凸显知识本质 促进深度学习——“认识方程”教学实录与反思

江苏南京栖霞区迈皋桥中心小学（210046）汪元贵

【教学内容】苏教版教材五年级下册“认识方程”。

【教学目标】

1.让学生结合具体情境了解方程的含义，初步体会等式与方程的关系。

2.让学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象成等式或方程的过程，积累现实问题数学化的经验，感受方程的思想方法和价值，发展抽象思维能力和符号意识。

3.让学生在参与数学活动的过程中，养成独立思考、与人合作、自觉检查等习惯，树立学好数学的信心，增强对数学学习的兴趣。

【教学重点】了解方程的意义，会用方程表示简单情境中的等量关系。

【教学难点】感受方程思想方法和价值，将现实问题抽象成等式或方程，将等量关系符号化。

【教学过程】

一、创设情境，引入方程

师：今天我们来学习“认识方程”。看到“方程”二字，你最想弄明白哪些知识呢？

生：什么是方程？怎样列方程？方程有什么用？方程从哪来？

（学生提出问题后由教师梳理并板书）

师：这些问题反映了你们对方程的思考，带着这些问题让我们一起走进方程。

二、自主探究，学习方程

师（拿出天平）：数学学习有时候需要借助一些工具，比如这节课我们就要借助一个工具来帮助我们理解方程，它是什么？

生1：天平。

师：谁能结合自己的生活经验来介绍一下天平？

生2：天平是测量质量的工具。它的结构很简单，主要由两个托盘、一个横梁、底座和支架组成。它是利用砝码的质量来称量物体的质量。它很公平，稍有偏差就会向一边倾斜。

生3：生2说得对，当天平两边的物体质量相等时，天平就会平衡；如果不相等，天平就会倾斜。

师：这两位同学都提到了天平很公平，当天平两边物体质量相等时，天平就会平衡；当两边物体质量不等时，天平就不平衡。

师：如果在这个天平的左右两边各放上一些物体，如图1所示，你能说说它所表达的意思吗？

图1

师：我用三句话来表达。左边是50g鸡蛋和50 g砝码，右边是100g砝码；天平平衡了，左边和右边质量相等；可以用等式50+50=100来表示。

师（板书算式50+50=100）：这里的“=”是什么意思呢？

生4：表示左边和右边的质量相等。

师：我们以前也遇到过很多这样的式子，比如2+3=5，5+50=55，这两个式子中的“=”的意思和50+50=100中的一样吗？

生5：不一样，前两个式子中的“=”表示一种运算的结果，50+50=100中的“=”则表示左边和右边质量相等的关系，是量与量之间关系的一种表达方式，这里的100是天平右边的数，而不是计算出来的。

师：我们又进一步认识了“=”的含义，它不仅可以表示一种运算结果，还可以表示左右两边相等的关系。请大家好好体会一下此处“=”的作用。

师：你可以模仿老师的三句话表达方式说一说这时候的天平状态吗？

（同桌互说，展示交流，重点体会“=”的作用。）

师（出示图2）：大家看图完成小组内交流，具体要求为“组长分工，一人一图；用三句话结构来表达；用一个式子表示天平两边物体质量的大小；汇报交流前必须对前一个小组的观点进行评价”。

图2

（学生用三句话表述四幅图，并在黑板上列出式子。）

图3

师：大家都能用式子来表示天平的状态，真不简单！观察这些式子，你能给它们分类吗？

生6：x+50＞100和x+50＜200是一类，它们的左边都是一个不确定的数，因为天平不平衡，都不能用“=”连接。x+50=100和2x=200是一类，它们左右两边都是能够确定的数，根据x+50=100，可以知道x=50，根据2x=200，可以知道x=100，所以这两个式子是一类。

师：生6不仅分类正确，而且还给出了充足的理由，真棒！

师：大家在说图时写出来的式子与以往学过的式子相比有些不一样，今天同学们写出来的式子中，左边都有一个不知道的数，用字母x代替，当然，也可以用其他字母来代替。这个不知道的数可以通过右边的已知数来求解。这样的式子在数学上有个特定的名字——方程，即像这样含有未知数的等式叫作方程。

师：在方程的定义中，你认为哪些字眼比较重要？

生7：未知数、等式。

师：观察这些方程的式子，它们有什么共同的特点呢？

生8：左边都有未知数，但是根据右边确定的数都能算出这个未知数的值。

师：其实方程就是把未知数和已知数通过一种等量关系连接起来所写成的式子。

师（出示图4）：现在我想请两位同学一个圈等式，一个圈方程。

图4

师：观察他们圈的圈，你发现了什么？

生9：“方程”小圈被“等式”大圈包围。

生10：方程和等式都有“=”，这是它们的共同点。

生11：方程和等式既有相同的地方，又有独特的地方，比如方程的左边都有未知数，同时也是等式。

师：你能用一句话说明方程与等式之间的关系吗？

生12：方程都是等式，但等式不一定是方程。

师：如果有这样两个圈，请把“方程”和“等式”这两个板贴贴到相应的圈子里，并说说你的想法。

图5

三、联系实际，理解方程

师：对于方程，其实我们早就学过了，只不过没有正式去研究，如之前学过这样的式子“3÷△=10，□×6=48，240÷○=8”。

师：你能把每个算式中用图形表示的未知数改用字母表示吗？

师：通过探究，相信大家对方程有了进一步的认识。下面的式子中哪些是方程？哪些不是方程？为什么？

（1）6+x=14 （2）36-7=29 （3）60+23＞70

（4）x+4＜14 （5）5y=40 （6）8+x

（7）6x+★=89 （8）36+★=78

师（随机抽取其中两题说明判断方法）：第（8）小题可能是方程，也可能不是方程，这取决于星星的内容。）

师（出示图6）：你会用方程表示图中的数量关系吗？

图6

师：不同的等量关系对应不同的方程，但是，必须关注形如480÷3=x，988+122=x以及7.3-6.4=x的式子。

师：学习的至高境界不是学会，而是对学会的内容能加以创编，做到举一反三。请根据以下两个方程，结合生活实际，各编一个小故事，和同学分享。（1）y+19=42；（2）z-13+15=37。

（该题供学有余力的学生完成）

四、数学史话：你知道吗？

师：什么是方程，怎样列方程，大家都非常清楚了。那么方程有什么用呢？这需要我们慢慢去体会。而方程是从哪来的呢？让我们一起来了解。

（播放录音：早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。在我国的《九章算术》中记载了用一组方程解决实际问题的史料。三百年前，法国数学家笛卡尔第一个提倡用x、y、z等字母代表未知数，形成现在的方程定义。）

【教学反思】

在“认识方程”的教学过程中，引导学生观察天平，动手操作天平，在师生交流、生生交流等思维碰撞中，促进学生主动建构方程模型。大多数教学都止于方程的外部形式，学生只知道“含有未知数的等式叫作方程”，对“方程表示未知数与已知数之间的一种等量关系”的本质还缺乏一定的认识。对于本节课的教学笔者有以下两点心得，与大家共勉。

一、借直观，构模型

“方程”是刻画现实世界数量关系的数学模型，因此教师应该从数学建模的角度开展教学。对小学生来说，从具体事物的数量抽象出数是认识上的一次飞跃；由具体的、确定的数过渡到用字母表示未知的、可变的数，是认识上的又一次飞跃。而从列算式解决实际问题发展到列方程解决实际问题，则是思维方式的重要转折。这种转折不仅有利于培养学生思维的多样性和灵活性，而且将使学生应用数学知识解决实际问题的能力提高到一个新的高度。借助天平这一形象，结合天平原理探寻左边物体的质量，由此引导学生用数学算式表征天平两边物体的质量关系。学生通过观察、分析，写出合理的等式，从中发现方程的外部特征——含有未知数的等式，进而抽象出方程的模型。

二、借操作，悟本质

操作是数学活动的重要组成部分，也是学生学习数学的重要方式。心理学家皮亚杰曾经说过：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作和思维的联系，思维就得不到发展。”由此可见动手操作的重要性非同一般。学生在动手操作天平的过程中变动手操作为动脑操作，并能用语言描述情境中的等量关系，从而更加深刻地领悟方程的本质。落实到行动上，学生先由具体数字的等量关系发展到用字母表示等量关系，再抽象出用符号表示等量关系，方程的本质得以凸显，即方程是在未知数和已知数之间建立起来的等量关系。这是张奠宙先生给出的方程新定义。这个定义较之前的方程定义“含有未知数的等式叫作方程”更加能够体现方程的本质内涵。通过等量关系，把未知与已知联系起来，从而找到所要求的未知数，方程的核心价值得以显现。