(不是证明)几何命题.教会学生根据已知条件画出图形，量出未知的线段和角度 , 从而求得某些计算问题的近似解答，为学生的解题教学打好上升的阶梯.同时要关注有画图能力发展点的教材新授课，基于画图视角重新设计，改进教法，借助图形发展学生的可视化思维.

1.3 写一写：三种语言的转换

文字、符合、图形这三种语言的转化是几何学习的基本功，几何中的定义、定理一般是用文字语言表述，但数学的语言更多的是符合语言与图式语言，所以如何有效互译，是几何教学的重点.教师在培养学生语言互译时要循序渐进，先训练学生“看图说话”，再逐步训练学生“看图写话”，教学中也可用自然语言过渡到几何语言.一开始学生的书写可能很难一步到位准确描述，教师可通过例题先进行规范书写地示范，学生可通过填空的方式，先是填一两个字，再逐步到会填半行，最后到符号语言的完整表述；反过来也可以只给图形与符号语言，要求学生进行文字语言的准确描述，或者给符号与文字语言，能画出对应的图形，实现文图的转换.

2 几何直观能力的发展期

几何直观能力的发展期，学生更多的是从感性思维上升到理性思维.教学中不再仅限于量一量，测一测，更多地要求学生会进行严谨地几何推理，准确地画图，规范地描述图形.因此教学中要关注这几个方面.

2.1 思一思：理解作图原理

尺规作图是初中数学难得的操作内容，其表现是操作，但实质却是图形性质的逻辑推理，是联系、重构、内化几何知识的教学素材，是培育学生几何直观能力很好的载体.人教版教材的五种基本作图，只有“做一条线段等于已知线段”在人教七年级上册第四章，其余四个都在人教八年级上册，教材的编写意图很明确：八上必须完成操作性训练，也就是要求学生要会用尺规作图做出五种基本图形，但仅仅是按部就班掌握几种基本操作就可以了吗？教材从八上全等单元就已经要求灵活应用五种基本作图构造全等图形，从2018年开始福建省对作图问题的考查，从基本作图转向了复合作图，这就需要学生要经历分析作图的步骤，明确先作什么后作什么，思考作图的合理性，知道作图背后的原理，要发挥教师的引导作用，帮助学生融会贯通地操作作图步骤，理解作图背后的原理.课后作业也可以作为载体，通过布置相关的画图作业，充分利用教材中的基本图形，要求学生1:1高仿真的照搬书本中的图形，学生通过精确作图，更容易发现基本图形中的位置关系、数量关系等基本图形的特征，实现巩固画图技能，展现思考过程，提升画图能力，发展几何直观思维能力的目的.

2.2 画一画：强化作图规范

作图技能类，重在数学作图的基本技能.关于基本技能，人教版教材除了五种基本尺规作图，同时在平移，旋转，轴对称等内容中都设有相应课时和习题强化作图.在新授课阶段教师应准确规范地一步步进行操作性示范，准确规范地进行几何语言相关描述，同时要按部就班地写出画图的步骤，学生方面则要求在画图过程中要边画边标注，每操作一步都必须用符号进行标注，同时会用几何语言描述作图过程.教师在课堂上要让学生百花齐放，展示不同画法的优劣，理解学生的独立思维能力及解题能力，同时要做进一步的归纳提升，发展学生的思维，才能使画图教学成为几何直观能力培养的重要助力.

2.3 译一译：加强三种语言转化

在前面已有基本的三种语言互译能力的基础上，进一步加强文图转换能力的训练，如“读句画图”练习，教学中只给出文字，要求学生利用文字画出图形；加强学生具备精确感知语言的能力的训练，如进行“文字命题证明”的逆向训练；多进行代数结构与几何结构的联想训练，只有代数结构与几何图形的联想越丰富，“数”、“形”之间的转换才能越自如，思考问题的角度多变，解决问题的方法才会多变.数与式教学也是很好的切入点，教师应将数学语言互译教学贯穿于教学的始终，利用到概念、定理、解题的各个环节，渗透培养灵活互译数学语言的能力.

3 几何直观能力的成熟期

几何直观能力发展的成熟期，是在发展期的基础上识图、作图、析图能力的大综合.如果说识图更多地是聚焦于学生的认知层面，画图更多地聚焦于学生的动作思维层面，数学析图则更多是关注学生思维的思辨性.体现在几何综合教学中，学生需学会析图解意，借助“草图”——几何直观，逆向思考，通过明确图形中点、线、面的生长过程，了解图形的生长思路，通过画图寻求解题思路，通过识别基本图形寻找解题方向，通过用图提升解题教学，从而发展学生的数学思维.

3.1 辨一辨：析图再构图

几何图形千变万化，要想从繁杂的图形中解脱出来，要从本质上把握它，认清图形间的相互关系，揭示其中丰富的几何内涵.因此必须要学会析图，对图形进行各个角度与位置的多方面分析，精细化的认识图形.教师不仅要帮助学生对图形特征有准确、清晰地认知，还要引导学生基于已有图形信息，根据图形特征进行联想和推测，从复杂的图形中分离出基本图形，发现图形中的基本元素及其关系，并由基本图形的性质推导出复杂图形的性质，发现隐蔽的数量关系，获得解决问题的线索.当学生能自如的进行图形的组合与分解时，才更能把握图形的内涵.

例1已知点P是直角△ABC斜边AB上一点(不与A,B重合)，分别过A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.

图1 图2 图3

(1)如图1，当点P与点Q重合时，试探究AE与BF的关系；

(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，AC=BC,CE∶AE=1∶3,△EFQ的面积等于4，求△AQE的面积；

(3)如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形.若AC=BC,AE∶CE=1∶3,四边形AEFQ的面积等于4，请直接写出△BQF的面积.

图1中是中点的基本图形，这个图形始终贯穿着整道题，图2除了中点图形还增加了异侧的一线三等角及等腰直角三角形的基本图形，三角形面积的基本图形即高一样的情况下，三角形面积比就是底的比.图3仍然有中点的图形，异侧变为同侧的一线三等角，三角形面积的基本图形，还增加了共顶点双等腰的旋转，第(3)问除了用三角形面积的基本图形，还可以用直角三角形的勾股定理及角平分线的基本图形进行分析.在对问题进行详细解析后，我们发现复杂图形都是由基本图形通过重叠、拼补等方法所组成.要教会学生在复杂的图形中拆解出基本图形，以基本图形为抓手，寻求解题的方向与策略，洞察本质，从而实现问题的关联与转换.

既然基本图形在我们几何教学中如此重要，我们要关注基本图形的哪些方向呢，当然是位置关系与数量关系，更进一步应该是基本图形的应用条件及应用方法的问题.在一个几何问题中，为什么会想到此基本图形呢，除了题目中出现的蛛丝马迹的线索，更重要的是这个基本图形本身的特征，依据图形的基本特征来决定图形的应用.

3.2 动一动：换位揭示图形本质

对于运动中的图形，我们在用几何画板演示的过程，应该让学生理解图形生成的基本状态，在运动的图形中，动中必存在静，理解图形中哪些是变化的量，哪些是不变的量，“直观出图形的不变性质”，这才是我们要追求的图形直观的境界，所以在平时的教学中，要多让图形变一变，同一图形改变它的不同位置或不同形态，从运动变化的角度观察分析图形，对图形的位置关系与变换进行空间想象，融会贯通，把握图形的本质.还可以只给出部分图形，要求学生补齐全部图形，实现局部与整体的相互转化.甚至可以以某个知识点为生长点，不断拓展图形，进行图形的重叠与累加.

从几何直观的视角引导数学学习，教师要不断激活学生的图感，不断挖掘学生读图，画图，析图、创图的能力，采取合理的措施，将培养学生几何直观能力的理念始终贯穿于初中教学中.