“四大理念”下的教学构建——以“探究四点共圆的条件”为例

江苏南京市第十二初级中学（210000） 宋 璨

江苏省特级教师王为峰提出了“四大理念”，即设定大目标，凝练大概念，用好大问题，形成大结构。“四大理念”强调的是培养学生的数学学科核心素养，树立学生的数学观念和数学研究意识。所谓大目标，就是对最大限度地发挥学科教学育人功能的预期，或者说是对学生学习取得最大成果的预期。凝练大概念，用好大问题，形成大结构是实现大目标的手段和过程。笔者曾有幸开设了一节区公开课，尝试在“四大理念”下进行教学构建，现在整理成文，与大家交流。

一、教学内容及解析

（一）教学内容

四点共圆的条件的探究和证明。

（二）内容解析

四点共圆的条件是在学习了过一个点的圆、过两个点的圆、过不在同一条直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆的内接四边形后，对经过任意三点都不在同一条直线上的四点共圆的条件的探究。在学过“圆内接四边形的对角互补”后，相应地，会产生这样的疑问：对角互补的四边形的四个顶点共圆吗？探究四点共圆的条件是促进学生思维自然生长的需要，也是进一步在数学活动中培养学生数学学科核心素养的需要。

在四点共圆条件的探究过程中，通过对特殊四边形（平行四边形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形等）的探究，发现一般规律（过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆），体现了由特殊到一般的思想。同时，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，以及把四点共圆的证明转化为点与圆的位置关系的证明，都体现了转化的思想。学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”和“思考”的过程中有效积累了数学活动经验和形成了几何直观。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是四点共圆条件的探究。

二、教学目标及解析

（一）教学目标

（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件；

（2）通过四点共圆条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化等数学思想，积累数学活动经验，发展几何直观能力。

（二）目标解析

实现目标（1）的标志：能通过画图操作，发现一般规律：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，并能证明结论的正确性。

实现目标（2）的标志：能从三点共圆入手探究四点共圆的条件，并能通过对特殊四边形的探究，发现一般规律：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆。在证明猜想的过程中，能将四点共圆的问题转化为点与圆的位置关系去研究。

三、教学问题分析

对于四点共圆条件的证明，需要将四点共圆的问题转化为点与圆的位置关系的问题，即第四个点在不在前三个点确定的圆上，再利用反证法去证明。学生虽然学过反证法，但应用较少，所以在证明时会存在一些困难。

本节课的教学难点是对角互补的四边形的四个顶点共圆的证明。

四、教学过程

活动一：想一想。

问题1.过一点能作几个圆？

问题2.过两个点能作几个圆？

问题3.过三个点呢？

问题4.接下来，你会提出什么问题？

设计意图：从学生已有的知识经验出发，提出问题，同时渗透将探究四点共圆问题转化成三点共圆的问题，也就是第四个点在不在前三个点已经确定的圆上的问题，为后续猜想的证明做好铺垫。

活动二：画一画。

问题1.经过什么样的四个点可以作出一个圆，也就是过什么样的四边形的四个顶点可以作出一个圆？你准备用什么想法或者思路去解决这个问题？

问题2.你觉得过什么样的四边形的四个顶点能作出一个圆呢？分组画一画，试一试。

问题3.从小组长展示的研究成果中，你有什么发现？

师生活动：学生小组合作画图，画出平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、对直角四边形，尝试找圆心、半径，作出圆。教师巡视，根据学生的不同方法、不同表达形式给予指导。

学生作圆时会出现几种情况：（1）作两边的垂直平分线的交点，找到圆心，确定半径，作圆，观察第四个点在不在圆上，从而得到结果；（2）作三边的垂直平分线，发现没有交于同一点，找不到圆心，确定四点不共圆；（3）直接分析一些特殊的四边形特征，如矩形的对角线交点即是圆心，继而直接作出圆；（4）先作一个圆，再画出一些特殊的内接四边形。（如图1）

图1

设计意图：让学生学会利用特例去对问题进行研究，从特殊到一般，一步步接近探究目标，同时对利用“圆的内接四边形对角互补”的逆命题作图的学生给予肯定与鼓励。在动手画四边形外接圆的过程中，学生会发现有的四边形的四个顶点可以共圆，有的却不行。在找圆心的过程中，学生体会到三个点已经确定了一个圆，四点能否共圆，只需看第四个点在不在前三个点已经确定的圆上，从而为后续反证法的应用做好铺垫。

活动三：猜一猜。

问题1.我们把过四个顶点能作出一个圆的四边形挑出来观察一下，你觉得是哪些元素使得过四边形的四个顶点能作出一个圆呢？

问题2.你觉得是什么决定了四边形的四个顶点在一个圆上？为什么？

问题3.你有何猜想？

问题4.你能找一个图形验证一下这个猜想吗？

问题5.你觉得证明四个点在不在一个圆上的关键是什么？

问题6.特殊图形成立能说明猜想成立吗？我们接下来要做什么？

师生活动：学生排除非共性特征，找到共性特征，从而得到猜想，再以矩形或者对直角四边形为例来验证猜想。在验证猜想的过程中，让学生强化如何利用圆的定义来证明四点在一个圆上，体会找到定点是关键。同时，学生也意识到从特殊图形引发猜想后要进行一般图形的证明。

活动四：证一证。

已知：如图2，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。

图2

求证：过点A、B、C、D可作一个圆。

问题1：证明“对角互补的四边形的四个顶点在一个圆上”这个文字命题，要先做什么？

问题2：如何证明A、B、C、D四个点在一个圆上？你有什么想法？

问题3：你能证明吗？

问题4：如果利用圆的定义无法直接证明，还有没有其他方法？

分析：假设A、B、C、D四点不在同一个圆上，即假设第四个点D不在过A、B、C三点的圆上。过A、B、C三点作出圆O，假设点D在圆O内，延长AD交圆O于E，连接CE（如图3），则∠B+∠E=180°。

图3

又∵∠ADC是△CDE的外角，

则∠ADC＞∠E，

∴∠B+∠ADC＞180°，

这与∠B+∠ADC=180°矛盾，

所以点D不在圆O内。

同理，点D不在圆O外。

综上，点D不在圆O内，也不在圆O外，故点D在圆O上，则A、B、C、D四点共圆。

活动五：用一用。

问题1.如图4所示，已知∠A=∠D，你能证明A、B、C、D四点共圆吗？

图4

问题2.你能用结论“对角互补的四边形四点共圆”来证明吗？

方法一：反证法。

分析：过A、B、C三点作出圆O，分别假设点D在圆O内或圆O外（如图5），推出矛盾，从而假设不成立，点D在圆O上。

图5

图6

方法二：利用“对角互补的四边形的四个顶点共圆”来证明。

证明：如图6，过A、B、C三点作出圆O，在圆O上取点E，连接BE、CE。

∵点A、B、E、C在圆O上，

∴∠A+∠E=180°，

又∵∠A=∠D，

∴∠D+∠E=180°。

∴点D、B、E、C四点共圆，

即点D也在圆O上，

∴A、B、C、D四点共圆。

五、教学思考

（一）重视活动经验积累，培养数学核心素养

苏科版教材中并没有“探究四点共圆的条件”这一课，但是在学习“不在同一条直线上的三点确定一个圆”后，学生积累了丰富的数学活动经验。

（1）构建了经过已知点作圆的探索思路，从“经过一个点作圆”“经过两个点作圆”到“经过三个点作圆”，逐渐增加点的个数，分别进行探究；

（2）明确了作圆需要圆心和半径，从而确定圆的位置和大小；

（3）“经过三个点作圆”需要建立在“三点不在同一条直线上”的前提条件下，这在一定程度上体现了分类讨论思想；

（4）具有一定的逻辑推理能力，针对“经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆”，能应用反证法进行证明。

积累这些数学活动经验后，有的学生自然而然地思考有关四点共圆条件的问题，尤其是在学习“圆内接四边形的对角互补”后，有的学生开始产生疑问：对角互补的四边形的四个顶点是否也是共圆的呢？选择此课题，是学生思维自然生长的需要，有利于培养学生的数学学科核心素养。

（二）通过数学探究，关注数学素养形成

本节课通过五个教学环节的设计，生成的不仅是四点共圆的条件，而且让学生体会到了研究图形的性质就是研究其构成要素或其相关要素之间所具有的位置关系或数量关系。还有从特殊到一般的研究问题思路，将未知问题转化为已知问题的研究方法，运用“观察—猜想—证明”得到一些新的数学结论的过程，这些方面对学生创新意识的培养和推理能力的提升都有非常重要的作用。

（三）问题是思维的源泉，更是思维的动力

当围绕大目标提炼出大概念后，就可以在大概念的引领下提出大问题。大问题可以从两个方面去认识，一是按照问题从大到小的顺序进行启发提问，二是提出能够触及数学本质的问题。如本节课先后提四个主要问题：通过四边形四个顶点作圆的结果如何？如何判断这四个点共圆或不共圆？如何证明你的猜想？你能用所学知识判断四个点在圆上吗？

（四）基于认知冲突与问题解决，设计学生活动

本节课的研究内容既是“过三点的圆”的延续和拓展，又是“圆内接四边形性质”的逆向思维的发展。本节课设计了“想一想”“画一画”“猜一猜”“证一证”“用一用”等活动，唤醒学生已有的知识经验，引导学生构建探究的基本思路，让学生体验数学发现的一般过程，感悟数学思想方法的独特精妙，发展学生应用与创新的学科素养。

（五）“四大理念”下的教学改进

（1）画一画。从提供部分特殊图形到不提供任何图形，让学生完全自主作图。

（2）猜一猜。从有人答出一种猜想即可到鼓励学生思维多元化，引导学生从特殊图形、逆命题等多角度提出猜想。

（3）想一想。在证明四点共圆的条件时，学生会基于已有知识经验，选择用圆的定义去证明。教学设计从起初给学生搭梯子，提示用反证法，改为不做提示，让学生的思维自然生长。