抓住结构特征，灵活求解方程（组）

林运来 陈燕玲

【摘要】 方程（组）问题是中考和数学竞赛中的热点问题.解方程（组）时，既要学会按部就班地求解，又要善于抓住结构特征，探寻求解路径，灵活地解决问题.文章举例说明数学竞赛中解方程（组）常用的整体思维、正难则反、拆项变形、巧取倒数、巧妙换元、利用配方、“不等”导“等”、构造函数等8种策略.

【关键词】 方程;方程组;结构特征;求解路径

方程是重要的数学工具，用它能更好地变未知为已知.早在300多年前数学家笛卡尔就有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题;其次，把所有的数学问题转化为代数问题;最后，把代数问题转化为方程问题.虽然这一伟大设想没有最终实现，但是充分说明了方程的重要性.方程（组）问题是数学竞赛中的热点问题.在解方程（组）时，既要学会按部就班（严格按照步骤）地求解，又要能根据方程（组）的结构特点，灵活使用解题策略进行求解.下举例说明.

1 整体思维

整体思维就是将问题看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体上，全面地获取和分析信息，进而简捷地解决问题.

例1 解方程：

x-34x-14x-52022=316x-52022+3.

解 x-34x+316x-52022

=316x-52022+3，

所以14x=3，

即x=12.

注 把x-52022视为一个整体，迅速地把握了方程各部分之间的联系性和规律性.

例2 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元;若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元;现在购甲、乙、丙各一件，共需多少元？

解 设购甲一件需x元，乙一件需y元，丙一件需z元，依题意，得

3x+7y+z=315，4x+10y+z=420，

所以（x+y+z）+2x+6y=315，①

（x+y+z）+3x+9y=420.②

①×3-②×2，得

x+y+z=105.

所以购甲、乙、丙各一件，共需105元.

注 本例中未知数的个数多于方程的个数，一般不能求出所有的未知数.问题需要求出x+y+z的值，于是视其为一个整体进行求解，“抓住了问题的主要矛盾”.

2 正难则反

解某些方程（组）时，若从正面思考难以解决时不妨转向反面思考，当直接求解比较复杂时就可以考虑间接求解解法.

例3 解方程：

12121212x-2022-2022-2022-2022

=0.

解 121212x-2022-2022-2022

=2×2022，

所以1212x-2022-2022=6×2022，

即12x-2022=14×2022，

所以x=30×2022=60660.

注 一般地，在计算时，如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.本例反其道而行，由外向内去括号，显得事半功倍，同时还要注意体会解题过程中保留乘法形式的意义.

3 拆项变形

所谓拆项变形，就是把一个式子或一些式子拆成若干部分，然后利用拆项后的新形式进行解题.在中学数学中，拆项的方法也是多样化的，如拆项成和、拆项成差、拆项成积、拆项成商等.

例4 解方程：2015-x2017+2016-x2018+2017-x2019=2018-x2020+2019-x2021+2020-x2022.

解 1-x+22017+1-x+22018+1-x+22019

=1-x+22020+1-x+22021+1-x+22022，

即x+22017+x+22018+x+22019=x+22020+x+22021+x+22022，

所以x+2=0，

所以x=-2.

注 本例根據方程的结构特点，通过对每个分式分离出常数1，使每个分式的分子相同，问题也就迎刃而解.

4 巧取倒数

有些方程（组），直接求解难以入手或十分繁琐，若能根据方程（组）的结构特点，利用取倒数（即进行倒置变换）的方法求解，可以实现问题的转换，化难为易.

例5 解方程组pqp+q=65，qrq+r=34，rpr+p=23.

解 依题意，得1p+1q=56，1q+1r=43，1r+1p=32.

所以1p+1q+1r=116，

进一步可以求得p=2，q=3，r=1.

例6 已知1x+1y+z=12，1y+1z+x=13，

1z+1x+y=14，求2x+3y+4z的值.

解 由1x+1y+z=12，得

x+y+z=12（xy+xz）=12x（y+z），

所以2x=y+zx+y+z，

同理得3y=z+xx+y+z，

4z=x+yx+y+z.

所以2x+3y+4z

=y+zx+y+z+z+xx+y+z+x+yx+y+z=2.

5 巧妙换元

求解某些方程（组）时，通过引入一个或几个新“元”代替问题中原来的“元”，使以新元为基础的方程（组）比较简单，在求解新方程（组）后将结果倒回去恢复原来的元，从而使原方程（组）得解.

例7 解方程：

1x2+11x-8+1x2+2x-8+1x2-13x-8=0.

解 设y=x2+2x-8，原方程可化为

1y+9x+1y+1y-15x=0，

解得y=9x，或y=-5x.

再解方程x2+2x-8=9x和x2+2x-8=-5x，

得x1=8，x2=-1，x3=-8，x4=1.

经检验，它们都是原方程的解.

注 本例通过去分母解方程是很困难的，而利用换元法使方程变得简单得多，这样便于寻求解方程的简便途径.

6 利用配方

配方法就是根据方程（组）的特点，把其中某些多项式配成正整数次幂的形式，一般来说用得最多的是配成平方的形式.

例8 解方程组：x=2z21+z2，y=2x21+x2，z=2y21+y2.

解 当x=0时，有y=z=0.

当x≠0时，则y≠0，z≠0，

由已知，得2x=1z2+1，①

2y=1x2+1，②

2z=1y2+1.③

①+②+③得

1x2+1y2+1z2-2x-2y-2z+3=0，

配方得1x-12+1y-12+1z-12=0.

所以1x-1=1y-1=1z-1=0，

即x=y=z=1.

所以原方程组的解为

x=y=z=0，x=y=z=1.

注 本例借助配方并根据非负数的性质进行求解.

7 “不等”导“等”

利用不等式的性质，对方程（组）进行等价转化，可达到化难为易的目的.

例9 解方程组：4x21+4x2=y，4y21+4y2=z，4z21+4z2=x.

解 由已知易得

x≥0，y≥0，z≥0.

显然x=y=z=0是方程组的一组解.

当x>0，y>0，z>0时，将上述方程组中三个式子相乘，得

64xyz（1+4x2）（1+4y2）（1+4z2）=1，

即（1+4x2）（1+4y2）（1+4z2）=64xyz.

因为a2+b2≥2ab，

当且仅当a=b时等号成立，

所以（1+4x2）（1+4y2）（1+4z2）≥64xyz.

当且仅当2x=1，2y=1，2z=1，时等号成立，

所以x=y=z=12.

所以原方程组的解为

x=y=z=0，或x=y=z=12.

注 本例借助重要不等式a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立），从已知信息中借助“不等”中等号成立的条件导出新的“等式”，进而简化了方程组，使问题顺利获解.

8 构造函数

例10 [x]表示不超过x的最大整数，已知x不是整数，解方程x+2022x=[x]+2022[x].

解 由已知得x≠[x]，设y=t+2022t，则t=x与t=[x]对应的函数值相等，即关于t的方程t2-yt+2022=0的两根为x，[x].

则x·[x]=2022.

因为x-1<[x]<x，

（1）当x>0时，x（x-1）<2022，

且x2>2022，

所以2022<x<1+80892.

因为44.9<2022<x<1+80892<45.5，

所以[x]=44或者[x]=45，

当[x]=44时，因为x·[x]=2022，

所以x=101122>45，不合题意;

当[x]=45时，x=202245<45，矛盾.

（2）当x<0时，x（x-1）>2022，

且x2<2022.

所以-2022<x<1-80892.

因为-2022<-44.9<x<1-80982<-44.4.

所以[x]=-45，x=-202245.

经检验，x=-202245符合要求.

注 本题利用了高斯函数的基本性质，构造函数，将方程问题转化为不等式问题，通过确定的范围，进而确定[x]的值，最后通过检验使问题得解.

总之，根据“结构特征”求解方程（组），不仅意味着我们需要有完整性和融通性的知识结构，而且解题的关键之处还在于两点：一是需要敏锐的洞察力，善于抓住所求解方程（组）的结构特征;二是善于转化，通過分析、挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究，进而创造性地解决问题.