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布尔代数的乘积型双极值模糊点理想*

2022-07-20

关键词:模糊集乘积极值

姜 曼

(西安交通工程学院公共课部,陕西西安 710300)

0 引 言

模糊集是处理不确定信息的有力工具[1],在实际生活应用中,模糊集也发挥了一定的作用[2-3],但客观世界中不相容两极性问题也不能忽视.基于此,Zhang[4]提出了双极值模糊集理论;Lee[5]定义了双极值模糊集的一些运算和基本性质,双极值模糊集首次将不相容两极性引入到模糊集理论中,为分析和解决带有不相容特性的大数据问题提供了新的思路和方法.近年来,关于双极值模糊集在代数结构中的应用研究从未间断,进一步拓展了双极值模糊集的应用领域.如:索南仁欠和华毛加[6]研究了双极值模糊集的距离与测度,给出了定义并研究其性质;王金英和王艳平[7]把双极值模糊集、犹豫模糊集和软集相结合,并在决策中研究了一些应用;王丰效[8]在半群中定义了双极值模糊子半群,得到了一些重要的结论.其余更多关于双极值模糊集与代数结构相结合的研究可见文献[9-14].

布尔代数在代数结构中占有重要的位置,现阶段,用模糊集的拓展和双极值模糊集对布尔代数的研究从未间断.陈露[15]研究了布尔代数的子代数以及理想等推理规则;刘卫锋[16]研究了布尔代数的模糊点子代数,给出布尔代数的模糊点子代数的几个简化判断定理;傅小波等[17]研究了布尔代数的犹豫模糊理想;姜曼和彭家寅[18]在布尔代数中研究了IV 犹豫模糊子代数.用双极值模糊集研究布尔代数并不多见,本文拟对布尔代数中的一个推理准则——理想进行研究.

1 预备知识

定义1.1[19]称二元运算+,⋅的代数系统为布尔代数,如果R至少含有2 个不同元,且有:

(1)∀a,b,c∈R,a+b=b+a,ab=ba,且ab为a⋅b;

(2)a(b+c)=ab+ac,a+(bc)=(a+b)(a+c);

(3)(a+b) +c=a+ (b+c),(ab)c=a(bc);

(4)∃0,1 ∈R,a+ 0 =a,a1=a;

(5)∀a∈R,∃aˉ∈R,满足a+aˉ= 1,aaˉ= 0.

定理1.1[19]设为布尔代数,∀a,b∈R,有:

定义1.4[4]设ϕ+:X→[0,1]和ϕ_:X→[0,1]是2 个映射,称ϕ={(x,ϕ−(x),ϕ+(x))|x∈X}是X上的一个双极值模糊集,简记为ϕ= (ϕ−,ϕ+).记X上的全体双极值模糊集为BVF(X).

定义1.5[11]设ϕ∈BVF(X),ψ∈BVF(X),称ϕ⋂ψ为ϕ和ψ的交集,这里

设ϕ∈BVF(X),[s,t]∈[ −1,0]×[0,1],称集合N(ϕ,s) ={x∈X|ϕ−(x) ≤s}为ϕ= (ϕ−,ϕ+)的负s-截集,集合P(ϕ,t) ={x∈X|ϕ+(x) ≥t} 为ϕ=(ϕ−,ϕ+) 的正t- 截集 . 称集合C(ϕ,[s,t]) =N(ϕ,s) ⋂P(ϕ,t)为ϕ= (ϕ−,ϕ+)的(s,t)-截集.

2 布尔代数的乘积型双极值模糊点理想

定义2.1 设ϕ∈BVF(R),若∀a,b∈R,如果下面条件成立:

(1)ϕ+(a+b)≥ϕ+(a)ϕ+(b),ϕ−(a+b)≤ϕ−(a)ϕ−(b);

(2)ϕ+(ab) ≥ϕ+(b),ϕ−(ab) ≤ϕ−(b).则称ϕ是R的乘积型双极值模糊点理想. 记为ϕ∈BVFI(R).

定理2.1 设ϕ∈BVFI(R),∀a,b∈R,且a≤b,则ϕ+(a) ≥ϕ+(b),ϕ−(a) ≤ϕ−(b).

证明 由于a≤b,可得a=ab,于是ϕ+(a) =ϕ+(ab) ≥ϕ+(b),ϕ−(a) =ϕ−(ab) ≤ϕ−(b).

推论2.1 设ϕ∈BVFI(R),∀a∈R,则有ϕ+(0)≥ϕ+(a),ϕ−(0) ≤ϕ−(a).

定理2.2 设ϕ∈BVFI(R),则U={a∈R|ϕ+(a)=1,ϕ−(a)=1}≠∅是R的理想.

证明 ∀a,b∈U,则有ϕ+(a)=ϕ+(b)=1. 于是ϕ+(a+b)≥ϕ+(a)ϕ+(b)=1,ϕ−(a+b)≤ϕ−(a)ϕ−(b)=1.即ϕ+(a+b) = 1,ϕ−(a+b) = 1.故a+b∈U;

∀a,b∈U,则ϕ+(a) = 1,ϕ−(b) = 1. 于 是ϕ+(ab) ≥ϕ+(a) = 1,ϕ−(ab) ≤ϕ−(b) = 1.故ab∈U.所以,U={a∈R|ϕ+(a) = 1,ϕ−(a) = 1}≠∅是R的理想.

定理2.5 设f:R→R′是同态满射,ψ∈BVF(R),若ψ∈BVFI(R),则f(ψ) = ((f(ψ))−,(f(ψ))+) ∈BVFI(R′),其中

定义2.2 设ϕ∈BVF(X),ψ∈BVF(Y),定义映射:

定理2.6 设ϕ∈BVFI(R1)和ψ∈BVFI(R2),则直积ϕ×ψ∈BVFI(R1×R2).

类似地,可证

3 结束语

作为模糊集一个重要的分支,双极值模糊集对研究布尔代数有非常重要的理论意义.一般情况下主要研究布尔代数的理想以及滤子,是在模糊集的基础上研究布尔代数.本文基于数乘定义的基础,在布尔代数中研究了乘积型双极值模糊点理想,讨论其性质,日后将尝试把双极值模糊集,软集和布尔代数相结合研究软滤子以及软理想等问题.

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