锚索预应力损失模型及预应力补偿时机分析

史克友，吴小萍,2,3，王泽坤

(1.中南大学土木工程学院，湖南长沙，410075；2.中南大学高速铁路建造技术国家工程实验室，湖南长沙，410075；3.伦敦大学学院交通研究中心，英国伦敦，WC1E 6BT)

在修建高速公路、铁路过程中，需要对沿线开挖的边坡进行支护，以提高开挖边坡的稳定性，从而保证道路的运营安全[1-3]。边坡的支护方法有很多种，常用的边坡支护结构有挡土墙[4-6]、抗滑桩[7-8]、预应力锚杆[9]和预应力锚索[10-11]，其中，预应力锚索具有强度可靠、施工简便及经济实惠等优点，在边坡支护工程中得到广泛应用。预应力锚索可以充分发挥自身的强度，将岩体软弱结构面与稳定岩层联系在一起，从而改变边坡岩体原有的应力状态，提高边坡的整体稳定性。采用预应力锚索对边坡进行加固时，锚索的有效预应力是锚索发挥支护作用的前提和保证。但SUNG等[12-14]通过对边坡锚索的预应力进行长期监测后发现，锚索预应力损失的现象在锚固工程中十分普遍。研究者建立了许多物理模型，通过理论分析对锚索预应力损失的现象进行了研究，如：陈拓等[15]在所建模型中考虑了卸荷因素；徐毅青等[16]在所建模型中考虑了锚索预应力的初期及长期损失；李涛等[17]针对膨胀土层建立了锚索预应力的流变损失模型。这些模型认为锚索的长期预应力损失主要与加固岩土体的蠕变有关，受锚索张拉荷载的长期作用，岩土体发生蠕变变形从而引起锚索回弹收缩，进而使锚索预应力长期损失。这些模型忽略了框格梁在锚固边坡中所起到的作用，锚索预应力损失模型的建立是以假设岩体均匀受力为基础，而框格梁正是锚固边坡中岩体均匀受力的保证，因此，在建立锚索预应力损失的物理模型时不应忽略框格梁所起到的作用。此外，由于锚索预应力损失直接影响着边坡的支护效果，在实际工程中，施工完成后大多采用2次张拉的方式对锚索的预应力进行后期补偿。锚索的2次张拉时机对其预应力的补偿效果有直接影响。明确锚索的预应力补偿时机，不仅可以保证锚索的预应力补偿效果，同时便于现场人员的调度及施工的统筹安排。鉴于此，本文对锚固边坡中框格梁所起的应力扩散作用进行探讨，并基于锚索、框格梁及岩体三者之间的相互作用关系，建立考虑框格梁作用的锚索预应力损失模型；同时，利用所建模型对锚索的预应力补偿时机进行研究，以便为锚索加固边坡的施工及锚索预应力的后期补偿提供依据。

1 框格梁对集中应力扩散范围的影响

锚固边坡锚索张拉后，可视为在边坡支护面上各锚索张拉处施加一个集中荷载，锚索在张拉后由锚具锁定，由于锚具截面积小，锚索张拉处的应力近似为集中应力，若无框格梁作用，则集中应力将直接作用在岩体表面，极易造成岩体破碎及开裂。在含有框格梁的锚固结构中，锚索张拉后的集中应力先作用在框格梁结构上，然后通过框格梁传递至岩体表面。这里以有限差分软件FLAC3D研究框格梁对锚索张拉后集中应力扩散范围的影响。

1.1 模型建立及参数

这里主要研究框格梁对集中应力扩散范围的影响，故对所建分析模型进行简化，仅以法向集中应力的扩散范围作为研究对象。本文建立2个数值分析模型：一个是没有框格梁作用的数值分析模型，4个集中荷载P直接作用于岩体表面，荷载P的作用范围为图1中红色区域，作用面积为0.4 m×0.4 m(与框格梁截面积相同)；另一个是含有框格梁的数值分析模型，4个集中荷载P直接作用于框格梁表面。模型尺寸如图1所示，荷载P以依托工程郑西(郑州—西峡)高速EK1+650断面深路堑边坡)锚索张拉荷载为准，为400 kN/m。

图1 数值分析模型Fig.1 Numerical analysis model

模型计算参数如表1所示。岩体参数以依托工程实际参数为准，模型计算时，岩体采用Mohr-Coulomb模型进行模拟，结合依托工程中框格梁的设计资料，框格梁参数中密度(d)、体积模量(K)及剪切模量(G)以C25 混凝土参数为依据赋值，抗拉强度(fy)以HRB335 钢筋抗拉强度为依据赋值，在框格梁满足设计强度的情况下，可认为其不会发生剪切破坏，因此，无需对框格梁的内摩擦角(φ)和黏聚力(c)赋值。模型计算时，框格梁采用Elastic模型进行模拟。模型计算前，固定模型底面所有方向节点的速度，固定模型前后面y方向节点的速度，固定模型左右面x方向节点的速度。

表1 数值分析模型参数Table 1 Parameters of numerical analysis model

1.2 计算结果分析

图2所示为法向荷载集中应力作用下岩体表面(平面坐标z=0)的应力扩散云图。图2中，σz为岩体表面的法向应力，其拉应力为正，压应力为负。从图2可见：无框格梁作用时(图2(a))，4个集中荷载P作用位置处有集中压应力产生，此外，在每2个集中荷载P之间还存在明显的拉应力区，最大拉应力约为4.4 kPa，可见无框格梁作用时，集中荷载作用点处岩体所受应力比较集中，且远远大于岩体表面其他区域的应力；在较大集中应力作用下，荷载作用点处岩体的变形量也比岩体表面其他区域的变形量大，从而在2个集中荷载P之间产生拉伸作用，这种拉伸作用对岩体稳定极为不利，尤其对于岩性较差的风化岩体而言，极易造成岩体表面开裂。从图2(b)可见：有框格梁作用时，4个集中荷载P先作用在框格梁表面，然后由框格梁将应力传递至岩体表面，在框格梁作用下，岩体表面受力相对均匀，这直接减少了表面岩体在较大集中应力下被破坏的隐患。

图2 岩体表面法向集中应力扩散云图Fig.2 Nephogram of normal concentrated stress diffusion on surface of rock mass

另外，无框格梁作用时，岩体表面最大压应力约为482.2 kPa，最小压应力约为25.0 kPa，两者比值高达19.29，岩体表面严重受力不均匀。在框格梁作用下，岩体表面不仅没有产生拉应力区域，而且岩体表面最大压应力仅约为7.9 kPa，压应力的最大值约为最小值的1.66 倍，岩体表面受力相对均匀。

在锚固边坡中，各锚索的锚固荷载可视为边坡支护面1 个集中荷载。通过上述数值分析可知，框格梁在锚固边坡中起着十分重要的作用，框格梁是坡体表面均匀受力的保障。在实际工程中，后期锚索预应力损失后各锚索的实际锚固荷载并不相同，这样很容易造成坡体表面不均匀变形，框格梁不仅可以极大降低这种不均匀变形，而且可以增强锚固结构的整体支护效果。因此，在锚固边坡的受力分析中，不应忽略框格梁的作用。

2 考虑框格梁作用的锚索预应力损失模型

锚索的预应力损失主要由锚索自身的材料特性及岩土体的力学性质决定，因此，锚索预应力损失的计算模型一般通过合理组合锚索和岩土体的计算模型建立[18-19]。耦合蠕变模型建立的前提是假设岩土体均匀受力[20-21]，框格梁是岩体均匀受力的保障，在框格梁作用下，岩土体的实际受力情况更接近于假设条件，因此，锚索预应力损失模型的建立不应忽略框格梁的作用。

2.1 锚索分析模型

在实际工程中，服役状态下锚固边坡锚索主要以弹性变形为主，因此，可选用图3中的胡克模型对锚索进行模拟，该模型的本构关系为

式中：εc为锚固范围内锚索体的应变；σc为锚固范围内锚索体的应力；Ec为锚固范围内锚索体的等效弹性模量。

2.2 岩体分析模型

在应力作用下，岩体具有瞬时应力松弛和弹性变形的特点，同时，在长期应力作用下，岩体还具有黏弹塑性的特征，因此，可选用图3中的广义开尔文模型对岩体进行模拟。广义开尔文模型是在开尔文模型的基础上发展而来，可以表征各个阶段的岩体蠕变。该模型的本构关系为

式中：σn为岩体的应力；εn为岩体的应变；σ′n为应力的一阶导数；ε′n为应变的一阶导数；ηK为岩体的黏滞系数；EK为岩体的黏弹性模量；EH为岩体的瞬时弹性模量。

2.3 框格梁分析模型

与岩体相比，框格梁为钢筋混凝土结构，具有很大的刚度，并且框格梁的横截面高度远远小于岩层的厚度，在应力作用下可以不考虑框格梁的瞬时弹性应变，因此，可选用图3中的开尔文模型对框格梁进行模拟。该模型的本构关系为

图3 各部分分析模型Fig.3 Analysis model of each part

式中：σL为框格梁的应力；εL为框格梁的应变；ε′L为应变的一阶导数；ηL为框格梁的黏滞系数；EL为框格梁的黏弹性模量。由于框格梁的横截面高度远远小于岩层的厚度，故EL可用框格梁的弹性模量替代。

2.4 锚索预应力损失模型建立

锚索、框格梁及岩体之间的相互作用关系如图4所示。在实际施工过程中，将锚索安装于钻孔内，然后通过向钻孔内注浆的方式将锚索结构与岩体结合在一起，因此，可认为锚索的回缩变形和岩体的蠕变变形是同步进行的。由于锚索结构和框格梁之间没有浆液的黏结作用，可认为锚索的回缩变形和框格梁的蠕变变形是相对独立的。

结合图4中锚索、框格梁及岩体之间的位置及三者之间的相互作用关系，建立如图5所示的锚索预应力损失模型。该模型是由Part 1和Part 2并联，然后与Part 3串联建立而成。在所建模型中，Part 1为广义开尔文模型，用来模拟岩体；Part 2为胡克模型，用来模拟锚索；Part 2为开尔文模型，用来模拟框格梁。

图4 锚索框格梁支护边坡示意图Fig.4 Schematic diagram of slope supported by anchor cables and frame beam

2.5 模型计算公式推导

由图5所示锚索预应力损失模型可知，锚索、框格梁及岩体之间的应力-应变关系应满足以下方程：

式中：σ为预应力损失模型的总应力；ε为预应力损失模型的总应变；σL和εL分别为框格梁的应力和应变；σN和εN分别为岩体的应力和应变；σC和εC分别为锚索体的应力和应变。

对式(4)和式(5)进行转换可得：

将式(6)和式(7)代入式(3)并进行换算，可求得所建预应力损失计算模型的本构方程：

在锚索预应力损失的初始时刻(即t=0时)，假设预应力损失模型的初始应力和初始应变分别为σ0和ε0，可以将式(8)转换成预应力损失模型的应力松弛方程：

对式(12)进行微分求解得

当开始在岩体上施加应力时，可认为岩体主要发生弹性变形，因此，所建模型的初始应变为ε0=σ0/(EC+EH) +σ0/EL。考虑初始条件t=0时，σ=σ0，结合式(12)即可求出系数C1：

通过上述推导的公式，在初始应变ε0已知的条件下即可对锚索预应力的损失情况进行计算分析。

2.6 模型验证

本文结合依托工程(郑西高速)的施工，分别对EK1+640和EK1+650这2个断面的深路堑边坡锚索预应力进行监测，并同时进行相应的现场蠕变试验。这里以EK1+640 断面深路堑边坡为代表，取其中2 根锚索(编号为A1 和A2)的预应力监测结果对模型进行验证。表2所示为模型计算参数(其中，EC由工程所用钢绞线的实际参数换算得到；EL为框格梁所用C25 混凝土的实际参数；EH，EK和ηK为结合现场岩体的蠕变试验结果，通过参数反演得到)。

表2 模型计算参数Table 2 Model calculation parameters

本文模型是在已有模型的基础上增添框格梁单元建立的，为了进一步对模型的准确性进行验证，除现场监测结果外，另外还与广义开尔文模型、GK-H模型[22]的计算结果进行对比分析，对比结果如图6所示。从图6可见：各锚索在张拉完成后其预应力均会有不同程度的损失，在监测初期，锚索预应力损失速率最快，同时预应力损失占比也最大；在监测后期，锚索预应力的变化逐渐趋于缓慢。由于受边坡开挖等施工扰动的影响，在实际工程中，边坡锚索的预应力会出现波动变化。从图6中的模型计算曲线(新建模型、广义开尔文模型、GK-H 模型的计算曲线)可知，鉴于理论分析中无法考虑施工扰动带来的影响，因此模型计算结果无法体现锚索预应力的波动变化现象。

图6 模型验证Fig.6 Model validation

本文新建模型的计算结果与现场监测结果的变化趋势几乎一致。由于广义开尔文模型仅考虑了岩体的蠕变作用，而GK-H模型仅考虑了锚索和岩体的耦合作用(图5中Part 1 和Part 2 部分)，这2个模型都未考虑框格梁在锚固结构中的作用，造成广义开尔文模型及GK-H模型的计算结果比现场监测结果偏低。经综合比较，考虑框格梁的作用后，新建模型的精度更高，不仅可以对锚索预应力的损失进行计算，而且可以对锚索预应力达到稳定的时间进行准确预测。

3 锚索预应力补偿时机

在边坡锚固工程中，锚索张拉完成后预应力均会出现不同程度的损失，施工完成一段时间后对锚索进行2次张拉可以有效弥补由岩体蠕变引起的预应力损失，锚索的2次张拉时间直接影响着锚索的预应力补偿效果，因此，对锚索预应力的补偿时间进行研究具有十分重要的工程意义。

根据前面分析，在初始应变ε0已知条件下即可利用式(13)对锚索的预应力进行计算。当施工完成后经过时间t时对锚索进行2 次张拉，图5中所建模型的初始条件(初始应变)已发生改变，变化后的初始应变为：

式中：ε′0为时间t时对应的初始应变；σt为时间t时损失模型的总应力；为2 次张拉后损失模型的总应力；T为锚索预定2次张拉后的荷载；AC为锚索体的等效截面积。

同样以郑西高速EK1+640 断面深路堑边坡四根锚索(编号A1～A4)为背景进行分析。由图6可知各锚索预应力趋于稳定的时间约为30 d，因此，可分别取施工完成后t为5，10，20 和30 d 为时间节点对锚索进行2次张拉计算，探讨各时间节点下各锚索的预应力补偿效果。

图7所示为不同补偿时机时锚索A1～A4 的预应力变化曲线。从图7可以看到：虽然进行2次张拉后各锚索仍然伴随有预应力损失现象，但各锚索的预应力损失量均小于原损失量，且2次张拉时间越晚，各锚索的预应力损失量越小。其原因是锚索的长期损失与锚固体各部分的蠕变有关，锚索作用时间越长，锚固体各部分的蠕变量越小，因此，2次张拉时间越晚，各锚索的预应力损失程度也越小。

图7 不同补偿时机时各锚索预应力变化曲线Fig.7 Variation curves of prestress force of each anchor cable at different compensation time

对单个锚索进行单独分析可以发现(以锚索A1为例)，以5，10，20 和30 d 为时间节点对锚索A1进行2 次张拉后，其预应力趋于稳定时分别为27.76，28.50，29.18 和29.41 MPa，相邻两者之间的差值分别为0.74，0.68和0.23 MPa。可见，虽然从理论上讲，2 次张拉时间越晚，锚索2 次张拉后的预应力稳定值越大，但施工完成10 d 和30 d 后对锚索A1 进行2 次张拉，其预应力稳定值相差并不是很大，因此，在施工完成20 d 的各个时间点对锚索进行2 次张拉均可达到有效的预应力补偿效果。

在多锚支护边坡中，各锚索预应力的损失量不尽相同，对不同损失量的各锚索进行2 次张拉时，其预应力补偿效果也会有所区别。这里引入预应力补偿比(即2 次张拉后锚索预应力稳定值与其原预应力稳定值之比)，表3所示为不同张拉时机时各锚索预应力的稳定值。以t=30 d时的结果为例进行分析，锚索A1～A4 的原预应力稳定值分别为25.550，25.750，25.160 和25.130 MPa，预应力稳定值越小表示锚索预应力的损失量越大。当t=30 d 时，对锚索A1～A4 进行2 次张拉，锚索A1～A4 的预应力稳定值分别为29.410，29.480，29.440和29.430 MPa，预应力补偿比分别为1.151，1.144，1.170 和1.171，表明对预应力损失量不同的锚索进行2次张拉时，锚索原损失量越大，其预应力补偿比也越大，预应力补偿效果越好。

表3 不同补偿时机时各锚索预应力稳定值Table 3 Stable value of prestress force of each anchor cable at different compensation time

4 结论

1)在法向集中荷载作用下，若无框格梁结构，则荷载直接作用于岩体表面，岩体表面不仅会出现明显的拉应力区，且压应力的最大值约为最小值的19.3 倍，岩体表面严重受力不均匀；而当有框格梁结构时，岩体表面不仅没有拉应力区域产生，且压应力的最大值仅为最小值的1.66 倍。可见，框格梁是锚固边坡岩体均匀受力的保障，在锚固边坡的受力分析中，不应忽略框格梁的作用。

2)鉴于锚索、框格梁及岩体之间的相互作用关系，建立了锚索预应力损失模型，并验证了所建模型的准确性。

3)从理论上讲，2 次张拉时间越晚，锚索2 次张拉后的预应力稳定值越大，但在施工完成20 d后的各个时间点对锚索进行2次张拉，其预应力稳定值相差并不大，可认为在施工完成20 d 后对锚索进行2次张拉均可达到理想的预应力补偿效果。

4)在多锚支护边坡中，各锚索的预应力损失情况并不一样，锚索的2次张拉效果也不相同。锚索的原预应力损失量越大。2次张拉时，其预应力补偿效果越明显。