谈谈求函数值域的四种路径

陈燕华

函数值域问题是高中数学各类试题中常出现的一类问题，此类问题具有较强的综合性，难度较大，通常需灵活运用函数的性质及图象、不等式的性质、方程的判别式等来求解.本文结合实例，谈一谈求函数值域的几种路径.

一、利用判别式

判别式法主要适用于求解有关二次函数的值域问题.在解题时，需将因变量y看作参数，把函数式转化为关于x的一元二次方程，根据方程有解，得到判别式△≥0，即可得到关于y的不等式，解该不等式就能顺利求得y的取值范围，得到y的值域.

利用判别式法解题的前提条件是所得到的方程为一元二次方程.因此在求函数的值域时，若所得的一元二次方程的二次项系数中含有参数，需对系数是否为0进行讨论.

二、配方

配方法常用于求解二次函数值域问题.在解题时，需先通过恒等变形，将函数式配凑为完全平方式或几个完全平方式的和，然后利用二次函数的图象和性质，讨论函数式的顶点和单调性，从而求得区间上函数的值域.在配方时，要先确定二次项和一次項，运用完全平方公式进行合理配凑.

三、换元

换元法也是解答函数值域问题的有效手段.对于含有根式、绝对值等较为复杂的函数式，通常需利用换元法求其值域.用一个或者几个新变量代替函数式中根号下的式子、绝对值内部的式子、某个出现频率较高的式子，从而将函数式转化为关于新元的函数式，这样便可将函数式简化，直接根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本函数的性质、图象来求得函数的值域.

在求出新变量的最值后，需将新变量与旧变量、新函数的值域与旧函数的值域进行等价转换，这样求得的结果才是最终答案.要注意的是，在换元的过程中要确保定义域的等价性.

四、借助反函数

我们知道关于y=x对称的函数互为反函数，且原函数的值域即为其反函数的定义域.因此在求原函数的值域受阻时，可转换思路，先求其反函数，得到关于y的函数式，再讨论反函数的定义域，即可求得原函数的值域.

运用反函数法求函数的值域，关键是根据原函数的解析式求得其反函数.一般地，需调换x、y，用y表示x，同时要掌握一些求函数定义域的方法.

虽然求函数值域的路径较多，但是每种路径的适用范围各不相同.判别式法、配方法一般适用于求解有关二次函数值域问题，可先尝试运用配方法求解;换元法适用于求解函数式较为复杂的值域问题;反函数法适用于解答原函数的反函数易于求得的值域问题.同学们在解题时.需根据函数式的特点和自身掌握知识的情况选择最佳的路径.

（作者单位：江苏省启东市第一中学）