高中数学核心素养之数学抽象能力的培养

周金强

【摘 要】 数学抽象是数学核心素养中重要的素养之一，在高中数学教学中，教师不仅要注重对学生理论知识的传授，还要强化学生数学抽象能力的形成和发展.本文从数学抽象能力的内涵和意义出发，简要论述了数学抽象的认知过程，以及基于核心素养大背景，提出了培养学生数学抽象能力的有效策略，旨在促进学生数学抽象能力的养成，为学生核心素养和综合能力的发展奠定基础.

【关键词】 高中数学;核心素养;抽象能力

1 前言

核心素养的提出加快了教育改革的步伐，同时给高中数学教学提出了新要求.数学抽象既是数学的基本思想，也是数学思维形成和发展的根本.因此，培养学生数学抽象能力具有重要意义，需要教师根据数学抽象的认知过程，采取行之有效的策略，以促进学生数学抽象能力的培养与发展.

2 数学抽象能力的内涵和意义

2.1 数学抽象的内涵

能力从心理学角度来说是对活动效果能够产生影响的心理特征，可以说是一种满足活动要求的本领，而数学能力则是可以相对容易且彻底的掌握数学知识、方法以及习惯的特殊心理特征.数学抽象能力作为数学能力中最主要的核心部分之一，是人脑在对具体实例进行观察、分析、整合的过程中将探究对象的本质属性进行抽象化，并针对大量材料进行相应概括得出结论，最终将其推广和应用于解决实际问题或做出论断的过程.

2.2 培养数学抽象能力对数学学习的意义

高度抽象性是数学学科特点之一，正是由于数学学科的高度抽象性，使得学生对数学内容不易理解和应用，学生极易对数学学科产生抵触情绪，这就要求学生具备相应的抽象思维能力.在高中数学实际教学过程中，教师要运用行之有效的方法以提高学生的积极主动性，培养学生的数学抽象能力，灵活数学知识解决遇到的难题的能力，既从整体上促进学生数学学习能力的提升，又有效培养学生的数学核心素养.

3 数学抽象的认知过程

数学的学习过程一般是经由概念引入内涵，系统性的获得理论知识，然后形成自身技能，从而发展思维，最终理论与实践相结合并灵活运用于实践当中.数学抽象大致可分为三个阶段：

第一，情境认识阶段，认识阶段是学习者对数学内容中的概念和数学方法初步了解的阶段.在高中数学实际教学中，为使学生加强对理论知识的认识，教师会将抽象的理论具象化，结合学生已有的理解能力和认知水平建立具体化的情境，情境认识阶段就是由抽象到具象的过程.

第二，消化适应阶段，在课堂教学中，通过教师的讲授或学生的自主阅读，运用自己的方法经验对所学内容进行消化理解，将新知识与已经内化的旧知识进行关联性比较，将新知识的关键要素、应用条件以及适用范围进行解析，并在这一过程中将新知识进行抽象化处理，从而融入自己已有的知识体系当中.消化适应阶段，会使新旧知识有联系、有冲突，同时也会触发自己知识体系的盲区，这些有助于学生对新知识的理解，消化适应阶段指的是从具体转为抽象的过程.

第三，转化实践阶段数学教学的最终目标是为了利用数学能力解决实际问题.学生在实际生活中遇见问题首先应将具体问题进行抽象化转换，然后在已有认知的基础上进行判断，从自己知识框架中进行调配适合相关情境的知识内容.在转换应用阶段，要经过具体到抽象，再由抽象到具体的过程，在抽象与具体的反复转化中达到解决问题的目的.

4 培养学生数学抽象能力的有效策略

4.1 加强数学概念教学

数学概念是最能反映事物本质的理论，也是对事物的高度抽象和概括.但是，在高中数学实际教学中，有些教师可能不太注重概念的教学，觉得概念是一段文字的论述，只做简单的介绍而没有花费时间重点剖析，这样就会造成学生对概念的理解不透彻.因此，教师在教学中要加强对数学概念的教学，引导学生体验对事物本质经过抽象概括从而提炼形成概念的，教师要设置有启发性的问题以符合学生的现有水平和潜在发展能力，促使学生将新旧知识相互联系，从而探索数学学习内容的本质.

教师在概念教学时，可以提倡学生进行自主学习，让学生经过独立思考对概念有初步的认识，或设置问题引导学生思考或是通过小组合作的形式进行讨论加强对概念的理解，教师还可以让学生通过自己的语言来说明对概念理解的过程和结论.这种多元化的学习过程，能够促进学生抽象概括能力的形成，从而达到事半功倍的教学效果.

4.2 搭建知识与知识之间的桥梁

培养学生的数学抽象能力要贯穿于整个数学教学内容中.数学学科各个章节其实都存在着联系，教师在教学时要挖掘各个章节知识点之间的联系，将知识点之间的关系进行串联以提高数学抽象能力.在这一过程中，教师还要侧重于学生自主总结能力的养成，使学生在总结时寻找规律、发现规律，以达到锻炼学生数学抽象能力的目的.

教师要引导学生对数学本质和数学规律进行挖掘和总结，并从中得出结论.

在三角函数诱导公式的教学过程中，教材（苏教版必修第一册7.2.3）給出了六组诱导公式，以正弦为例分别是：

sin（α+2kπ）=sinα（k∈Z）（公式一）;

sin（-α）=-sinα（公式二）;

sin（π-α）=sinα（公式三）;

sin（π+α）=-sinα（公式四）;

sin（π2-α）=cosα（公式五）;

sin（π2+α）=cosα（公式六）;

教师在讲解了这六组诱导公式以后，可以进一步引导学生归纳探究sin（kπ2±α）与sinα的关系，从六组诱导公式归纳抽象得到“奇变偶不变，符号看象限”的一般性结论，使学生能够更好的理解、记忆和运用诱导公式.

4.3 在应用中提高学生的数学抽象概括能力

广泛应用性是数学学科的又一特点，数学学科的实践应用可以有效提高学生数学综合能力学生在实践过程中，把新问题、新情境和自身已有的知识体系搭建关系，将实际的问题抽象为数学模型从而使新问题得以解决.为提高学生数学抽象概括能力，教师可以在开放性问题、数学建模和变式练习中来构建相关应用情境.

开放型问题：也就是具有探索和探究性的问题，这种类型的问题对学生核心素养的培养有很大的促进作用.教师设置相关开放型题目，学生通过对已知条件的观察、探究、想象进行推理，并进行最后的验证.写出一个同时具有性质对任意0<x1<x2， 都有f（x1）>f（x2）;f（1）=1的函数f（x）=   . 这类问题需要学生抓住题目的抽象条件，具象出满足条件的数学模型.所以，解决开放型问题能对学生的数学思维进行有效的训练，也是对学生抽象概括能力的培养.

数学建模：这里所说的数学建模与一般意义上的数学建模不同，一方面要对数学解题模型进行总结，建立同类型题目解答的典型模板.这需要学生针对足够多的题目进行解决，然后在问题有效解决后总结出通用的方法步骤，并形成相应题目解决的模型，在应用这类模型中，要明確模式中的变量和不变量，明确哪些内容是核心内容.

另一方面，将学生在实际生活中遇到的问题抽象成数学建模，学生可以根据个人差异，选择自己擅长或感兴趣的内容，结合自己所处的环境，选择探究的对象进行问题的提炼、分析和解决.遇到具体问题转化为数学模型的过程，也就数学抽象进行应用实践的过程.

学生在所建立的抽象模型下，运用数学知识来解决实际问题时，可能涉及的不只数学学科的单个章节和知识点，运用多种个知识点同时来解决问题时，也是对学生抽象根据能力的巩固，同时也可以促进学生创新和探究能力的发展.

变式练习：教师可以在学生已有认知的基础上做变式训练，让学生对知识内容进行再认识、再思考，以巩固提高学生的认知能力.在数学理论中，教师可以对概念的特征、内涵或者对象加以改变，让学生进行辨析，从而学生对数学理论知识的认识和理解;在习题中，教师可以转换相关条件，让学生在类似的情境下体会题意的主旨，以选择适合的模型来解决问题.

教师还可以引导学生从不同角度和思路来认识问题，从而达到一题多解，也可以在多题一解中培养学生归纳和概括的能力.

例如 已知log0.5a<1，则实数a的取值范围为_________.

本题还可作如下变式：

变式1已知log0.5a<1，则实数a的取值范围为_________.

变式2已知log0.5a>1，则实数a的取值范围为_________.

变式3已知log2a<1，则实数a的取值范围为_________.

变式4已知loga0.5<1，则实数a的取值范围为_________.

通过变式练习，学生的学习兴趣得到激发，解题思维得到训练，解题能力得到提升.

4.4 强化学生抽象与具体的转化能力

从抽象到具体，能够使抽象物得到确认和巩固，是在已有知识体系中建立与新的抽象物之间联系的过程，这一过程，可以培养学生的数学思维能力.从具体到抽象，是对所学内容的认识和深化的过程，是通过问题看到本质的过程，是发展数学抽象能力的过程.抽象与具体是相对的，每一个抽象物在思维训练之后，相对于新的抽象物变换成具体，可见，抽象和具体的相互转化，是促进学生抽象能力进一步发展的重要手段，因此，教师要强化学生抽象与具体的转化能力.

教师从具体到抽象时要基于具体但不能被具体所限，在具体中抽象进行本质属性的概括，促进学生数学抽象能力的培养.同时，教师在知识内容讲解完毕后，需要从抽象到具体，使抽象物渗透进学生的知识体系，与学生已有知识结构相互融合或渗透.

例如 已知f（x-2）=x2-3x+2，x∈R，求f（x）.

本题给出的是一个具体函数，但是我们需要了解本题实质是已知复合函数及其内函数解析式，求外函数的解析式，即已知y=f（g（x）），求y=f（x）.我们只有掌握了这种抽象复合函数求解析式的方法，才能在具体问题中应用换元法或凑配法解决问题.

在对具体函数问题训练的过程中，加深学生对函数概念的理解，学生在已有的知识结构中能够对抽象的函数概念进行同化，在抽象与具体的转化过程中，既是对原有知识体系的巩固，又是对学生数学抽象能力的培养.

5 结语

综上所述，核心素养大背景，要将培养学生的数学抽象能力作为数学教学的重点，学生数学抽象能力的培养是一个长期的过程，教师要以学生数学抽象认知过程为依据，实施有效的策略对学生数学抽象能力加以培养，以达到学生整体数学素养的提升，为学生成为社会所需的综合人才提供保障.

参考文献：

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