基于背景值优化GM(1,1)模型的平顶山市GDP预测

张晓果，赵颖范，杜亚冰，兰奇逊，李亚杰

(1.河南城建学院 数理学院，河南 平顶山 467036;2.深圳星河控股集团有限公司，广东 深圳 518046)

国内生产总值是衡量一个国家或地区经济发展情况的重要指标.平顶山自1957年建市以来，一直是一个以煤炭资源为依托的工业型城市，依煤而立，因煤而贵.借助煤炭资源，十年前，平顶山GDP稳居河南省前列，而当今，我国经济进入新的发展阶段，煤炭需求增长速度变缓，产能过剩比较严重.对于资源型城市来说，平顶山产业结构升级极为迫切.根据历史数据合理预测平顶山市GDP有着重要的现实意义.

1982年，我国著名学者邓聚龙教授创立了灰色系统理论.目前，该理论广泛应用于经济、农业、气象、地质、工程等学科[1-2]，它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本、贫信息”的不确定系统为研究对象.灰色模型(Grey Model，简称GM)是比较常用的一种预测模型，结合少量、不完全的信息，通过已知信息的生成，提取有价值的信息，建立灰微分方程，对事物发展规律进行合理刻画，进而预测未来发展.

GDP预测是诸多学者潜心研究的热点之一.李凯等[3](2017)构建改进GM (1,1)模型预测2017—2020年上海市GDP；孙爱民[4](2020)基于新信息优先，利用初始值优化的GM (1,1)模型预测西安市2019—2023年GDP；董广萍等[5](2016)利用GM (1,1)模型研究河南省经济发展预测问题.灰色预测模型可以用少量的数据达到精度较高的预测效果，但模型的进一步优化仍是值得深入研究的问题.常见的优化方法有两种：一是改进初始值，二是优化背景值.党耀国等[6](2005)提出以x(1)(n)为初始条件进行GM (1,1)建模；田梓辰等[7](2018)利用拉格朗日插值和组合拉格朗日插值的方法得到新的背景值，提高预测精度；卢捷等[8](2020)利用初始值和背景值改进的GM(1,1)模型预测国内石油年消费量，预测精度较高.

本文在分析现有文献的基础上，以平顶山市2012—2018年GDP为原始数据，建立传统GM(1,1)模型和背景值优化GM(1,1)模型，预测平顶山市2019—2023年的GDP，以期为相关部门制定政策和计划提供参考.

1 传统GM(1,1)模型

传统GM(1,1)模型的建模步骤如下：

(1)级比检验

对原始数据序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，计算级比：

λ(k)=x(0)(k-1)/x(0)(k),k=2,3,…,n

(1)

若所有级比落在可容覆盖区间(e-2/(n+1),e2(n+1))内，则该原始数据序列可作GM(1,1)建模，否则通过平移变换、对数变换和方根变换等方法进行数据处理.

(2)构造一次累加生成数据序列

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

(2)

(3)建立灰色模型

(4)求解与还原

时间响应序列为：

(3)

累减生成还原值序列，得到灰色模型的预测结果

(4)

2 背景值优化的GM(1,1)模型

3 模型检验

3.1 残差检验

3.2 级比偏差值检验

3.3 后验差检验

根据表1检验精度等级.

表1 预测精度等级对照表

4 平顶山市GDP预测

4.1 数据来源

选取平顶山市2012—2018年的GDP数据(见表2，数据来源：河南统计年鉴2013—2019)做建模分析.

表2 平顶山市2012—2018年GDP原始数据 亿元

4.2 传统GM(1,1)模型及检验

4.2.1 级比检验

根据式(1)计算可得原始数据序列的级比范围为(0.915 0,0.971 0)，全部落入可容覆盖区间(e-2/(8-1),e2/(8+1))=(0.778 8,1.284 0)内，所以该数据可以用于灰色预测.

4.2.2 GM(1,1)模型

记表2中从2012—2018年的GDP数据序列为：

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(7))=(1 495.80,1 556.88,1 637.17,1 686.01,1 825.14,1 994.66,2 135.23)

一次累加生成序列为：

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(7))=(1 495.80,3 052.68,4 689.85,6 375.86,8 201.00,10 195.66,12 330.89)

紧邻均值生成序列为：

Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(7))=(2 274.24,3 871.27,5 532.86,7 288.43,9 198.33,11 263.28)

得到矩阵

(5)

其中k为序列号，对应年份的排序，例如序号0对应年份2012年，由式(5)累减还原得到2012—2018年平顶山市GDP的模拟值，相关数据见表3.

表3 传统GM(1,1)模型模拟结果

4.2.3 GM(1,1)模型检验

4.3 背景值优化的GM(1,1)模型

计算得到新的背景值Z(1)=(2 182.46,3 812.86,5 489.77,7 250.18,9 162.17,11 229.46)，类似传统GM(1,1)模型建模过程，得基于背景值优化的GM(1,1)模型:

表4 背景值优化GM(1,1)模型模拟结果

从级比偏差检验、后验差比检验和小概率误差检验可知，两个模型精度都为一级，从平均相对误差看，背景值优化GM(1,1)模型要优于传统GM(1,1)模型，采用背景值优化GM(1,1)模型预测平顶山市2019—2023年的GDP.

4.4 背景值优化GM(1,1)模型预测2019—2023年GDP

背景值优化GM(1,1)模型拟合效果较好，预测精度较高，可以用于预测平顶山市2019—2023年的GDP年度数据，预测结果见表5.

表5 2019—2023年平顶山市GDP预测数据 亿元

根据《河南统计年鉴2020》公布的平顶山市2019年GDP为2 372.64亿元，预测误差为4.73%，之所以产生误差，一方面是数据舍入误差引起，另一方面是因为2019年的GDP增长速度较快.根据数据统计计算可知，2012—2018年GDP平均增长6.14%，2012—2019年GDP平均增长6.85%，而2019年比2018年GDP增长了11.12%.事实上，2019年平顶山GDP增长速度超出河南均值，也远超全国均值，表明平顶山的产业结构优化升级成效显著.根据平顶山市统计局发布的2020年全市经济运行情况，2020年平顶山市GDP为2 455.84亿元,预测误差为1.73%.根据表5预测结果可知，平顶山市2019—2023年间GDP将保持平稳增长，平均增长率预计为6.76%.预计到2023年，平顶山市GDP将达到2 937.05亿元.

5 结论

以平顶山市2012—2018年GDP为研究数据,建立传统GM(1,1)模型和背景值优化GM(1,1)模型，采用背景值优化GM(1,1)模型预测效果较为理想，故利用该模型预测平顶山市2019—2023年的GDP.结果表明：平顶山市2019—2023年GDP将保持6.76%的增长率平稳增长，建议平顶山继续保持产业结构优化升级的成果，努力探索经济发展新模式、新方法，更好地实现经济、社会高质量发展和人民生活水平的全面提升.