一类捕食型时滞无线传感器网络病毒传播模型Hopf分岔研究

王有刚，杨浩杰，邹俊宸，张子振

(安徽财经大学 管理科学与工程学院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

无线传感网络是一种分布式传感网络，由一个个微小的传感器节点组成，能够实现数据的感知、采集、处理和传输任务。无线传感网络采用无线的方式传递信息，大部分网络节点暴露在复杂的互联网环境中，微小的传感器节点在网络环境下易受到各种恶意信号的攻击，需要一个合适的网络防御系统保护网络中存储和传输的宝贵信息。

考虑到网络病毒在网络节点与节点之间的传播与传染疾病在人与人之间传播的相似性，许多学者提出了基于传染病学原理的网络病毒传播模型[1-3]，通过分析模型的动力学行为，研究网络病毒传播规律，为网络病毒的传播控制提供理论参考依据。文献[4]研究了一类具有两个时滞的SLBRS计算机病毒模型局部稳定性和局部Hopf分支，得到了模型的局部稳定性和局部Hopf分支存在的充分条件，利用中心流行定理和规范型理论研究了Hopf分支的方向和稳定性等性质。文献[5]针对新型潜伏病毒传播特性，分析处于潜伏状态的网络节点存在的三种转化模式，研究潜伏机制下的网络病毒传播模型及其稳定性。文献[6]考虑网络节点的随机移动,基于平均场理论提出一个移动环境下网络病毒传播的数学模型,利用微分动力学系统理论研究了病毒传播行为。

在复杂的生物生态系统中，捕食者和被捕食者之间的关系对调节它们之间的数量非常重要。两食饵一捕食者模型是一类特殊的模型，在这类模型中，如果没有捕食者的干扰，食饵的种群密度按照logistic增长规律增长。文献[7]提出了一类具有竞争的两食饵一捕食者模型，并通过构造合适的李雅普诺夫函数研究了模型的全局稳定性。文献[8]则研究了一类考虑捕食者妊娠时滞的两食饵一捕食者模型，并推导出模型局部稳定性和全局稳定性的充分条件。最近，一些研究学者基于捕食模型原理建立常微分方程组对无线传感器网络病毒传播行为进行了研究。

文献[9]借助三食饵一捕食者模型研究了恶意信号攻击在无线纳米传感器网络中的传输，对系统中不同的平衡点进行分析，分析了免疫策略对模型的影响，并通过数值模拟验证了所得理论结果的有效性。但是文献[9]假设模型中不存在任何恢复状态节点，忽略反病毒软件的作用。文献[10]考虑反病毒软件的作用，提出了一类考虑恢复状态节点的捕食型无线传感器网络蠕虫传播模型，分析了蠕虫攻击对该网络能量守恒的影响，分析了系统不同的平衡点，并推导出模型稳定的条件。上述学者在建模过程中都没有考虑易感节点和已感节点转化为重度感染节点的时滞因素，而感染过程并不是瞬时的，本文基于这样一种考虑，在文献[10]研究工作的基础上进一步考虑时滞，并分析时滞对模型稳定性的影响。

1 模型的提出

文献[10]基于捕食模型原理，提出捕食型无线传感器网络病毒传播模型

(1)

其中，X(t)，Y(t)，Z(t)和R(t)分别表示为易感染节点、已经感染节点、重度感染节点和恢复节点在时刻t的数量。其中重度感染节点无法恢复，当其处于睡眠模式时，易感染节点和已感染节点分别以r和s增长率增长。易感染节点和已感染节点最大环境容量分别为K和L，易感染节点和已感染节点分别以η和γ速率恢复，w1和w2为重度感染节点对易感染节点与已感染节点的作用系数，b1和b2分别为易感染节点和已感染节点向重度感染节点的转化率。显然，模型(1)假设易感染节点和已感染节点转化为重度感染节点的过程是瞬时的，这与现实网络中的实际情况是不相符的。另外，无线传感网络中易感染节点恢复后，并不代表节点就具备了有永久的免疫力，仍然可能会重新感染上新的病毒再次变为易感染节点。因此，笔者提出时滞无线传感网络病毒传播模型

(2)

其中，τ为易感节点和已感染节点转化为重度感染节点所需要的时间，恢复节点以概率μ重新变为易感染节点。

2 局部稳定性和Hopf分岔的存在性

经过计算可知，模型(2)存在正平衡点E*(X*,Y*,Z*,R*)，其中X*=A1+B1Y*,Z*=A2+B2Y*,R*=A3+B3Y*，Y*是方程B1B4Y2+(A1B4+B1A4-μB3)Y+A1A4-μA3=0的正根。其中,

模型(2)在正平衡点E*(X*，Y*，Z*,R*)处相应的特征方程为

λ4+P3λ3+P2λ2+P1λ+P0+(Q3λ3+Q2λ2+Q1λ+Q0)e-λτ=0。

(3)

其中,

P3=-a33-(a22+a11)-a44，P2=a33(a22+a11)+a11a22+a44a33+(a22+a11)a44-a41a14，

P1=-a11a22a33-a33a44(a22+a11)-a22a11a44+a41a14a33+a22a41a14-a42a21a14，

P0=a11a22a33a44-a22a33a41a14+a33a42a21a14，

Q3=-b33,Q2=(a22+a11)b33+b33a44,Q1=-a11a22b33-(a22+a11)b33a44+b33a41a14,

Q0=a11a22b33a44-a22b33a41a44+b31a42a23a14+a23b32a41a14+b33a42a21a14,

a31=a32=a34=0,a41=η,a42=γ,a43=0,a44=-μ,b31=b1w1z(t-τ),

b32=b2w2z(t-τ),b33=b1w1x(t-τ)+b2w2y(t-τ)。

当τ=0时，方程(3)变为λ4+P03λ3+P02λ2+P01λ+P00=0,其中，

P03=P3+Q3,P02=P2+Q2,P01=P1+Q1,P00=P0+Q0。

根据Routh-Hurwitz稳定性判据可知，如果条件(H1)成立，模型(2)局部渐近稳定。

当τ>0时，令λ=iω(ω>0)为方程(3)的根，并代入方程(3)分离实部和虚部，可以得到

(4)

进而得到关于ω的代数方程

ω8+p3ω6+p2ω4+p1ω2+p0=0,

(5)

其中，

(H2)假设方程(5)至少存在一个正实根ω0，使得方程(3)存在一对纯虚根±iω0。

对方程(3)左右两边同时求λ关于τ的导数，得到

(H3)g′(v0)≠0。

定理1对于模型(2),如果(H1)～(H3)成立，那么，当τ∈[0,τ0)时E*(X*,Y*,Z*,R*)局部渐近稳定；当τ=τ0时模型(2)产生Hopf分岔，并在E*(X*,Y*,Z*,R*)附近产生一簇分岔周期解。

3 仿真示例

选取r=2.5，K=50，β=0.02，w1=0.2，η=0.01，μ=0.3，s=0.8，L=15,w2=0.01，γ=0.01，b=1，b1=0.8，b2=0.9，c=1.98，此时模型(2)变为

(6)

则可以得到模型(2)的一个示例模型，使用Matlab软件可以得到示例模型的病毒平衡点E*(11.3867,17.5859，7.9825,0.9665)。经过计算得到τ0=0.6629。根据定理1可知，当τ∈(0,τ0=0.6629)时，模型(6)是局部渐近稳定的，仿真效果如图1所示。当τ取值大于0.6629时，此时模型(6)失去稳定产生Hopf分岔,仿真效果图如图2所示。

图1 当τ=0.552 68∈(0,τ0)时，模型(6)局部渐近稳定

图2 当τ=0.9568>τ0时，模型(6)产生Hopf分岔

4 小结

网络病毒和蠕虫的攻击对计算机网路尤其是无线传感器网络的安全性和完整性最典型的威胁之一。作为一种新兴的网络，无线传感器网络由很多传感器节点所组成，由于传感器节点的脆弱性和传输范围的有限性，其安全性的保障受到了很大的挑战。本文在文献[10]研究工作的基础上，进一步考虑了时滞因素，同时又考虑了恢复节点的免疫能力，提出一类捕食型时滞无线传感器网络病毒传播模型，对该模型的正平衡点进行动力学分析，运用特征值法研究了该模型的稳定性和分岔存在性。因此，本文所得结果是对现有无线传感器网络病毒传播模型相关研究工作的适当补充。