一种新型高梯度四极磁铁的设计及验证

朱 亚 张庆磊 周巧根

1（中国科学院上海应用物理研究所 上海 201800）

2（中国科学院大学 北京 100049）

3（中国科学院上海高等研究院 上海 201204）

目前，世界上第三代同步辐射光源的束流发射度大多在1~5 nm·rad 范围内［1-3］。与现有同步辐射光源相比，衍射极限环具有更低的束流发射度、更高的亮度和更好的横向相干性。衍射极限环最重要的特征是束流发射度接近衍射极限［4-5］。衍射极限环以其优异的性能成为下一代同步辐射光源的发展方向之一。四极磁铁作为加速器中的强聚焦元件，为了实现衍射极限环超低束流发射度的要求，需要大幅度提高其磁场梯度。与上海光源储存环中的四极磁铁相比，衍射极限环的四极磁铁磁场梯度应至少增加4~5 倍（约100 T·m-1）［6-7］。高梯度四极磁铁的技术研究对于低发射度的衍射极限环的发展有重要意义。

目前，国内外已发展了各种类型的高梯度四极磁铁。 例如，欧洲同步辐射光源（European Synchrotron Radiation Facility，ESRF）中四极磁铁的最大梯度约为90 T·m-1，孔半径为12.7 mm。该四极磁铁的磁效率仅为80%［8］；德国电子同步加速器（Deutsches Elektronen Synchrotron，DESY）开发的高梯度四极磁铁，孔半径为10 mm，采用不同的铁芯材料，磁场梯度可以达到120~150 T·m-1。当铁芯材料为HeraSteel 时，该四极磁铁的梯度可达150 T·m-1，但其磁效率仅为54%［9］；我国北方光源研制的四极磁铁最大梯度约为90 T·m-1，孔半径为12.5 mm，铁芯材料为钴钒铁［10］；合肥先进光源设计了高梯度四极磁铁，磁场梯度约为80 T·m-1，极间距为10 mm［11］。这些国内外研制的高梯度四极磁铁大多采用尽量小的孔径，尽可能大的安匝数（Ampere Turn，AT），以及采用磁导率更高的材料替代纯铁以提高磁效率。本文主要研究和设计了一种采用新型磁路的高梯度四极磁铁，其参数如表1所示。

表1 新型高梯度四极磁铁物理参数Table 1 Parameters of the high gradient quadrupole magnet

1 磁路设计

根据安培环路定理，如图1所示，推导出四极磁铁的磁场梯度方程（式（1）），其中：G是磁场梯度；NI/pole 是每极的安匝数；R是孔半径；μ是磁导率；η是磁效率［12］。

图1 四极铁中安培环路示意图Fig.1 Schematic diagram of ampere loop in quadrupole magnets

根据式（2）可以看出，四极磁铁的磁场梯度取决于磁铁的孔径、单极安匝数和磁效率。由于真空室加工工艺、同步辐射光引出的空间需求以及磁铁好场区要求等限制，四极磁铁的孔径不能很小。由于冷却水温度和磁铁安装空间的限制，每极的安匝数也不能无限增加。而且，由于铁芯材料的磁化特性，磁场也不会随安匝数增大无限提高。高梯度四极磁铁的磁极通常处于高磁饱和状态，磁效率通常较低，提高磁效率可以成为提高磁场梯度的有效途径之一。本文研究了一种新型的磁路来提升高梯度高饱和四极磁铁的磁效率，从而进一步提高磁场梯度。

通过在四极磁铁相邻磁极之间安装永磁铁（Permanent Magnets，PM），形成了一种新型磁路。当永磁铁安装在极面附近时，永磁铁的磁场将影响原来的磁路。如图2 所示，从饱和磁极处逸出的磁力线将通过永磁铁的磁场返回磁极面，从而增加磁极面上的磁场强度。根据式（3），由于磁极表面的磁场强度增加，而每个磁极的安培数保持不变，因此磁效率提高。当磁极饱和时，安装永磁铁相当于提供一个特殊的磁路。当磁极不饱和时，永磁铁基本不起作用。这种新型四极铁磁路可以进一步提高饱和四极磁铁的磁效率和磁场梯度（本文模拟的永磁铁参数均为Hc=-11 700 Gs和Br=12 500 Gs）。

图2 四极铁极头两侧安装永磁块前(a)、后(b)Poisson计算结果图Fig.2 Poisson calculation results of before(a)and after(b)the permanent magnets installed on both sides of the pole face

采用Poisson 程序研究在磁极两侧安装了永磁铁和没有安装永磁铁的四极磁铁在不同极安匝数下的磁场梯度。两个四极磁铁均为孔半径11 mm的同一磁芯，结果如图3 所示。非饱和状态下的梯度值与安匝数成正比，永磁铁对磁场梯度几乎没有影响。由于材料的磁化特性，当安匝数增加到足够大时，磁极趋于饱和，磁场梯度不再上升，这时在磁极两侧安装永磁铁可以进一步提高磁场梯度。未安装永磁铁的四极磁铁在安匝数达到8 000 后，其梯度达到100 T·m-1左右，基本上不再上升，磁效率约为60%。当安匝数达到5 300时，装有永磁铁的四极磁铁的梯度将达到100 T·m-1左右，磁效率约为91%。由结果可见，磁场梯度达到100 T·m-1时，采用新型磁路的四极磁铁磁效率更高，所需的安匝数更小，运行成本更低。

图3 不同安匝数下磁场梯度变化曲线Fig.3 Curves of magnetic field gradient in different Ampereturns

通过Poisson计算并比较了三种四极磁铁（孔半径分别为10 mm、12.5 mm 和15 mm）在相同安匝数（5 300）下的磁场梯度和磁效率，如表2 所示。由仿真结果可见，在磁极两侧安装永磁铁可以提高磁效率。磁场饱和程度越高，磁效率的提高越明显。以上研究结果表明：这种新型磁路能明显提升高梯度高磁饱和四极磁铁的磁效率和磁场梯度。

表2 不同孔径下磁场梯度和磁效率对比Table 2 Gradient and efficiency of three radiuses with/without installing permanent magnets

2 场误差模拟计算

磁铁的磁场质量主要由设计、加工和装配误差等决定。磁场的高阶分量是衡量磁铁磁场质量的关键指标。磁场的高阶分量系数分为两部分：系统误差和非系统误差［13］。系统误差是由理想磁铁的对称性决定。对于四极磁铁，系统误差对应的磁场高阶分量为B6、B10、B14等。通过合理的设计，可以有效降低好场区范围内的系统误差。极面优化和端部削斜是磁场质量优化的两种常规方法。非系统误差主要是加工误差和装配误差产生的磁场高阶分量。

虽然永磁铁的安装可以有效提高四极铁的磁效率及磁场梯度，但它们也可能会对磁场的质量产生影响。需要对永磁铁的安装对四极铁磁场质量的影响进行研究。根据该新型高梯度四极磁铁的要求，其磁极间隙为10 mm，好场区半径为5 mm，磁场高阶分量小于5×10-4。

2.1 二维磁场优化

在四极铁的二维横截面中，初始状态下磁极面形状是标准双曲线的一部分。孔半径为11 mm，相邻磁极间的间隙为10 mm。在磁极面两侧添加永磁铁降低了磁极处磁场的饱和程度，对磁场质量会有一定的影响。通过Poisson程序计算出半径为5 mm时磁场高阶分量，如表3所示。可以看出，最大高阶分量约为-2×10-3，不能满足要求。安装永磁铁后，高阶分量与未安装永磁铁状态下的高阶分量相比变化不大。

表3 初始状态下未安装和安装永磁块的四极铁高阶分量系数Table 3 Multipole components of primary condition with and without installing permanent magnets

经过磁极面优化［14］后，最终获得优化后磁极面坐标，如图4 所示。优化后的计算结果如表4 所示，在5 mm 半径处高阶分量小于2×10-4，满足设计要求。极面优化后，安装永磁铁的四极磁铁的高阶分量略小于未安装永磁铁的四极磁铁。如果安装在磁极两侧的永磁铁的性能基本相同，则安装永磁铁后的磁场质量基本相同或更好。通过对永磁块进行排序优化，可以保证安装在磁极两侧的永磁铁的总体性能基本相同。所以通常对于高饱和高梯度四极磁铁，永磁铁的安装对二维横截面上系统性磁场高阶误差影响很小。

表4 优化后未安装和安装永磁块的四极铁高阶分量系数Table 4 Multipole components with and without installing permanent magnets after pole face optimization

图4 优化后磁极面坐标Fig.4 Coordinates of pole face after optimization

2.2 永磁块剩磁误差和安装误差对磁场质量的影响

利用Poisson 软件模拟研究永磁块的剩磁误差和安装误差对四极磁铁的磁场高阶分量的影响。理想情况下，4 个磁极两侧永磁块的总磁矩以及位置具有对称性。如果其中一组永磁块的剩磁或位置发生变化，将产生磁场的非系统误差。

假设其中一组永磁块的剩磁减小了5%，计算得到永磁块剩磁的不一致导致各个高阶分量系数的变化如图5所示。结果表明：永磁块剩磁的误差在5%时，n=3阶及以上bn的最大变化量为0.2×10-5，an的最大变化量约为2×10-5，比磁场高阶分量要求小一个量级。n=1 阶的变化较大，会导致磁中心偏移约1.36 μm。

假设其中一组永磁块的位置改变了0.1 mm，模拟计算得到永磁块安装误差导致各个高阶分量系数的变化如图5 所示。结果显示：永磁块的位置误差为0.1 mm 时，n=3 阶及以上bn的最大变化量为4×10-5，an的最大变化量约为3×10-5，远小于磁场高阶分量要求，磁中心偏移约2.21 μm。

图5 永磁块剩磁误差和安装误差导致高阶分量系数的变化量Fig.5 Changes of high-order component coefficient of multipole components caused by remanence error and installation error of the permanent magnets

根据模拟结果可以认为永磁块剩磁误差在5%以内、安装误差小于0.1 mm 时，永磁块的剩磁误差和安装误差对磁场质量基本没有影响。按照目前的加工和安装工艺水平，永磁块的剩磁误差一般远小于5%，磁块的安装可以通过安装定位板等机械结构设计以保证安装精度在0.1 mm以下。

2.3 三维场端部效应及其补偿

通过OPERA 进行了三维模型的计算和研究。该新型四极磁铁的铁芯长度为200 mm。根据优化后的二维坐标，建立了该四极磁铁的1/8 模型，如图6 所示。计算模型的单极安匝数为5 300，利用三维模型计算磁场积分场的高阶分量，计算在半径5 mm处，长度为400 mm的磁场积分结果。通过傅里叶变换可以得到磁场的高阶分量，如表4 所示。磁场高阶场误差均小于要求（5×10-4），但由于端部磁场的影响，高阶分量B6L/B2L的值相对于二维平面模拟的B6/B2的值增大了。

对于三维模型，系统性高阶误差还可以通过端部削斜［15］来优化。通过优化计算，对于该四极磁铁，当角度约为30°、倒角深度约为6 mm时，磁场高阶分量最小。优化后磁场高阶分量如表5所示。结果表明：永磁铁的安装对三维磁场高阶分量的影响不大，并且通过削斜依然可以有效降低系统性高阶分量。

表5 三维模型计算的高阶分量系数Table 5 Multipole components in 3D

3 结语

本文设计了一种新型高梯度四极磁铁，采用新型磁路，即在四极磁铁磁极两侧安装永磁铁，增大了磁场的最大梯度。该高梯度四极磁铁孔径为22 mm，相邻磁极间的间隙为10 mm。当单极安匝数约为5 300 时，梯度可达100 T·m-1，磁效率约达到91%；永磁铁的安装合理利用了铁芯中心的空间，不会影响真空室的安装；以现有的工艺水平，永磁块的剩磁误差和安装误差都在可控的范围内，通过优化排序安装在磁极两侧的永磁铁的性能将基本相同，永磁铁的安装对磁场质量几乎没有影响，对磁铁的好场区大小也几乎没有影响。综上所述，该新型四极磁铁的设计为今后高梯度四极磁铁的设计提供了一个可行且有效的解决方案。

作者贡献声明朱亚：负责仿真模拟和数据分析整理，起草论文并完成后续修订；张庆磊：负责获取研究资金，指导论文写作；周巧根：指导仿真与实验，指导并协助论文写作与修改。