板块模型中几个相关物理量的辨析

安徽 刘钦钊

(作者单位：安徽省濉溪中学)

在滑块-长木板模型中，长木板的最小长度l、物块在长木板上留下的划痕s、物块相对长木板的位移Δx、摩擦产生的热量Q=fs相中的相对路程s相，这四个概念极具迷惑性，很多学生无法厘清这些概念的区别和联系。下面笔者通过几道例题总结得出一般结论，以期帮助学生辨析这四个概念之间的关系。

类型一：物块相对于长木板单向滑动

情境1：物块相对地面做单向运动且相对于长木板单向滑动

【例1】如图1所示，物块A质量为m=2 kg、木板B的质量为M=4 kg，不计A的大小。开始时A、B均静止。现使A以某一水平初速度v0=3 m/s从B的最左端冲上长木板。已知A与B之间的动摩擦因数μ=0.1，水平面光滑，且A恰好没有滑离B板。g取10 m/s2。求：

图1

(1)木板B的最小长度l；

(2)物块相对于木板的位移Δx；

(3)物块的划痕s；

(4)板块摩擦产生的热量Q=fs相中的相对路程s相。

图2

从冲入到相对木板B静止的整个过程中，物块A一直相对长木板B向右运动，且相对位移Δx=xA-xB=3 m。由图2可知相对位移Δx的大小同时也是长木板需要的最小长度l，同时也是物块能够留下的划痕长度s，以及摩擦产生的热量中的相对路程s相。

情境2：物块相对地面做折返运动但相对于长木板单向滑动

【例2】如图3所示，质量M=4 kg的长木板B静止在光滑的水平地面上，在其右端放一质量m=1 kg可视为质点的物块A。初始时刻，A、B分别以v0=2 m/s向左、向右运动，已知A恰好没有滑离长木板B。已知A、B之间的动摩擦因数μ=0.4，g=10 m/s2。求：

图3

(1)长木板B的最小长度l；

(2)物块相对于木板的位移Δx；

(3)物块的划痕s；

(4)板块摩擦产生的热量Q=fs相中的相对路程s相。

图4

类型二：物块相对于木板折返运动

【例3】一长木板B在水平地面上运动，在t=0时刻将一相对于地面静止的物块A轻放到木板B的一端，之后木板运动的速度和时间关系图像如图5所示。已知物块与木板的质量相等，物块与木板间动摩擦因数μ1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.3。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上，且最终均停止运动，取重力加速度g=10 m/s2，求：

图5

(1)木板B的最小长度l；

(2)物块相对于木板的位移Δx；

(3)物块的划痕s；

(4)板块摩擦产生的热量Q=fs相中的相对路程s相。

图6

由上述分析可知，从Ⅰ态到Ⅱ态，A相对于B向左滑行了x1=xB1-xA1=1.25 m；从Ⅱ态到Ⅲ态，A相对于B向右滑行了xA2-xB2=0.062 5 m；从Ⅲ态到Ⅳ态，A继续相对于B向右滑行了xA3=0.062 5 m，即从Ⅱ态到Ⅳ态，A相对于B向右共滑行了x2=0.125 m，因此整个过程A相对于B的位移为Δx=x2-x1=1.125 m。由此可知，Ⅱ态为A相对于B向左滑行的最远点，此时的相对位移x1=1.25 m就是长木板B需要的最小长度，而且还留下了1.25 m长的划痕；接着A又相对于B向右滑行了x2=0.125 m，又留下了0.125 m的划痕，但由于第二段划痕重叠在第一段划痕上，且比第一段划痕短，故整个过程的划痕长度取两段划痕的较大值，即s=x1=1.25 m。显然这两段相对运动中摩擦都产生热量，故Q=fs相中的相对路程s相=x2+x1=1.375 m。

上述结论总结如下：

类型一：物块相对于长木板单向运动，此时不管物块相对地面是不是做折返运动，相对静止后，长木板的最小长度l、物块在长木板上留下的划痕s、物块相对长木板的位移大小Δx、摩擦产生的热量Q=fs相中的相对路程s相，这四个物理量大小相等。在实际计算中可以先求出物块相对长木板的位移大小Δx，此物理量相对容易理解和计算。

类型二：物块相对于长木板做折返运动，相对静止后，需要单独算出物块相对长木板向前滑动的位移大小x1和向后滑动的位移大小x2，此时：

1.长木板的最小长度l为x1和x2中较大的一个

2.物块在长木板上留下的划痕s为x1和x2中较大的一个

3.物块相对长木板的位移大小Δx为x1和x2之差的绝对值

4.板块摩擦产生的热量Q=fs相中的相对路程s相为x1和x2之和

除了单物块长木板模型，2017年全国卷Ⅲ第25题还出现了双物块长木板模型，我们仍然可以通过刚才得到的结论理解此问题。

【例4】(2017·全国卷Ⅲ·25)(改编)如图7，质量m=4 kg 的长木板置于水平地面，与地面间的动摩擦因数为μ2=0.1，质量mA=1 kg的滑块A与质量mB=5 kg的滑块B，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1=0.5，某时刻A、B分别从长木板的两端以速度v0=3 m/s冲上木板，且A、B相遇时，A与木板恰好相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10 m/s2。求：

图7

(1)木板B的最小长度l；

(2)两物块的划痕之和s；

(3)两物块与长木板摩擦产生的热量Q=fs相中的相对路程s相。

图8

由上述分析可知，物块B相对长木板只是单向滑动随后相对静止；A虽然对地做往返运动，但是相对长木板也只是单向滑动后相对静止，并且相对静止后A、B在板上同一位置。可见虽然有两个物块，但本质上就是类型一中两个问题的组合。B相对于木板向右的位移大小为ΔxB=xB1-x板=0.6 m，A相对于木板向左的位移大小为ΔxA=x板+xB2+xB3+(xA1+xA2-xA3)=1.3 m，此时长木板的最小长度l、两物块在长木板上留下的划痕s、两物块在长木板上摩擦产生的热量Q=fs相中的相对路程s相都相等，且都等于ΔxB+ΔxA=1.9 m。

可见，只要确定了物体和长木板相对运动的类型，利用文中得到的结论，可以很容易地分辨出长木板的最小长度l、物块在长木板上留下的划痕s、物块相对长木板的位移Δx、摩擦产生的热量Q=fs相中的相对路程s相这四个物理量，使学生在多样的问题情境中抓住本质，针对性地解决问题。