设而不求，速解二次函数压轴题
2022-07-24郭鸿金江书婉
郭鸿金 江书婉
【摘要】 以二次函数为背景的压轴题是全国各地中考常考的题目.而在二次函数的背景中，经常需要求一次函数的解析式、二次函数的解析式和联立一次函数解析式与二次函数解析式，这三个求法对于学生而言计算量都很大.本文利用“设而不求”的技巧和韦达定理例析三道中考二次函数压轴题，让学生体会“设而不求”与韦达定理相配合的简便性.
【关键词】 设而不求;二次函数;压轴题
例1 如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y=-12x+2经过B，C两点.
（1）直接写出二次函数的解析式;
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标.
解 （1）y=12x2-52x+2.
（2）设直线BC平移之后的直线为l.
因为直线l是由直线BC平移得到的，直线BC的解析式：y=-12x+2，
所以设直线l为y=-12x+b，
联立：y=12x2-52x+2，y=-12x+b， 得
12x2-2x+2-b=0，
因为直线BC与抛物线有唯一公共点，
所以Δ=0.
所以x=-b±Δ2a=2±01，
所以x1=x2=2，
所以Q（2，-1）.
注 常规解法是利用Δ=0，求出b=0.
再次联立解析式：y=12x2-52x+2，y=-12x，
解出x1=x2=2，最后求出Q（2，-1）.若是采用上面“设而不求”的技巧，计算量可以减少一个一元一次方程和一个二元二次方程组.
例2 如图2，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，-3）.连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO，求点P的横坐标.
解 抛物线交y轴于点C（0，-3），
所以y=x2+bx-3.
将A（1，0）代入y=x2+bx-3，得b=2.
所以y=x2+2x-3.
在x轴上取A′（0-，1），连接A′C，过点A作AH⊥A′C，交A′C于点H，
因为A′O=AO，∠A′OC=∠AOC，OC=OC，
所以△A′OC≌△AOC，
所以∠ACO=∠A′CO，
所以∠PAB=2∠ACO=∠A′CA，
因为A′O=AO=1，OC=3，
所以A′C=10，
因为A′A·OC=AH·A′C，
所以AH=3510.
所以HC=4510.
所以tan∠PAB=tan∠A′CA=AHCH=34.
所以设直线AP1的解析式为y=-34x+b1，
直线AP2的解析式y=34x+b2.
所以y=x2+2x-3，y=-34x+b1，
y=x2+2x-3，y=34x+b2，
得x2+114x-（3+b1）=0，①
x2+54x-（3+b2）=0，②
由①得x1+x2=-ba=-114，
又因为x1=1，
所以x2=-154.
所以点P的横坐标为-154.
由②得x1+x2=-ba=-54，
又因为x1=1，
所以x2=-94.
所以点P的横坐标为-94.
综上所述，点P的横坐标为-154或-94.
注 常规解法是先求出直线AP1，直线AP2的解析式，然后联立两个方程组，求出点P的横坐标.若是采用上面“设而不求”的技巧，计算量可以减少两个一元一次方程和两个二元二次方程组.
例3 如图3，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点C坐标为（0，4），点B坐标为（2，0）.在抛物线上
是否存在点P，使∠ABP=∠BCO，如果存在，求出点P的横坐标;如果不存在，请说明理由.
解 因为抛物线交y轴于点C（0，4），
所以y=-12x2+bx+4，
因为∠ABP=∠BCO，
所以tan∠ABP=tan∠BCO=BOCO=12，
所以在y轴上取点D（0，1）和点D′（0，-1），连接BD和BD′，交抛物线于点P1与点P2.
所以设直线BD的解析式为y=k1x+1，
设直线BD′的解析式为y=k2x-1，
所以y=-12x2+bx+4，y=k1x+1，
y=-12x2+bx+4，y=k2x-1，
得-12x2+（b-k1）x+3=0，①
-12x2+（b-k2）x+5=0，②
由①得x1·x2=ca=-6，
又因為x1=2，
所以x2=-3.
所以点P1的横坐标为-3.
由②得x1·x2=ca=-10，
又因为x1=2，
所以x2=-5.
所以点P2的横坐标为-5.
综上所述，点P的横坐标为-3或-5.
注 常规解法是求出抛物线、直线BD、直线BD′的解析式，然后联立两个方程组，求出点P的横坐标.若是采用上面“设而不求”的技巧，计算量可以减少三个一元一次方程和两个二元二次方程组.
通过例析以上三道中考二次函数压轴题，发现一次函数、二次函数有时候可以“设而不求”，通过求根公式、韦达定理求出一次函数与二次函数的交点坐标.达到减少计算量，快速解题的目的.
