半球形力学模型的平头压入材料弹塑性特征*

冯 超，刘二强，宋少楠

(1.台州科技职业学院 机电与模具工程学院，浙江 台州 318020；2.太原科技大学 应用科学学院，山西 太原 030024)

相较于单轴拉压等传统力学测试实验，压痕法具有实验周期短、操作简单、对试样尺寸形状要求低等特点，已广泛被用来测定各种材料的力学性能，其应用范围也从毫米级的宏观压入发展到纳米级的微/纳米压入测试技术[1]32-33。目前压痕法主要应用于测定材料的力学参量、研究力学机理、确定构件局部力学特性、与传统测试方法关联等方面[2]。压痕法是从硬度测试方法中发展而来的，压头形状直接关系研究的难易度和准确度，目前根据测试要求可选择柱形平头、圆锥、球形和棱锥等形状的压头[3]。相较于其他压头，平头压头具有压头正方受压区面积不变化，应力场分布形式也相对较稳定的优点[4]，被广泛用于进行材料压痕蠕变、压痕疲劳、弹塑性测试测定等实验[5-6]。

有关柱形平头压头对不同材料压入的理论与实验已经广泛进行，岳珠峰等[7-9]研究了通过柱形平头压头压入确定不同材料的蠕变参数的方法，并进行了关于蠕变损伤、获得薄膜弹塑性参数等研究。王伟[1]33-34利用有限元的方法对平头压头压入弹性材料的应力应变响应进行了研究。Wright等[10]277-280通过柱形平头压头对高分子材料PC的压入研究指出压头压入端部的平均压力约等于拉伸屈服应力的4～5倍，且与压头直径及凸起无关。Cheng等[11]13-22总结之前的研究结果指出理想弹塑性压入时压入材料受载荷影响区为轴对称区域，包含塑性变形区、弹性变形区及周边区域，且每个变形区均为非均匀梯度应变。Eldridge等[12]用圆柱形平头压头确定等离子喷涂涂层有效模量随涂层厚度变化的函数。Hu等[13]582-583提出可以通过使用计算机模拟和平头压头压痕实验想结合的方法来表征材料的弹塑性特征。本文通过对尼龙12(PA12)材料进行柱形平头压痕压入研究，结合平头压入弹塑性材料的相关解析解，研究圆柱平头压入时材料受载荷影响区域应力应变场的变化过程。

1 理想弹塑性压入半球形力学模型

1.1 理想弹塑性的力学模型

图1 柱形平头压入弹塑性压入的力学模型

(1)

式中：σ为压头下的接触应力，E为杨氏模量，μ为泊松比，h为压入深度，a为压头半径，r为径向半径，v为摩擦系数，σ0为接触中心点O的应力，c0是取决于ν和μ的系数，在一定h条件下为常数。

由式(1)可知，在压头边缘r=a处的应力无法确定，这是由于压头具有尖锐边缘，而压入总时材料的塑性变形会降低边缘处的应力，压头边缘处的应力具有不确定性。接触面上的总荷载可以通过积分求得，如式(2)所示[16]。

(2)

式中：P为压入载荷；A=πa2为平头压头端部面积；po为压头下方中心点应力。

1.2 半球形力学模型的解析解

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

1.3 载荷系数

由式(2)和式(7)可得式(8)。

(8)

由式(8)可知，k值与h成正比，得式(9)，即

(9)

换而言之，该模型变形区域弹性和弹塑性区域边界半径与压头半径之比(c/a)值随着h的增加而增大，即随着h增大，压头下方受加载影响的区域随之增加如式(10)所示。

(10)

2 实验部分

2.1 原料

尼龙12(PA12)：圆形板，D20 mm×3 mm，市售。

2.2 仪器及设备

万能材料试验机：Instron 5544，美国Instron公司柱形平头压头工装，如图2所示，其中柱形平头压针直径为1 mm，h设定为0.25 mm。

图2 柱形平头压头及夹具

考虑到PA12具有黏弹性特征，为消除材料黏弹性在加载过程对测试结果的影响，因此在载荷控制模式下加载速度设定为100 N/s。不考虑黏弹性的影响，该材料的E=512 MPa，而根据如图3所定义的屈服点，做三次重复实验取σy=55 MPa[18]。

应变图3 屈服应力的拾取

3 结果与分析

3.1 载荷系数与常数

c/a图和k随c/a的变化关系曲线

由式(9)可计算得到取决于材料ν和μ的常数c0，由图5可知，相同h下，c0随设定值c/a增大而增大，且逐渐趋于一致。随着h增大，尽管受压入效应影响的半球形直径增大，而P变化不再显著，从而表现为c0在h大于0.4 mm时，不同c/a条件下均趋向于一个恒定值。显然，c0尽管为取决于ν和μ的常数，但其为h的函数，不同压入时具有不同的数值，而当h大于0.4 mm时趋于稳定值。即c0对于特定的材料，一定h下为常数，而其随h而变化，当h大于一定数值时趋于稳定值。

h/mm图5 不同c/a时c0随h变化的曲线

3.2 法向、周向应力和法向位移

由式(3)、(4)、(5)分别可计算得到σr、σθ和ur，分别如图6(a)～6(c)所示。显然，随着h增大，受载荷影响弹性和塑性半球形区域增大。压深较小时c/a取小值，受载荷影响区域较小，当c/a=2时，r约为1.5 mm处，各向的应力及位移均趋于0；当c/a=12时，r约为2 mm处，各向的应力及位移均趋于0。换而言之，尽管随着h的增大c/a也随着增大，但增大的趋势并不显著，h对压入区域的影响仅局限于距离压头中心约为2 mm距离的半球形之内，而距离压头中心较远距离的位置影响很小。h对载荷影响区域的影响基本仅局限于在压头下方静水压力区域和距离压头中心位置较近的位置，而距离压头较远的部位影响相对较小，这与圣维南原理的结论相一致。

r/mm(a) σr

取σy=55 MPa，由图6(a)、图6(b)可知，受压入载荷影响区域同一点处σr明显大于σθ。当c/a=2时，r≈0.65 mm为材料的法向压应力屈服边界；r≈0.5 mm为材料的周向拉应力屈服边界。当c/a=12时，r≈0.85 mm为材料的法向压应力屈服边界；r≈0.7 mm为材料的周向拉应力屈服边界。即随着h(或c/a)的增大，法向和周向去边边界外延，因同一点处σr大于σθ，该点首先为法向的压缩屈服而后为周向的拉伸屈服。而随着h(或c/a)增大，屈服边界外延趋势变化不再明显，在r≈0.85 mm时的法向屈服和r≈0.7 mm时的周向屈服边界趋于稳定。总之，随h增加，在r≈0.85 mm时材料的屈服边界趋于稳定，r<0.85 mm时为塑性屈服变形区；r>0.85 mm时为弹性变形区。

3.3 弹性边界与压入深度的关系

对压入过程的载荷控制加载模式，加载段载荷P(t)和位移h(t)可以用经验公式(11)拟合[19]。

P(t)=M·h(t)B

(11)

式中：P(t)为加载段载荷的时间函数，h(t)为加载段位移的时间函数，A和B为与材料的弹塑性性能及其压头的几何形貌有关的拟合常数，而A成为加载系数。用式(11)对压入实验数据进行拟合，结果如图7所示。由图7可知，PA12柱形压头(直径1 mm)压入(不考虑黏性)，加载段函数为式(12)。

P=2 100h3.14

(12)

h/mm图7 P随h的变化关系及其拟合曲线

由式(11)和式(7)可知，对于圆柱形压头压入过程，受压入影响的c/a可由式(13)计算:

(13)

而对于 PA12的柱形压头(直径1 mm)压入过程，c随h的变化关系为式(14)。

(14)

(15)

计算得到c/a≥1.18。而式(11)在不考虑压入基底效应的情况下，对于弹性和弹塑性变形情况均适用，因此式(13)和式(14)在c/a≥1.18时才可使用。对于PA12柱形压头(直径1 mm)压入，分别计算在不同h下的c值，如图8所示。根据式(15)可得c/a=1.18时，h=0.36 mm；c/a=4时，h=0.54 mm；c/a=12时，h=0.63 mm，并分别在图8中标识出来。

4 结 论

局部压入技术相较于传统宏观测试方法具有显著优势，所需试样尺寸小，不受形状制约，而由于压头下方受压入载荷影响区域为非均匀复杂应力应变状态，故而该技术的应用受到一定程度制约。

以PA12为实验材料，基于该理论模型结合实验数据对压入过程的弹塑性特征进行了分析研究。结果表明，特定材料在一定h下的k为常数，随k增大而增加，而当k大于一定值时趋于稳定。随着k增大c/a也随之增大，但增大的趋势并不显著，k对压入区域的弹性和塑性变形行为的影响仅局限于距离压头中心较小的半球形之内，而对距离压头中心较远区域的影响很小。研究给出了圆柱平头压头压入时受压入影响的弹性和弹塑性区域半球空间特征值c/a值的计算公式，并分析指出公式使用范围较窄，即压入过程中材料从塑性屈服开始到出现明显凸起或凹陷现象，对于直径1 mm平头压头压入PA12材料的压入过程，当h为0.36～0.54 mm地时该公式可较好地反映材料柱形平头压头压入过程的应力应变特征。