利用PD雷达脉冲压缩实例讲解分段卷积

许 可 辛 勤 李双勋 万建伟

(国防科技大学 电子科学学院， 长沙 410073)

利用圆周卷积计算线性卷积，是“数字信号处理”课程一个非常重要的知识点[1-2]。圆周卷积可以通过快速傅里叶变换(FFT)来实现，因此可以用FFT来快速计算两个有限长序列的线性卷积(见图1)。

设参与线性卷积的两个序列长度分别为N1和N2，首先需要对这两个序列分别补零，使得补零后的长度都为N=N1+N2-1。如果两个序列的长度严重不匹配，例如N1≫N2，按照图1所示的利用FFT计算线性卷积流程就需要对x2(n)补很多个的零，以至于大量零值参与后续的FFT运算，严重影响系统的实时性和处理效率。因此必须对数据x1(n)进行分段处理，也就是“数字信号处理”课程中介绍的“分段卷积”，具体方法包括“重叠相加法”和“重叠保留法”[1]。

图1 利用FFT计算线性卷积

但在教学实践中，我们发现许多学生对“分段卷积”的重要性认识不足，不知道在什么情况下会出现N1≫N2，甚至有的认为这仅仅是一种理论假设。为此，我们利用脉冲多普勒(PD)雷达脉冲压缩设计了一个教学案例[3]，给学生讲解什么情况下会出现N1≫N2，以及在工程实践中为什么必须采用分段卷积。

1 教学案例设计

脉冲压缩的基本原理如图2所示，PD雷达以固定时间间隔发射脉冲信号，通过分析目标回波的时间延迟来测量目标距离[4]。为降低平均发射功率，PD雷达经常采用脉冲压缩技术，即发射机发射的是一个较宽的脉冲调制信号，接收机将回波信号先通过一匹配滤波器[5]，得到的输出是一个具有很高信噪比的窄脉冲，由此在保证作用距离的同时具有很高的距离分辨率。

图2 PD雷达脉冲压缩原理

设发射脉冲调制信号为g(t)，则匹配滤波器单位冲激响应为g*(-t)，接收机将回波信号x(t)与g*(-t)做线性卷积。对匹配滤波器输出结果y(t)的信噪比进行门限检测，判断目标是否存在，进而测算出目标实际距离。

y(t)=x(t)*g*(-t)

(1)

在工程应用上，一般可采用调频连续波g(t)作为发射脉冲信号，具体表达式如下，

g(t)=ej2π(f0t+kt2)[u(t)-u(t-τ)]

(2)

PD雷达基本参数如表1所示。可知调频连续波的带宽Δf=2 MHz，相比采用普通矩形信号(带宽1/τ=0.1 MHz)，带宽提高了20倍，意味着距离分辨率也提高了20倍，这也是工程应用上一般选取调频连续波作为发射脉冲信号的一个重要原因[3]。

表1 PD雷达基本参数

系统采样率为6 MHz，故采样后的发射脉冲数据长度为Ng=τfs=60，目标回波数据长度为Nx=Tfs=6 000，此时在匹配滤波的过程中就出现了“N1≫N2”的这种情况。如果严格按照图1的流程，就需要对发射脉冲至少补5 940个零点，后续的FFT运算点数将大于6 000个点(要求FFT点数为基2的)，很显然此时的运算效率是很低的，就必须对目标回波数据进行分段处理。

2 结果分析与知识点引申

假设在70 km和90 km处存在两个目标，接收数据信噪比为0 dB。图3给出了目标回波的时域波形图，图4给出了采用重叠保留法的匹配滤波归一化输出结果，可以看出实测结果也是目标距离为70 km和90 km。

图3 接收回波(0dB)

图4 匹配滤波器输出(重叠保留法)

如果按照图1给出的流程，利用FFT计算x(n)和g*(-n)的线性卷积结果，根据计算机仿真结果，直接卷积的时间约为1 ms，并且这种运算方式还必须等待回波数据x(n)全部达到后才能进行运算，因此还需要加上系统等待时间T=1 ms，故整个系统要在2 ms后才会有响应，即给出处理结果。

如果将回波数据分成128点为一段，利用重叠保留法进行分段卷积，对分段数据采用图1的流程计算。根据计算机仿真结果，每段数据的卷积耗时约为0.15 ms，并且这种方式只需要等分段后的128点回波数据到达即可进行运算，此时的系统等待时间仅为128/fs≈0.02 ms，故整个系统在0.17 ms后就会有处理结果输出。

从实验结果可以看出，采用分段卷积只需要等待一小段数据(比如128点)，而无需等待所有数据到达，即使这种处理方式仍然是一种“准实时”的，但是这个等待时间是合理且能忍受的。对于实际数字信号处理系统而言，输入数据往往是“源源不断”到达的，如果等待所有数据到达后再处理是不现实的。

“采集一段数据，处理一段数据，及时输出一段结果”，这是对数字信号处理系统实时性的通俗理解。分段处理也会存在延时，但只要这个延时满足事先给定的指标即可。比如，两个人通电话的过程其实也是一种“准实时”的分段处理过程。首先，不会等一个人把通话内容全部讲完后，才处理后传给对方听，这是不现实的。其次，分段处理的音频数据长度大约为几十毫秒量级，对这个量级的数据延迟，人们是没有任何感觉的，双方都会认为是在实时通话。又比如现在的声纳或者雷达，采样率已经到达了兆赫兹数量级。如果不采用分段处理，就会导致大量时间用于等待数据录入，出现“光等待数据不处理”的尴尬局面，使得系统无法及时输出预警信息。此外，如果等待较长的数据录取时间后再处理，即使设备具备海量数据存储功能，也会导致有用信息被淹没在数据大海里面，给后续处理带来困扰。

3 结语

“数字信号处理”课程是一门和工程实践紧密结合的专业基础课，“从工程实践中来，回到工程实践中去”是本门课程的重要教学理念[1]。通过PD雷达脉冲压缩实例，学生可以深刻认识到课程中提出的“N1≫N2”并不是一种理论假设，而是一种来源于工程实践的解决方案。对于分段卷积，学生不仅要深刻理解“为什么会用到”这个方案，还要了解“哪里会用到”，更进一步的，还要认识到分段卷积实际也会存在系统延时，但只要这种延时满足设计指标即可，数字信号处理系统从总体上就是一个“准实时”系统。