反客为主，化难为易

王益玲 李先兵

反客为主是一种非常规的思维方式，是在解决问题的过程中将常量视为变量，把静态视为动态，从而达到转化矛盾，巧妙解题的目的.关于将常量视为变量的例子相对较多，读者也一定有自己的理解，本文不再赘述.而动态几何遍地开花的题海中，当动态部分过多，干擾解题时，可以根据辩证唯物主义的思想，将动态和静态互易，反客为主，往往可以找到解题思路.下面举例说明.

例1 如图1，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为.

分析 此题中求两条线段和的最值问题，是初中几何经典问题之一，将两条线段转移为一条两端点固定的折线，是常用的解题策略.此题中A′，B′相对于C而言同时进行相同的平移变换（图2），即△BCD固定时，A′，B′均沿着射线BD的方向平移BB′，利用运动的相对性，能否将△ABD固定，△BCD沿着上述相反的方向平移呢（图3）？探究后不难发现，两者的运动是完全一致的.

所以 A′C+B′C

=AC′+BC′.

利用经典问题——将军饮马，作B关于直线CC′的对称点B″，连接AB″（图4）.

则（A′C+B′C）min

=（AC′+BC′）min

=AB″=3.

注 此题中的难点在于两个动点A′，B′和一个定点C组成的线段和，利用反客为主巧妙地减少动点个数，将问题转化为经典数学问题——将军饮马.

例2 如图5，边长为3的等边△ABC的顶点在x轴的正半轴上移动，∠AOD=30°，顶点B在射线OD上随之移动，则顶点C到原点O的最大值为.

分析 此问题可以简化为30°角的内部放置了一个定边长的正△ABC，图6求顶点C到角的顶点O距离的最大值.∠AOB是静态图，△ABC是动态图，由于动态元素过多，无法寻到突破口，现将△ABC固定，将∠AOB动起来，显然线段AB是定长3，∠AOB是定角30°，则O的轨迹是以E为圆心，3为半径的优弧（如图6）.

所以当O，E，C共线时，OC达到最大值，最大值为33+3.

注 初看此题，会探索点C的轨迹，而后发现点C的轨迹既不是直线，也不是弧，探索戛然而止.由于动态元素过多，利用反客为主，化动为静，柳暗花明，寻到出路.

例3 如图7，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的值是.

分析 以MN为一边的等腰△MNP，点P必在分别以M，N为圆心，MN为半径的⊙M，⊙N上或MN的中垂线上，简称P必在“两圆一线”上（如图8）.换言之“两圆一线”与射线OB恰有两个公共点时，符合该题条件.然而线段MN及两圆一线均为动态元素，给探索过程增加了难度.不难发现此时静态元素只有∠AOB的两边，我们不妨联想到反客为主，将∠AOB的OB边沿射线OA的反方向平移，线段MN及两圆一线即为静态元素，这样大大降低了探索的难度，简化了探索的过程.

画图可得，此题中的四个临界情况时，射线OB对应的位置如图9，分别记作l1，l2，l3，l4，对应的x的值分别为

23-2，

42-4，4，42.

故符合条件的x的值为：

23-2，42，

42-4<x≤4.

注 此问题中操作的思路明确，但由于动态元素过多，大大增加了探索难度.利用反客为主既降低了探索的难度，又简化了探索的过程.

几何动态问题是重视知识形成过程理念下的产物，探索知识的形成过程，也是培养学习能力的内在要求.因此在几何动态背景下，探索几何图形间的位置和数量关系，必是学生学习的重点，当动态元素过多时，可以反其道而行之，从辩证的角度，将动态视为静态，从而转化矛盾，找到问题的突破口或简化探索的过程.