小学数学典型错例分析及矫正策略

数与代数

【诊断】

1.分率和数量混淆。

第一问是求具体数量，即每一小段具体的长度；第二问求每段占全长的几分之几，表示的是每段长度与全长的关系。

2.关系式应用错位。

【对策】

1.在应用中加深对意义的理解。

教学分数的意义，要结合具体情境，在分数的应用中帮助学生真正分辨清楚：分数在何种情况下表示具体的数量，在何种情况下表示分率。

2.在对比中理解关系式的内涵。

学生既要熟记数量关系式，更要结合具体实例，在对比中理解各个数量之间的对应关系，不能生搬硬套。

【练习】

【对策】

1.注重分析能力的培养。

从认真审题入手，引导学生寻找条件与问题之间的内在联系，可以借助线段图或摘抄重要字词来帮助理解，寻求解题的基本途径。

2.重视数感的培养。

教师要注重结合学生的生活经验，在课堂中创设生活化的情境，让学生在观察、猜测、思考、交流等活动中，捕捉生活中蕴含的数学现象，用数学思维去解决实际问题，丰富数感。

【诊断】

1.算理理解不深刻。

乘法竖式中，第二个因数的十位乘第一个因数时，积的末尾写在十位上，表示求出了几个十。上例中用24 十位上的2 乘35，得到的结果表示70个十。

2.算法建构不牢固。

教学中，教师没引导学生把竖式计算与横式乘法算式进行联系，没有在多样化算法的探究中形成算法结构。以35×24 为例，可以看成35×20+35×4 的结果。通过横式与竖式的沟通对比，学生就容易理解竖式中“70”是700 的简略写法。

【对策】

1.探究与分享结合。

在教学过程中，教师要主动放手，让学生自主探究笔算乘法的算理和算法，通过小组合作归纳算法，交流分享算法的形成过程，从而真正理解算理及算法。

2.算理和算法并重。

以问题为驱动，先依托学习材料，在学生多样化的算法展示后，通过深度比较，帮助学生理解算法。最后设计形式多样的练习，巩固笔算方法，使学生扎实掌握竖式计算的算理和算法。

D.1 小时能检测的人数

2.在用竖式计算三位数乘两位数246×ab时，列竖式为：

第2 题是一道不能运用运算律的题目，学生因为乘法分配律的“负迁移”造成了错解。

2.对计算结果缺少验证意识。

“怎样简便就怎样算”，不是“想怎样算就怎样算”。首先要保证计算结果正确，应在确保不改变计算结果的情况下，对算式进行符合运算律的本质特征和内在结构的简便处理。

【对策】

1.加强变式训练，理解知识本质。

在运算律的应用中，要呈现各种变式，引导学生比较辨析，强化理解，逐步把握其本质。以（a+b）×c=a×c+b×c为例，我们可以进行如下变式处理：（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d；（a－b）×c=a×cb×c；（a+1）×b=a×b+b×1。还要学会反向运用，例如把56×99+56 变成56×99+56×1=56×（99+1）。

2.注重审题训练，重视结果验证。

所谓简便计算，一定是在确保计算结果正确的情况下，灵活采用各种运算法则而实现的高效计算。要注重对算式结构和各数特征的审视，寻找最佳算法，最后还要用一般方法进行验算。

【练习】

【诊断】

1.核心概念理解模糊。

无论是成正比例还是反比例关系，一定包含两个“变量”和一个“定量”，成正比例的两种量的比值一定，成反比例的两种量的乘积一定。第1题中圆的直径和圆周率都一定，那么周长必然也是一定的，没有变量，不可能成比例关系。

2.缺乏表达式变换技巧。

【对策】

1.熟练使用数量关系式。

让学生多记一些数量关系式，如：总价=单价×数量；工作总量=工作效率×工作时间等，还要会根据一定的量对关系式进行变换。熟记一些常用的公式、定理、数量关系式，才能熟练应用，解决实际问题。

2.注重判定方法的指导。

引导学生从一定的量入手，判断两种量是否成比例、成什么比例关系。如果一定的量是用除法计算得到的，那么另外两个变量就成正比例关系；反之，如果一定的量是用乘法计算得到的，那么另外两个变量就成反比例关系。需要注意的是，判断的前提条件是存在两个变量和一个定量。

3.结合实际问题设计练习。

正反比例关系来源于生活，让学生多从生活中找素材，现实的、有意义的、具有挑战性的问题情境，更容易激活学生已有的生活经验和认知储备。

【练习】

【错例】

工厂第一车间今天出勤100人，缺勤a人（a≠0），缺勤率（D）a%。

A.等于 B.大于

C.小于 D.大于或等于

正确答案：C

【诊断】

2.对字母式的意义理解不深刻。

教学中，教师没有通过多种活动，帮助学生了解含有字母的式子既可以表示数量关系，也可以表示数量，尤其是没有能够结合具体实例，理解字母式的意义，建构数学模型。

【对策】

1.创设生活情境，体会字母表示数的现实需要。

学生理解字母表示数需要一个长期的过程，需要经历大量的数学活动，积累丰富的活动经验，在熟悉的环境中反复体会字母表示数的现实意义。

2.分析数量关系，培养用字母表示数的意识。

引导学生有意识地用字母解决实际生活中的问题，体验符号语言的优越性，构建从数字表示、语言概括到符号语言的转换流程，建立初步的符号感。

3.加强新旧知识间的联系，加深对字母式意义的理解。

教学时，教师要及时引导学生借助举例、对比等方式，强化知识间的区别和联系，发挥已有知识的有效作用，使新旧知识在深层次上达到统一。

【练习】

1.选择：在有余数的整数除法算式中，除数是b，商是c，b、c均不为0。被除数最大为（ ）。

A.bc+bB.bc- 1

C.bc+b- 1 D.bc+b+ 1

2.若代数式2x2+3x+7 的值是8，则代数式4x2+6x+15 的值是（ ）。

3.服装厂计划每月生产服装600 件，实际生产了10 个月就超过全年计划m件。

（1）用含有字母的式子表示实际每月生产服装的件数。

（2）当m=300 时，实际每月生产服装多少件？

【错例】

2.思维训练层次不丰富。

在学生理解和掌握相遇应用题的结构特征和解题思路后，应该精心设计有层次的练习，循序渐进，把学生思维逐步引向深入。在基本练习巩固新知后，要设计变式题，例如把相遇应用题的特征因素“同时、相向”变为“先行、背向”等问题，使学生思维由简单的模仿发展为初步创新。

【对策】

1.理解题中的条件和问题。

要让学生深刻理解速度、时间、路程的条件和问题的实质。例如有两个运动物体的，出发地点可以是一个，也可以是两个。如果出发的地点是一个，那么两个物体既可以同向运行，又可以反向运行。如果有两个物体和两个地点，那么两个物体的运行方向就有多种变化。弄清楚速度、时间、路程的已知条件和问题，是解题的重要环节。

2.掌握画图、列表等有效策略。

“行程问题”最需要关注的是运动物体。运动物体个数不同，解题的方法也不同；运动物体的方向、地点不同，解题的方法也不同。所以，让学生尝试画图或列表，体会画线段图容易明确解题思路。画线段图的过程中，教师要注意细节的指导，比如括线和问号、相遇点的位置、单位时间内行的路程等。

【练习】

2.甲、乙两辆汽车从A、B 两地同时相向开出，出发后2 小时，两车相距141 千米；出发后5小时，两车相遇。A、B 两地相距多少千米？

3.甲、乙两人同时从两地相向而行，在距离中点40 米处相遇，已知甲行了全程的55%。两地相距多少米？

【错例】

小华读一本书，上午读了全书的20%。下午又读了12 页，这时已读页数与未读页数的比是1∶3。这本书共多少页？

【诊断】

1.综合分析能力薄弱。

要解决“全书多少页”的问题，需要在分析题

2.关系表征方式单一。

【对策】

1.优化解题策略。

有效的解题策略能帮助学生以较短的时间、灵活的方法解题。分数和百分数应用题都有量率对应的特点，因此，正确寻找量率对应关系，借助线段图审清题意，就可以顺利找到关系式解答。

2.适当变式训练。

练习设计要体现层次性、开放性，进行拓展训练，促进思维发展。例如，利用变式来改变题目的条件或结论，或把结论与条件对调，启发学生寻找不同解题方法间的关联，促进知识、方法的迁移，实现解题能力的提高。

【练习】

1.小明读一本书，上午读了一部分，这时已读页数与未读页数的比是1∶5；下午又读了12页，这时已读页数与未读页数正好相等。这本书共多少页？

（江苏省高邮市天山小学 朱 宇）

图形与几何

【错例】

小明用同样大的正方体摆一个物体。从前面、右面、上面看到的形状如图所示，摆这个物体至少需要（ ）个正方体。

A.8 B. 7 C. 6 D.5

错解：A

正确答案：C

【诊断】

1.错误迁移已有经验。

因为从不同的角度“前面、右面、上面”观察物体，都是看到“田”，学生脑海中浮现的就是8个正方体拼搭的模样，从前面看有4 个小正方形，依次类推右面、上面也是如此。由此推导得出需要8 个小正方体，对题目中“至少”一词没有仔细考虑。

2.缺乏空间想象能力。

有的学生缺乏空间想象力，只能分别说出从前面、右面、上面看到的正方体的个数，没有办法把从不同角度看到的图形组合成一个立体图形。

【对策】

1.把握关键信息的内涵。

数学是一门严谨的学科，在平时的教学中，要不断加强对学生语言分析能力和理解能力的培养。特别是一些隐含的信息，如果先圈出关键词，再去做题，准确率会提高很多。根据上述题意分析可知，要想用最少的小正方体摆成从前面、上面和右面看都是“田”字形的几何体，只要下面4 个小正方体平铺成“田”字形，上面只需要再加上2 个，而不是4 个，所以至少需要6 个正方体。

2.丰富体验，发展空间想象能力。

在教学中让学生多动手摆一摆，通过不断尝试、修正，在“做中学，做中悟”，慢慢体会实物与图形之间的关系，丰富想象能力。要想从上面看是“田”至少需要4 个小正方体平铺成“田”字形，如果再从前面看，只要在上面加上2 个，因为还要从右面看，所以上面的2 个前后每行各放一个，错开放置，那么从前面和右面看就都是“田”了，据此即可判断。

【练习】

1.冬冬用1 立方厘米的小正方体摆成一个物体，从前面、右面和上面看到的形状如图所示。那么，这个物体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。

2.如图，这个立体图形由10 个棱长为5 厘米的小正方体搭成，所有表面（包括底部）都涂色。

（1）这个立体图形的体积是（ ）立方厘米。

（2）只有2 个面涂色的小正方体有（ ）个，只有4 个面涂色的小正方体有（ ）个。

（3）这个立体图形，从上面看到的形状如图1（数字表示这个位置上所用的小正方体的个数），从正面看到的形状如图2。现在，玲玲将10 个小正方体的组合方式进行了调整，搭出了一个新的立体图形。这个新的立体图形，从上面看到的形状如图3，从正面看到的形状是怎样的？请画在图4 区域。

【错例】

小芳参加了实验小学运动会的开幕式表演，所有学生表演时排成长方形的方队。赵老师在方队的前面看，小芳的位置是（11，6）；张老师在方队的后面看，小芳的位置是（2，4）。学生方队共有多少人？

错解：

11+2=13（列）6+4=10（行）13×10=130（人）

正确答案：

11+2-1=12（列）6+4-1=9（行）12×9=108（人）

【诊断】

1.认知结构不完整。

教师只关注“竖排为列，横排为行”“先写列，后写行”等知识点的教学，忽略了引导学生完成数对的自然建构。题目中“小芳”的位置虽然没有变化，但是从不同的位置观察，却产生了不同的数对表示方法。学生不能顺利进行数对与实际情况的转换，因而产生错误。同时，混淆“第几个”与“几个”也是导致错解的原因。

2.平时练习缺少梯度。

用数对确定位置的基本知识点较容易，所以在练习的设计上就必须具有一定的梯度和层次，这样能对所学知识起到巩固的作用，更重要的是将前后知识进行链接，注重知识之间的相互渗透，并在此基础上进行适当延伸。

【对策】

1.重视知识结构的建立。

关于图形位置的教学，应该以学生的已有认识经验为抓手，把二维建构在一维经验基础之上，融数对、平移、简单路线等多种知识于一体，建构用数学方法表示图形位置的知识体系。

2.结合具体情境理解含义。

数对是物体位置量化的一种表达，要将数对知识回归于生活，从更广阔的生活场景中选取丰富有效的教学资源，设计有层次的练习促进深层次理解，从浅层次的数学知识层面上升到数学思维的高度，发展数学思考。

3.多样化活动渗透数学思想。

确定位置中包含对应、符号表示、数形结合、变中不变等思想。在数对的教学中，引导学生理解和体会这些思想，可以提高抽象思维能力，发展空间观念。

【练习】

1.如图，三角形ABC中，A点用数对表示为（5，3），那么B点用数对表示为（ ），C点用数对表示为（ ）。

2.如图，B点用数对表示为（2，2），C点用数对表示为（5，2），并且长方形ABCD 的面积为6，则D 点用数对表示为（ ）。

3.已知等腰直角三角形ABC的顶点A、B、C都在方格图的横、竖线交点处，A点、B点用数对表示分别是（5，4）和（9，4）。请在图中找一找、画一画，C点可能在哪个位置？用数对把你找到的C点的位置都写出来。

【错例】

有一个花坛，高0.5 米，底面是边长1.3 米的正方形，四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.3 米，中间填满泥土。花坛里大约有泥土多少立方米？

错解：1.3-0.3=1（米）1×1×0.5=0.5（立方米）

正确答案：1.3-0.3-0.3=0.7（米）0.7×0.7×0.5=0.245（立方米）

【诊断】

1.数学学习与生活经验不能对接。

平时我们接触的题目大都是求物体的体积，学生的第一印象就是长×宽×高，即使求容积的题目也是直接告诉需要的长、宽、高。每个学生都看过花坛，在做这道题时，很多学生都能求出花坛的体积，对于花坛容积的定义也知道，但是如何求得计算花坛容积所需的长、宽、高却很困难。已知条件无法与生活中的花坛相联系，形象思维与抽象思维脱节。

2.对“厚度”一词缺乏理解。

大部分学生在思考这一题时，都知道在花坛里装满泥土的情况下，泥土的体积就是花坛的容积。求容积要从花坛的里面来量长、宽、高，1.3 米和0.5 米是从外面量的结果，需要减去厚度，哪些条件需要减去厚度，哪些条件不用减去厚度，如果要减厚度需要减去多少，学生不能准确界定。

【对策】

1.通过类比迁移算法。

学生的空间知识来自丰富的现实原型，但课堂上我们不可能去观察并测量花坛的长、宽、高，有局限性。我们可以利用身边的容器，如：有明显厚度的长方体盒子，从外面测量它的长、宽、高，和从里面测量它的长、宽、高进行对比，在探究过程中把做与思结合起来，回忆体积和容积的定义，通过对比发现它的厚度的存在，感受从外面量和从里面量长、宽、高和厚度的联系，比较体积和容积的异同。

2.适时发展空间想象能力。

从平面图形的认识到立体图形的认识，这对于学生来说，是对空间观念认识的一次飞跃。平时作业中，学生的思维已经习惯于“厚度忽略不计”的情况下计算物体体积。这道题我们可以先从计算体积入手，花坛的体积是它的容积吗？为什么？把问题抛给学生，引导学生想象生活中的花坛，发现从外面量的长要减去两边的厚度，宽也要减去两边的厚度，而高不用减去厚度，得到1.3-0.3-0.3=0.7（米），0.7×0.7×0.5=0.245（立方米）。

【练习】

1.一种圆柱形的饮料罐，高13 厘米，底面直径6 厘米。

（1）生产一个饮料罐至少需要多少平方厘米的铝合金材料？（接头忽略不计。）

（2）饮料罐外面注明“净含量：365毫升”。请计算、分析该项说明是否存在虚假。（厚度忽略不计。）

3.仓库里有以下四种规格的长方形、正方形的塑料片：（数量足够多。）

①长0.5 米，宽0.2 米；

②长0.4 米，宽0.2 米；

③长0.5 米，宽0.4 米；

④边长0.2 米。

从中选5 块塑料片，拼接成一个无盖的长方体（或正方体）塑料盒。

规格①__规格②__规格③__规格④______塑料盒的容积/m3?

（1）一共可以拼接成（ ）种不同的塑料盒。

（2）这些盒子中容积最大的是多少立方米？

4.有一个花坛,高0.5 米,底面是一个长3.4米、宽2 米的长方形，四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.2 米，中间填满泥土。

（1）如果花坛的侧面贴瓷砖，瓷砖的面积是多少平方米？

（2）花坛里大约有泥土多少立方米？

【错例】

把两个边长是2 厘米的正方形拼成一个长方形，拼成的长方形面积是一个正方形面积的（ ）%，拼成的长方形周长是一个正方形周长的（ ）%。

错解：200 200

正确答案：200 150

【诊断】

1.周长与面积的概念混淆。

课堂上忽视在动手操作中强化体验，学生对周长概念的理解浮于表面。教师一般比较注重周长公式的运用，解题过程简化成了直接应用公式求值，而淡化了“先找一周边线→累加求和”的求周长过程。当两个正方形拼在一起时，受到“面积之和就等于长方形的面积”干扰，错误推理出长方形周长等于两个正方形的周长和。

2.解决组合图形题的策略不多。

学生没有策略意识，没有运用画图的策略辅助解题的习惯。学生几何直观感不强，想象不出两个正方形拼成的图形样子，完全没有考虑到两个正方形拼在一起，两个正方形各有一条边重合在一起，并且这部分被包含在长方形内，拼成的边不再属于长方形的周长。

【对策】

1.借助直观，把握概念内涵。

根据年龄特征，小学阶段的数学概念多为描述性定义，要借助教材、生活中丰富的素材更直观地提炼出周长概念的核心，更清晰地把握概念的内涵。当学生经历生动的直观、具体的感知后，就可以借助表象在头脑中展开动态的形象思维，在进一步展开的抽象概括中让“周长”概念稳固又深刻地建构。

2.体验过程，提炼解题方法。

对于任意一个组合图形的周长，都可以经历以下三个步骤。

（1）找“周长”，引导学生经历“找到一周边线→度量长度→累加求和”的过程。不论是实物操作还是表象操作，都不能省略“指一指或想一想一周边线”这样的过程。

（2）画“周长”。借助几何直观，画一画示意图。根据周长的定义，学生不难发现拼成的长方形周长是原来小正方形的边长乘6。

（3）说“周长”。针对组合图形周长的错例，让学生说一说：所求周长需要把哪些长度进行累加？这些长度又应该怎样得到？

【练习】

1.用12 个边长3 厘米的正方形拼成一个长方形，有（ ）种拼法。

A. 2 B. 3 C. 4

2.如图所示，用4 个大小相等的长方形，正好拼成一个回字形图形。外面大正方形的周长是20厘米，每个长方形的周长是多少？

3.如图,一个正方形被分成4 个相同的长方形，每个长方形的周长都是20 厘米, 则这个正方形的面积是多少？

4.（1）计算图形①中涂色部分的面积。

（2）如图②，圆的周长是20 厘米，如果圆的面积和长方形的面积相等，计算涂色部分的周长。

【错例】

一个塑料瓶容积为600 毫升，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）。现在往容器里注入一些水（如图）。当瓶子正放时，瓶内水面高为20 厘米；瓶子倒放时，空余部分高为5 厘米。注入的水的体积是多少立方厘米？

【诊断】

1.对应关系错误。

因为容器的形状是不规则的，600 毫升与20厘米高的圆柱体积不对应，不能直接套用圆柱体积公式，需要对两幅图中的信息进行整合，把塑料瓶的容积与高（20+5）厘米的圆柱体积建立对应关系，才能求得问题的解。

2.不会应用转化策略。

错例中，学生没有读懂题目中文字和图示的信息，没有把600毫升转化成两个高分别为20厘米和5厘米的圆柱体积的和。正确的解法是应该把不规则的容器转化为高是（20+5）厘米的圆柱体，600÷（20+5）=24（平方厘米），求出容器的底面积，再把水的体积转化为高是20厘米的圆柱体积。

【对策】

1.关注生活，体现价值。

学习中要呈现知识的现实背景，激活学生已有的生活经验。例如，实际生活中有很多问题涉及不规则形体的体积计算，所以，错例中的题目有较强的现实性，也有一定的挑战性。解决类似的问题，能增强学生用数学知识解决实际问题的意识。

2.适度拓展，发展思维。

我们要对课本习题进行适度拓展，增强思维的挑战性。上例中把同一个物体置于两种不同的情境，锻炼了学生的信息加工能力，拓展了解题思路，对圆柱体积、底面积和高之间的相互关系也愈加清晰。在解题过程中抓住“容器的容积”这个不变量，先逆向运用体积公式求出容器底面积，再顺向运用公式求出水的体积。

3.渗透方法，培育素养。

【练习】

1.一个拧紧瓶盖的瓶子高17厘米。里面装有一些水，正放时水的高度是10厘米；把瓶子倒放，水的高度是13厘米。水的体积占瓶子容积的（ ）。

2. 课堂上，学生对一种瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）的消毒液瓶进行测量，得出以下几个数据：

①小A 量出它的底面直径是4 厘米。

②小B量得瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。

③小C 量得当瓶子正放时，它的消毒液面高为8 厘米。

④小D 称出消毒液连瓶重180 克。

请你根据测量结果，算出这个瓶的容积是多少立方厘米。（瓶壁厚度忽略不计。）

3.有两个长方体水缸，甲缸的底面积是15 平厘米、高8 厘米，没有装水；乙缸的底面积是12 平方厘米，装有9 厘米深的水。现将乙缸的水装一部分到甲缸，使得两缸水的高度相等。这时水的高度是多少厘米？

【错例】

有一个长方体纸箱，从里面量长8 分米，宽6分米，高5 分米。如果在纸箱中装入棱长为2 分米的正方体礼品盒，最多能装这样的礼品盒多少个？

【诊断】

1.没有抓住知识本质。

本题看似除法的应用，实质上考查了对体积计算公式以及体积单位意义的理解。“长方体的体积=长×宽×高”这一公式背后的数学道理是：长方体的体积等于其包含的体积单位的个数，其意义是学生在动手操作、验证之后得到的，只要认真回忆体积公式推导过程，就可以避免类似的错误。

2.忽略现实问题情境。

解决本题虽然可以根据除法的意义求得结果，但是不能忽略存在边角料的问题，即小正方体不能正好填满长方体纸箱的空间。因此，不能简单套用“长方体纸箱容积÷小正方体的体积”进行计算。

3.缺乏空间想象能力。

解答此题关键是先分别求出长方体箱子的长、宽、高处最多能放几个小正方体，再利用长方体体积公式求出小正方体的总个数。长方体的长决定了一行可以放几个小正方体，宽度决定了可以放几排，高度决定了可以放几层，需要较强的空间想象能力。

【对策】

1.优化公式推导过程。

引导学生发现长方体的体积与长、宽、高的关系，归纳长方体体积的计算方法，悟出“长方体的体积=长×宽×高”这一公式背后的数学道理。还可以将长方体体积公式的教学提升到计量的高度，与线、面的度量统一起来，顺利实现知识的迁移，让学生体会到线、面、体的测量实质都是用相应计量单位去度量，有几个计量单位，其数量就是几。

2.开展数学实践活动。

为了给学生解决数学问题提供经验支撑，需要结合教学内容组织一些实践活动。注意活动中的“数学味”，教会学生用数学的方法去探究。活动中设计有挑战性的问题，激发学生的探索意识。活动形式可以多样化，如小游戏、小设计、小制作、小调查、小研究等，要有利于学生进行观察、操作、推理与交流。

3.提升练习设计质量。

在设计上述练习时，要注意数据的设置，避开“正好平均分”的特例，不能让这种“巧合”干扰学生的认知，形成用“大体积÷小体积（大面积÷小面积）的方法也能解答”的错误认识。

【练习】

1.在一张长7 分米、宽2 分米的长方形纸上，要剪出面积是4 平方分米的正方形，最多能剪出多少个这样的正方形？

2.某工厂要生产一种半径为1.5 厘米的圆形瓶盖，用一张长4 米、宽3 米的长方形铁板来剪。这张铁板最多能剪多少个瓶盖？

3.用一块长6 米、宽1.5 米的长方形红布，做直角边为2 分米的等腰直角三角形小旗，最多可以做多少面？

4.有一个长方体木块，长11 厘米、宽9 厘米、高7 厘米，能否切割成77 块长和宽都是3 厘米、高是1 厘米的长方体木块？请说明理由。

（江苏省高邮市天山小学 李 玲）

统计与概率

【错例】

小刚抛一枚硬币5 次，有4 次正面朝上，1 次反面朝上，那么他抛第5 次时正面朝上的可能性是( )。

错解：A

正确答案：C【诊断】

1.对“可能性”理解不透。

学生认为正面朝上的可能性就是看正面朝上的次数占抛硬币总次数的几分之几，但“5 次的抛掷情况”跟“第5 次抛时正面朝上的可能性”是两个不同的概念，“第5 次抛时正面朝上的可能性”强调的是“第5 次”这一次。

2.条件解读不够准确。

题目中不是所有条件都指向问题解决，“5次”“第5次”“4次正面朝上”“1次反面朝上”这些都是干扰条件，学生缺乏辨别能力，导致干扰条件先入为主，对问题作出了错误的判断。

【对策】

1.联系生活实际，准确理解“可能性”。

可能性的概念比较抽象，学生不易理解和掌握。教师要从学生熟悉的事件入手，用浅显易懂的语言描述，便于学生正确地理解概念，在丰富的现实背景中学习用分数表示可能性的大小。

2.结合动手操作，提高审题能力。

审题困难时可以让学生亲身经历操作的全过程，注重与统计知识相联系，在大量数据和实验中体会不确定事件发生的可能性大小。

【练习】

1.口袋里有7 个红球、5 个黄球，球的大小相同。从中任意摸出一个球，摸到（ ）球的可能性大；如果想使两种颜色的球摸到的可能性相等，需要再往袋中放入（ ）个（ ）球；如果想使摸到黄球的可能性大，至少要往袋中放入（ ）个（ ）球。

2.有0～9十张数字卡片，从中任意抽取一张，抽到大于6 的数的可能性是（ ），抽到比10 小的数的可能性是（ ）。

【错例】

一艘轮船往返于甲、乙两港之间，从甲港开往乙港每小时行驶30 千米，返回时逆水而行，每小时行驶20 千米，求这艘轮船往返的平均速度。

错解：（30+20）÷2=25（千米/时）

正确答案：2÷（1÷30+1÷20）=24（千米/时）

【诊断】

1.把“速度的平均数”与“平均速度”混为一谈。

去时速度与返回时速度的和除以2 得到的是往返速度的平均数，而不是往返的平均速度。“平均数”是一个统计量，它代表一组数据的整体水平，但平均速度是有具体情境和具体数量关系的，往返的平均速度应该用往返的总路程除以往返的总时间，即2÷（1÷30+1÷20）=24（千米/时）。

2.只关注个别数量，忽略题目整体。

学生列式解答时过多倾向题中所给数字，忽略了整体的数量关系：往返总路程÷往返总时间=往返平均速度。题中虽然没有给出甲、乙两地的距离，但可以将甲、乙两地的距离看作“1”，或将其假设成一个具体的量。

【对策】

1.建构平均数的统计意义。

教学中，教师往往对平均数的计算技能训练大于对平均数统计意义的建构，这种做法不可取。我们要将平均数意义的理解置于统计活动中，并联系生活实际，让学生感受平均数的统计价值。

2.辨析平均数与平均分。

平均数与平均分在计算方法上虽存在重合的情况，但两者本质不同。平均分是把总数平均分成几份，每份一样多，而平均数是一个虚拟值，并不代表每份就是这么多，教学时要引导学生进行辨析。

【练习】

1.下面的说法合理吗？

（1）华美服装公司员工的月平均工资是3600元。张华是这个公司的员工，她的月工资不可能低于3600 元。

（2）小浩身高145 厘米，他到一个平均水深110 厘米的游泳池里游泳，还是会有危险。

2.爸爸开车去某地出差，去时路线不熟，平均每小时行40 千米，开了6 小时到达目的地；返回时，爸爸加快了速度，平均每小时行60 千米，他往返的平均速度是多少？

【错例】

下图是小强家旅行期间行车情况统计图。

从3 时到6 时，车一共行驶了多少千米？

错解：240+240+300+360=1140（千米）

正确答案：360-240=120（千米）

【诊断】

1.数据分析缺少策略。

这里的每一个数据都是站在前一个数据的“肩膀”上，1 时行驶到50 千米，2 时行驶到150 千米，3 时行驶到240 千米，表示前3 个小时一共行驶了240 千米。以此类推，6 个小时共行了360 千米，减去前3 个小时的240 千米，得到从3 时到6时一共行驶了120 千米。错例中，学生将经过时间看成了一个时刻，从而作出了错误的解答。

2.未能将生活经验上升为学习体验。

从3 时到6 时共经过了3 个小时，3 个小时怎么可能行驶1140 千米？学生缺乏将数学问题和生活实际联系的意识，仅凭计算经验解决问题，而没有联系生活经验进行估算检查。

【对策】

1.注重数据的收集和整理。

统计是包括数据的收集、整理、描述和分析的完整过程。教学中要引导学生去理解每个数据表示的意义，去判断折线图中的连续数据是相互独立的关系还是相互包含的关系。

2.将数据分析与生活实际相结合。

创设贴近学生生活实际、符合认知规律的统计情境，让学生自己收集、处理和描述数据，最终解决问题。通过情境获得数据，再通过数据分析情境，从而使学生体会统计和生活的联系，将统计与生活交融。

【练习】

1.根据图中信息回答问题：

（1）售出图书最多的一天比最少的一天多售出（ ）册；

（2）星期五售出的图书册数是星期四的（ ）。（填分数）

2.下图是一辆汽车与一列火车的行程统计图，根据图示回答问题。

（1）汽车的速度是每分钟（ ）千米；

（2）火车进站时间是（ ）；

（3）火车进站后再次行驶的速度比汽车每分钟快（ ）千米；

（4）汽车比火车早到（ ）分钟。

3.科学课上配置4 杯盐水做实验，并根据每杯中盐与水的克数制成下图。

（1）观察图像，4 杯盐水中（ ）杯盐水最咸。

（2）要使这杯盐水与其他三杯浓度相同，需要加水多少克？

【错例】

要反映六年级一班（ ）的情况，用扇形统计图比较合适。

A.第一小组5 名同学的跳远成绩

B.王小灿同学近5 年每年生日时测得的身高

C.近5 年全班近视率的变化

D.某次数学测试各类等第人数与全班人数的百分比

错解：C

正确答案：D

【诊断】

1.对扇形统计图的作用体会不够深刻。

扇形统计图反映的是各部分量与总量之间的关系，这个关系通常用百分比展示，学生可能只记住了扇形统计图跟百分比（百分率）有关，看到“近视率”时作出了错误的选择。

2.没有形成统计图的知识体系。

从各类量的多少到数量的增减变化，再到各部分量与总量之间的百分比关系，统计图涉及的数据分析越来越精细化，学生头脑里没有形成相关的知识体系，不能根据数据内容合理选择统计图。

【对策】

1.经历扇形统计图的产生过程。

教学时让学生在完成扇形统计图后思考三个问题：“上图中的整个圆表示什么？”“用这样的统计图有什么好处？”“各个扇形的大小与什么有关系？”进一步引导学生在观察的基础上得出扇形统计图的特点：可以清楚地表示出各部分量与总量之间的关系。

2.加强对比，建构知识体系。

教学中注重引导学生体会描述数据方式的多样性，从整体上把握三种统计图各自的特点，理解这三种统计图在使用上各有什么优越性和局限性，进一步培养学生的数据分析观念。

【练习】

1.李星星一月各项消费情况如图所示，下面说法正确的是（ ）。

A.从图中可以看出各项消费数额

B.从图中可以看出总消费数额

C.从图中可以看出餐费是40%元

D.从图中可以看出餐费在各项消费中最多

2.小红调查双休日全班同学参加体育运动的情况，将收集的数据制作成下面的统计图，她想要解决的问题是（ ）。

A.双休日哪天运动的人数较多

B.双休日全班同学参加哪类运动的人数最多

C.班上哪名同学运动时间最长

D.男生喜欢哪类运动

【错例】

体育课上50 名同学参加各项活动人数情况统计如下：

1.打乒乓球比打篮球的多几人？

2.踢毽子的人数比跳绳的人数少百分之几？

第2 题错解：20%-10%=10%

正确答案：50×10%=5（人）

50×20%=10（人） （10-5）÷10=50%

【诊断】

1.混淆了“具体数量”与“抽象分率”。

问题2 表面上是根据扇形统计图进行简单计算，实际上涉及不同类型百分数应用题的计算，应按照百分数应用题的解题思路和方法进行计算。

2.忽略了对各种统计图表本质特征的理解。

课堂教学时教师只注重扇形统计图的形式展示，而淡化了对扇形统计图实质的理解。学生从图中只看到了简单的百分数，而不是两个量之间的比率，缺乏进一步对数据进行分析从而解决问题的能力。

【对策】

1.注重数据分析能力的培养。

出示统计图后，教师应给予学生足够的时间了解图中的信息，并充分地交流，注重启发学生说出各扇形中百分数的含义，弄明白整个圆表示什么。得出百分数数据后，引导学生先分析后计算，培养学生正确处理数据的意识。

2.统计图与解决问题适当综合。

教学中，不能满足于读懂统计图，还要与解决问题结合，引发学生的思考。例如，求某两部分数量的和或差、某两部分数量间的百分比等实际问题，让学生感受统计图的作用，巩固百分数的相关知识。

【练习】

1.某校将六年级一班上学期体育成绩结果绘制成了图①和图②两种统计图。

（1）六年级一班一共有（ ）人。

（2）成绩得优的同学占全班人数的（ ）%。

（3）请把图①的条形统计图补充完整。

（4）得良的同学比得优的同学多（ ）%。

2.甲、乙、丙三名工人共同加工600 个零件，他们所分配到的任务比例如图①，他们每小时加工的零件个数如图②。

（1）丙每小时加工的零件个数比乙每小时加工的零件个数少百分之几？

（2）甲、乙完成任务分别要用多长时间？

（3）如果重新分配任务，使三人完成任务所用的时间一样长，那么甲应该加工多少个零件？

（江苏省高邮市高新区实验学校小学部 吴兴坤）