在地形图描画中培养学生数感

江苏苏州市相城区黄埭实验小学（215143）姚怀宇

综合实践活动作为新课程标准明确规定的主要内容之一，理应扎实推进。新课程标准明确指出，开展综合实践活动，就是要以问题为载体，让学生怀着好奇心和探究欲自主参与实践活动。它是教师通过问题引导来贯穿一个相对完整的活动过程，让学生在体验式学习中领悟知识。那么，该怎么贯彻新课程标准，有效开展数学综合实践活动呢？在一次区级巡回讲堂展示课中，笔者有幸观摩了一位特级教师上的“描绘海南岛的地形图”一课，现将其课堂实录摘要整理，并做一些简单的点评，以期与同行探讨。

一、导出问题，激发探索需求

师（课件展示海南岛风光图片，包含海口市、三亚市、三沙市、儋州市等地）：请从未去过海南岛的同学举手。

师：刚才你们是不是被海南岛的迷人风光给吸引了？老师曾随团游览过海南岛，旅行前还特意买了一本旅游攻略《海南岛游历指南》，它对海南岛做了详细的描述。（课件出示资料：海南岛本岛南北长283千米，东西长257千米，海岸线长约1080千米。）看了这段文字描述，你们有什么想问的？

生1：海南岛的地理区划面积有多大？

生2：海南岛的地形地貌像什么几何形状？

生3：海南岛的常住人口有多少人？

师：你们的问题提得很好。刚才有同学问海南岛的地形地貌像什么几何形状，仅靠上述三个数据，能概括海南岛的几何形状吗？

生4：能。海南岛南北长283千米，东西长257千米，所以看起来像一方手帕。

师：它不是标准的方形，因为标准的方形长和宽都是一样长的。你还有什么想说的？

生4：它更像一个长方形。

师：以上三个数据不足以说明问题吗？怎么处理才能揭示其形状？这是首先跃进老师脑海的一个式子——（283+257）×2=1080，对于这个式子你有何感想？

生5：这个式子与长方形的周长公式相吻合。

师：的确。都是先求出长加宽的和，然后再乘以2。据此推测，海南岛的地形地貌接近什么几何形状？

生6：长方形。

师：计算时，我们不妨对各项数据做近似处理，如将283看作300，把257看作250，这样估算所得的数据1110比海南岛的实际海岸线长度（1080）要——

生7：长。

师：对！海南岛的海岸线长度其实就相当于这个类似的长方形的周长。

师：现在你可以说说海南岛的几何形状了吗？

生8：海南岛不是一个标准的长方形。

师：它不是一个规则的长方形，它的边线是蜿蜒曲折的，不是平直的。

许多学生从未去过海南岛，对于其地形地貌更是一无所知。教师选择海南岛最具代表性的风景图和数据，引导学生提出“海南岛的地理区划面积有多大？”“海南岛的地形地貌像什么形状？”“海南岛的常住人口有多少人？”等问题，从而激活了学生的探究欲。学生根据自己的生活经验说出“海南岛像一方手帕”“海南岛不是标准的长方形”等，教师再通过数学算式启发学生列式来深度揭示海南岛的几何形状。学生通过列式、观察，发现海南岛的海岸线长度与长方形的周长相吻合。

过去我们常认为，综合与实践活动属于科学劳动课，一定要让学生亲自动手实践，或者实地考察，绝不能纸上谈兵。有人曾认为综合实践活动是变相的文化补习，是披着综合实践“外衣”的课堂教学。其实不然，像本节课，引导学生认识海南岛的地形图就是一种有效的综合实践活动。世界之大，包罗万象，宇宙乾坤，无穷无尽，我们不可能什么地方都亲自踏足，不可能什么学问都亲身体验，有时通过图片和模型也能达到同样的目的，甚至效果更好。比如研究海南岛的地形地貌，亲自游览海南岛不见得比观看其地形图来得清楚。学生通过观察海南岛的地形图，能从海岸线的轮廓中抽象出一个标准的几何图形，然后利用所学的周长计算公式近似计算出其海岸线总长。但是，要让学生明白这种处理所得的数据不能完全取代真实值，海南岛真实的海岸线长度要比这个计算结果大。

二、画海南岛，实现数形结合

1.一画海南岛，初成雏形

师：如果要你描绘出海南岛的地形，你打算怎么画？

生1：先画一个长方形。

师：这个长方形的尺寸如何设计？老师这里有“4厘米×1.5厘米和8厘米×3厘米”两种尺寸，你选择哪一种？

师：请各小组交流讨论，拿出一个方案。

（学生交流讨论）

师（出示图1）：这是第一组设计的作品。

图1

生2：这个形状太随意了。

师：还有其他意见吗？

生3：数据不对，宽为257千米，不应该是250千米。

师（出示图2）：这是第二组设计的作品。哪位同学先来点评？

图2

生4：感觉边线弯折后比原长更短了。

师：为何变短了？请用已学的知识做出合理的解释。

生5：因为缩进去的斜边比两条直角边的长度总和要短。

师：缩进去的也不是平直的线段，谁还有更好的解释？

生6：海南岛的实际周长要比长方形的周长长，而长方形的内接“椭圆”的周长比长方形周长短，所以不对。

师：为什么内凹的线条一定比这两条线段之和要短些？

生7：我是将内凹的线条看成近似的直线，它和长方形两边组成一个近似的直角三角形，而根据三角形边长特征“两条直角边的长度和要长于斜边的长度”，于是“椭圆”的周长小于长方形的周长。（掌声响起）

师：这次我们又用到了什么知识？

生8：三角形的两边之和大于第三边（直角三角形两直角边之和大于斜边）。

师（出示图3）：这是第三组设计的作品。对于这组作品，你们有何想法？

图3

生9：它过于狭长。

师：先说优点。你看作品的轮廓符合长方形的形状，但是海岸线的褶皱太多，总长度势必会超过长方形。同学们，通过刚才的研究，我们知道要在长方形的基础上描绘出海南岛的地形，不能一蹴而就。在描画的时候，需要注意哪些细节？

生10：南北、东西线不能超出长方形的长和宽。

生11：表示海南岛海岸线的弧线不宜太多，也不宜太少，要适量。

2.二画海南岛，“画”出数感

师：现在请再画一次海南岛的地形图。

（学生尝试画图，与同桌交流后集中反馈）

师（出示图4）：这是第四组设计的作品。前后对比，你发现了什么？

图4

生12：有改进！

师：对。失败的作品可为后面成功的作品提供借鉴和参考。刚才有同学问海南岛的土地面积有多大（课件出示：海南岛的土地面积约为3.6万平方千米），看到这个数据，你有何感想？

师：资料里提供的海南岛的土地面积是3.6万平方千米，而有同学测算出的却是7.5万平方千米［300×250=75000（平方千米）］，为何会有这么大的差距？

生13：因为海南岛的海岸线是弯弯曲曲的，所以其面积比长方形的面积要小得多。

师：海南岛的实际土地面积占长方形面积的几分之几？

生14：大约二分之一。

生15：五分之三。

既然是从综合实践活动中探寻数学理论知识，就会存在一个不可回避的问题，那就是操作中总会出现这样或那样的误差，因为实际与理论总不会那么吻合，比如海南岛的轮廓，虽然学生尽力使其往长方形无限逼近，但因为海岸线的无规则弯曲，所以不可避免地存在误差，但是误差是宝贵的教学资源，它也给教学带来了新的契机。学生判断误差是偏大还是偏小后再调整调整，学习新的理论和新的知识。如图2，将内凹的曲线看成三角形第三边，它比两条直角边的和小，是利用了“三角形两边之和大于第三边”这条推论。由此可见，即使是在无法精确算出数据的情况下，也能通过定性分析得出相对可靠的结论，而且在整个去伪存真的过程中印证的各种定理，也是一次数学知识大“串烧”。

三、课后分析

教师课前为学生呈现了一个直观形象的学具——4厘米长、1.5厘米宽的长方形，让学生据此勾画海南岛的地形图，整个过程精彩纷呈。

一是放手让学生自主探究，教师进行评议。每一次画海南岛，教师总是先提供一些引导性信息，促进学生数学化思考，并重点展示学生的作品，让学生说说想法，然后集中交流评析。学生毫无保留地说出自己的创作经过和真实体验，并对他人的作品提出中肯的评价和建设性的意见。绘图者虚心聆听意见，认真反思，虚心接受，不断修正、改良，使自己所勾画的图形越来越接近海南岛的真实地貌，教师则一直从旁指点。整个过程，师生配合默契，互动良好。

二是画图的要求呈现梯度爬坡，提供必要数据，实现数形结合。二画海南岛以后，教师呈现了海南岛的面积数据，并提问“看到这个数据，你有何感想？”当学生算出海南岛的土地面积为300×250=75000（平方千米）时，教师让学生进行对比，引发学生对计算值和真实值存在巨大差距的认知冲突。在学生思维发展的高潮期，教师总是能趁热打铁，使学生的思维水平得到提高。

本次活动前后两次画海南岛，第一次画海南岛是着眼于周长，而且反复画了几幅作品，每幅作品都有不足之处，但是出示的作品一幅比一幅有进步，这是因为每次尝试都是有目标的，每次尝试都是带着科学严谨的理论，所以操作误差在不断缩小，无限向精确值靠近。第二画次海南岛也是这样，在真实面积和估算面积之间不断寻找平衡，不断寻找造成误差的原因，然后在允许误差存在的情况下，计算出真实面积占估算面积的几分之几，让学生从误差中跳脱出来，切换到分数计算的知识领域，这就是综合实践的魅力：可以在各个环节串联起不同的知识，并通过看似随意的知识串接，培养学生的数感。

三是学生通过反思和修订，使得所画图形越来越接近海南岛的真实形貌。在每一次学生完成绘图任务后，教师都会善意地督促学生反思。如一画海南岛后，教师提出：“为什么内凹线条一定比这两条线段之和短些？”在教师的质疑下，学生自我反思，唤醒旧知，积极求证，最终检索到了“三角形任意两边之和大于第三边”的理论依据。又如二画海南岛后，教师运用对比，引导学生“失败的作品可为成功的作品提供借鉴和参考，前后对比一下，你会有更多的发现。”，提醒学生思考哪些地方考虑欠妥。一个个环环相扣的问题，促使学生发现自己的不足，并不断反思和寻求理论依据，然后加以修正完善，对海南岛的形貌由最初的模糊抽象到后来的明确具体，数感在画图的过程中逐渐明晰，学生的数学活动经验不断丰富，数学综合实践活动的基本特色得以充分彰显。