探究试题规律 发现数学的美——一道高考题引发的探究

山东省平度第一中学（266700） 王尊甫

罗素曾说过，如果正确地看数学，它不但拥有真理，而且也具有至高的美。数学的美不仅包括外在的形式美和简洁美，还包括内在的抽象美以及隐秘的理性美。

许多圆锥曲线问题中都有着隐秘的结论和规律。很多结论和规律可以进一步引申和推广，这也充分体现了圆锥曲线的拓展美和奇异美。

一、试题呈现

（2021 年高考全国甲卷理科第20 题）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ。已知点M(2,0)，且⊙M与l相切。

（1）求C，⊙M的方程；

（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切，判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由。

解：（1）C：y2=x，⊙M：(x-2)2+y2=1；

（2）设A1(a2,a)，A2(b2,b)，A3(c2,c)。

当a=±1或a=±3，可证直线A2A3与⊙M相切。

当a≠±1且a≠±3时，

因为直线A1A2，A1A3均与⊙M相切，

所以点M(2,0)到A1A2，A1A3两直线的距离均相等，且距离为1。

因此，直线A2A3与⊙M也相切。

二、提出问题

培养学生的问题探究意识是中学数学教学的一个重要方面，它对于培养学生的逻辑推理素养有着重要的意义，有助于提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，有助于培养学生的应用意识和创新能力。

问题求解之后，笔者与学生进行了交流。学生对解题思路转化印象深刻，并惊讶于结果的奇异美。学生不约而同地提出了一个问题：该圆是不是随意设定的，其圆心位置和半径有无必然的联系？

笔者引导学生利用GeoGebra 软件辅助研究。学生对⊙M的圆心和半径分别进行了调整，发现直线A2A3与⊙M不再相切，这表明⊙M：(x-2)2+y2=的设定是基于某种隐秘的规律，它与抛物线肯定存在着某种联系。

三、问题探究

基于学生的能力基础，笔者将⊙M设定为圆心在抛物线轴上的圆，并提出问题：

设抛物线C：y2=2px(p＞0)，已知⊙M：(x-x0)2+y2=R2(R＞0)，设A1，A2，A3是C上的三个点。若⊙M是△A1A2A3的内切圆，试分析x0与R应满足的关系。

我们不妨先借助图像的对称性，由特殊位置入手探究。

当A1为坐标原点时，则必有A2，A3关于x轴对称。

不妨设直线A1A2的方程为x=my，

与抛物线C：y2=2px(p＞0)方程联立得y2=2pmy。

因为⊙M是△A1A2A3的内切圆，所以点M到直线A1A2，A2A3的距离均为R，

基于此，可得到以下结论。

结论1设抛物线C：y2=2px(p＞0)，已 知⊙M：(x-x0)2+y2=R2(R＞0)，设A1，A2，A3是C上的三个点，若⊙M是△A1A2A3的内切圆，则必有x0=

四、揭示本源

从以上探究过程可以发现，只要⊙M是抛物线C某一内接三角形MNP的内切圆，那么就必定满足：设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切，那么直线A2A3与⊙M必定也相切。

结论2已知抛物线C：y2=2px(p＞0)，动点A(x1,y1)在抛物线上，由点A引抛物线某内接三角形的内切圆的切线分别交抛物线于点B，C，则直线BC必与该圆相切。

如果推广到椭圆和双曲线，也有类似的结论。

结论3已知椭圆动点A(x1,y1)在椭圆上，由点A引椭圆某内接三角形的内切圆的切线分别交椭圆于点B，C，则直线BC必与该圆相切。

［例题］已知椭圆在椭圆上，且点A是椭圆的左顶点，点M，N关于x轴对称。若圆E：x2+y2=r2(r＞0)是△AMN的内切圆。

（1）求r；

（2）点P(x0,y0)是椭圆上任意一点，由点P引圆E的两条切线分别交椭圆于点S，T，则直线ST必与圆E也相切。

解析：（1）由题意知，点A(-2,0)，设M(r,yM)，则r2+4yM2=4，

且原点O到直线AM的距离为r，因此有

因此，直线ST与圆E也相切。

本题的第（1）问以椭圆中的特殊位置开启思路，以图形的对称性为切入点，形成简洁的求解思路。第（2）问则将特殊位置推广至一般位置，以探究引发学生深度思考，进而揭示其中隐秘的规律。

如果继续深入探究，可得到：

若圆O：x2+y2=r2(r＞0) 是椭圆1(a＞b＞0)的内接三角形的内切圆，则必有r=

结论4已知双曲线动点A(x1,y1)在双曲线上，由点A引双曲线某内接三角形的内切圆的切线分别交双曲线于点B，C，则直线BC必与该圆相切。

五、总结反思

在数学教学中，融入数学美，运用数学美的感染力，可以激发学生的学习兴趣，调动学生学习数学的主动性和积极性，启发学生的数学思维，促进学生理解知识之间的内在联系，形成知识的有序结构和解题方法体系，还可以激发学生对真和美的追求，陶冶学生的思想情操，培养学生的进取精神。教师应充分挖掘美育素材，抓住有利时机来培养学生的数学审美能力。

在本文中，笔者从一道高考题出发，经过大胆的猜想与严谨的求证，最终得到了题目背后隐秘的规律，感悟到圆锥曲线结论中的奇异美与统一美，这正是数学探究的魅力。

教师应结合学生的发展规律和认知能力，帮助学生实现经问题的合情推理步入深度的数学探究，进而培养学生的思维能力，提升学生的数学学科核心素养。在这个过程中，我们可以清晰地看到，学生在以“美”为感性追求的活动中逐步形成了对“真”的理性追求。