谈谈证明数列不等式的三种方法

刘俊

数列不等式证明具有较强的综合性，且难度较大.此类问题往往综合考查了等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、性质、不等式的可加性、可乘性、传递性等，对同学们的逻辑推理和分析能力有较高的要求.本文主要介绍三种证明数列不等式的方法.

一、裂项放缩法

若数列的通项公式为分式，且可裂为或通过放缩后化为两项之差的形式，则可采用裂项放缩法求解.首先将数列的各项拆分，在求和时绝对值相等、符号相反的项便会相互抵消，再将所得的结果进行适当的放缩，便可证明数列不等式.

二、构造函数法

数列是一种特殊的函数，在解答数列不等式证明题时，可根据目标不等式的特点构造出函数模型，此时需将n∈N看作函数的自变量，将目标式看作关于n的函数式，利用函数的单调性、有界性来求得函数式的最值，从而证明不等式成立.

解答本题，需先求得bn、Ta并将目标式化简，然后根据目标不等式的特点构造函数f（n），通过比较f（n+1）、f（n）的大小，判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性证明不等式成立，一般地，在判断数列或函数的单调性时，可采用作差或作商法来比较数列的前后两项an+1、an的大小，若an+1>a。，则函数或数列单調递增;若an+1

三、数学归纳法

数学归纳法主要用于证明与自然数N有关的命题.运用数学归纳法证明数列不等式，需先根据题意证明当n=1时不等式成立;然后假设当n=k时不等式成立，再根据题意，通过运算、推理证明当n=k+1时不等式也成立，这样便可证明对任意n∈N*不等式恒成立.