通过透视问题来解决问题——“双减”背景下正确与快速解决问题的核心要素解析

广西桂林市叠彩区教育局教研室（541000）以 斌

数学课程标准指出，要让学生初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。笔者把思考问题、分析问题、简化问题、找到各数量间的联系这一系列针对问题的分析过程叫作“透视问题”。针对低年级的图文题和中高年级的纯文字题，笔者分别提炼出各自的“四步透视法”，对提升学生解决问题的能力方面有着较好的作用。这也正符合“双减”的要求。笔者现将这两类题型的四步透视法阐述如下。

一、图文题的四步透视法

图文题四步透视法旨在让学生达成以下6个目标：第一，懂得组成应用题的各种要素及其组成道理；第二，学会把图片和文字向更直观的符号、图形转化，让各要素间的数量关系更形象直观；第三，能在直观演示和符号、图形的支持下深入理解算法的核心含义；第四，能在图形与文字之间自由转换，让思维更加富有含金量；第五，理解数量间的基本关系，学会加减乘除基本类型题的解决方法；第六，掌握化难为易的直观化数学思想方法。

第一步：看图懂说话，由图文悟真意

不妨从最基础的内容学起，由浅入深，让学生收获成就感，树立学好数学的信心。比如例1，教师要求学生：（1）掌握看图的顺序，要由左到右，由上到下，图文结合，避免遗漏；（2）能说出题目中的已知条件和问题分别是什么；（3）明白解决一个问题，必须要有2个相关的已知条件。教学过程如下。

【例1】

（教师先指导学生看图的顺序，指出看图要看完整）

师：你能用自己的语言说出你看到的已知条件或者问题吗？

（学生一边说，教师一边板书）

生1：小白兔拔了36个萝卜。

生2：小灰兔拔了23个萝卜。

生3：小白兔和小灰兔一共拔了多少个萝卜？

师：这里有几个问题、几个条件？

（让学生自己找，学生在找和回答为什么的过程中就会逐步明白问题和条件的概念）

师（边提问边遮住其中一个条件）：如果只有一个条件，可以解决问题吗？为什么？

（此处让学生明白有两个量才能产生不同的数量关系，也就可以解决不同的问题）

师：换一个条件可以吗？为什么？（教师将“小灰兔”换为“小红兔”，并把它拔的萝卜数改为15个）

（此处让学生明白条件和问题要有联系）

师：根据与小灰兔和小红兔相关的两个条件，你还可以提出别的问题吗？

第二步：提线串成珠，“知”“问”巧成题

这一步要做到提纲挈领、纲举目张，即让学生学会把直观的、零散的问题逐步向抽象的、规范的问题转化，让学生明白科学的问题是怎样形成和提出的。因此，第二步要使学生掌握问题形成的三要素及其合理的顺序：事情（简单交代）、已知条件（至少两个）、问题。

仍以例1为例，教学过程如下。

（1）让学生给黑板上的条件和问题排序，使他们初步感知“顺序”。

（2）让学生口头编题。教师引导学生逐步学习完善的表达方式和简洁的呈现方法。（让数学课中的科学味道自然散发出来）

有的学生编的题为：两只兔子去拔萝卜。小白兔拔了36个，小灰兔拔了23个，两只小兔子一共拔了多少个萝卜？

这仅仅是参考，学生编的题可以多种多样，只要他们明白顺序和要素即可，不必强求规范、简洁和标准，让他们慢慢成长。

（3）适当变化，打破学生循规蹈矩、亦步亦趋的学习局面，让他们的思维随时随地都有发散的空间。

教师提问：根据这两个条件，你还可以提出其他问题吗？

教师在表扬学生提出的求差问题后，可以这样引导学生：“知识可神奇了，通过学习，今后你们还可以提出更多的问题。”

第三步：实践找关系，列式讲道理

数学课程标准指出，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由此可见动手实践的重要性。因此，第三步通过摆一摆、画一画，使学生在“直观、行动、观察、思考”中明白已知的两个量和问题间的关系，感性认识所选择的加法计算的含义，懂得列式的道理。以例1为例，教学过程如下。

师：摆一摆，没有萝卜怎么办？

（让学生用学具把“求和”表示出来，完成从直观走向抽象的第一个转化：由实物到直观图形。活动如下）

活动一：学生各自在桌面上先摆36个小圆片（或其他学具，如小棒）代替萝卜，然后在旁边再摆23个小圆片，接着根据“一共”的含义，将两堆小圆片合在一起，体现求和就是用加法。

活动二：学生各自在桌面上先摆23个小圆片（或其他学具，如小棒）代替萝卜，然后在旁边再摆36个小圆片，然后根据“一共”的含义，将两堆小圆片合在一起，体现求和就是用加法。

（让学生明白求和就是合起来，谁先谁后都没有关系）

师：除了摆学具，还可以画一画。

（选择性地让学生接触从直观走向抽象的第二个转化：由实物图片到绘制符号或线段，为今后解文字应用题时的作图分析打基础。见图1、图2）

图2

要让学生根据图理解加法的意义：“一共”与“和”的含义是“一起”“共同”“合并”，是相加的意思，用加法计算。同时可以渗透和拓展，比如再加一只小黑兔。其他计算方法教法与此类似，不再列举。

第四步：举一要反三，“思”“法”是真谛

孔子有云：“温故而知新。”举一反三就是在掌握一道题的解题方法的前提下，触类旁通，学会一类题的解题思想、方法和手段。有一句著名谚语说：“实践是解决问题的钥匙。”第四步就是要在实践中实现学生思考力与执行力的提升，让学生深入理解算法的意义，能在文字与图形间自由转换，不受原题的限制。教学过程如下。

师：请同学们看下面两个图（如图3）列式，并说明理由。

图3

［让学生进一步理解各种计算方法（加减乘除）的含义］

师：请比较两种方法的异同点。

（引导学生分析对比加减法的意义，使其在比较中深入理解求和与求差的异同）

生1：相同点是都有两个量。

生2：不同点在于一个是求和，即合并，要用加法；另一个是求差，即求相差数是多少，要用减法。

师（继续使用图3）：看上面的图，继续编题。

（教师在学生编题时可以在情境、已知条件、问题的完整性和科学性等方面予以指导）

教师组织学生逆转思维由图向文，加大训练的难度，但也加深了学生对图的理解，提高了学生的作图释文的能力。

随后，教师出示预先编好的题，放在图的上边，排序如下：纯文字—图文结合—分析符号、图形。

学生在比较中逐渐形成“文字题→图文题→用各种符号表示→作线段图……”的思维，这就是化繁为简的解题思想，它指导我们形成解决一类问题的方法思路。

二、文字题的四步透视法

文字题的四步透视法需要让学生达成以下5个目标：第一，懂得不同题型的基本作图思路及方法［如：有一个量的，表示部分与总体的关系，用一条线段表示（包括行程问题、工程问题等）；有两个量的，用两条线段表示；以此类推。特殊题型如推理题、实验题等，则用表格表示较好］；第二，学会用简单的文字、线段、数字和符号诠释文字应用题的含义；第三，学会根据图意分析数量间的关系，明白类型题的解题方法；第四，能熟练在图文之间相互转换，提高理解力与呈现力；第五，明白作图简化题意是数学重要的学习方法之一。具体步骤如下。

第一步：读题抓要点，顾名能思义

第一步是要让学生读出题目说的是两个量的关系还是一个量的关系，是典型关系还是一般关系。

【例2】甲、乙两人从一条路的两端相向而行，3小时后相遇。已知甲每小时行12千米，乙每小时行13千米，这条路有多长？

（教学过程如下）

师：要用几条线段表示？为什么？

生1：一条，因为是“一条路”。

生2：一条，因为是行程问题。

生3：一条，虽然有甲和乙两个量，但是他们走的是同一条路，共同走完一段路程。

师：这是典型问题还是一般问题？有什么样的数量关系？

生4：典型问题。这是行程问题，数量关系是“速度×时间=路程”。

第二步：循意绘成图，“图”“文”见高低

著名心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断了动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”这说明，行动既是初步思维的外显，又是深度思维的参照。因此，这一步的要点是行动，就是按照题目的叙述作图，用形象、简明的图形代替抽象、复杂的文字。因此，第二步要求学生达成2个目标：“第一，明白线段图的组成部分是文字、线段、数据、符号；第二，明白线段图是一个大致的简图，必须根据文字叙述的意思作图，数量间的关系应当大致合理。教学过程如下。

［请学生观察图例（如图4），说出线段图的组成部分］

图4

师：线段、数字、文字、符号是线段图的组成部分。为什么要有文字呢？（指出将会产生关系的几个数量，便于学生思考数量间的关系，找出正确的解题方法）

（根据参考图例，为例2作线段图。挑选部分学生的图例进行展示，让学生说出作图的理由。图5、图6为笔者选出的两种图例）

图6

师：文图一致，关系清楚，简洁明了。

第三步：图出关系现，算法择优选

设置本环节的目的是让学生根据线段图展示的数量关系列出算式，发挥想象力，创造性地思考，提高优化意识。因此，这一步需要让学生达成以下3个目标：第一，说出最基本的数量关系式；第二，列出尽可能多的算式；第三，研究各个算式的特点，能够进行合理优化和科学选择。以例2为例，教学过程如下。

师：根据线段图回答，本题是什么类型的应用题？基本关系式是什么？题目给出了什么条件？求什么？怎么列式？说出理由。

生1：12×3+13×3。

生2：（12+13）×3。

生3：12×3=36（千米），3×3=39（千米），36+39=75（千米）。

师：同学们认为哪种方法好？为什么？

生4：第二种，更简洁。

生5：第一种，它的思路很清晰。

师：这三种方法各有优点，遇到类似问题时可以根据实际情况选择。比如解决“甲先走1小时后乙再出发，两个人相向而行，3小时后相遇，两地的距离多远？”这个问题时，用第一种方法更方便。

第四步：举一要反三，“思”“法”是真谛

学会数学思想和方法才是学生终身学习和发展的保障。因此，教师教学时要注意选择有代表性的例题，让学生形成解一个系列或一个类型的题的思路。第四步要让学生达成以下3个目标：第一，图文互通，透彻理解；第二，明白就算是一题多变，也是万变不离其宗，就是三个数量之间的关系的变化；第三，寻找更广泛的相似关系形成指导性的解题策略。以例2为例，教学过程如下。

出示图7，由图成文，图文互通，使学生透彻理解。体会一种数量关系中存在的三种变化：“速度和×时间=路程”“路程÷速度和=时间”“路程÷时间=速度和”。

图7

由图到文，将会提高学生理解简单图示的水平，提高学生丰富简单材料的水平，提高学生科学阐释和完整表达的水平。总的来说，也会进一步提高学生的看图分析水平。

通过图文转化，使学生深入理解三个数量间的三种关系，理解列式的含义。

在一类关系中的运用：工程和行程问题与单价、数量、总价等问题具有一致性，都可以纳入“一份数，份数，总数的关系”的大盘子，互相借鉴解题思路。

如图8的工程问题。

图8

让学生在各种变化中获得一个具有普遍性的结论或者一种通用的解题思路，才是学习和研究的真谛，也是学生思维水平和学习素养提升的保障。

总之，透视问题就是使用各种感性工具简化问题从而解决问题。简化问题的工具有不少，其中最常用的就是线段图，因此本文主要以线段图为例，大家不要受到局限，教学时可以根据不同题型选择不同的分析工具，如几何图形、表格等。学生经过透视问题再到解决问题，他们的审题能力、阐释能力、分析能力、推理能力、逆向思维能力均得到了较大的发展。同时，在解决实际问题的过程中，学生提高了灵活、机动、综合运用知识的能力，这将使他们在今后的学习中受益。