浅谈Taylor公式教学

路群 刘莉芳

【摘要】微积分是高等院校开设的一门重要基础课程，它主要研究函数的一些性质，如连续性、可导性、可微性、可积性等.Taylor公式告诉我们，一个复杂的函数如果满足一定条件便可以用多项式去近似替代，这样做能增进对函数性质的理解.本文结合自身教学经验，从问题引入、公式中系數的几何意义、Taylor公式的求法以及针对具体的函数Taylor公式的特征几方面入手探讨这一内容的教学，让学生知道这一公式的由来，加深对这部分内容的理解.

【关键词】微分;微分中值定理;Taylor公式

【基金项目】本文系2021.07—2023.06 广州大学—大学数学黄大年式教师培育团队-广大【2021】95号.

Taylor公式是高等数学教学中的一个难点，有的学生会对它庞大的形式望而生畏，用它分析解决问题时也是敬而远之.本文将对如何让学生对这一内容做到容易接受并更好地理解试做探讨.

一、问题引入

对一个较为复杂的函数，如何知道它在一点处的取值及其各阶导数值？如何对它在其他点处的值进行估计？如何用一个更为简单的函数去逼近它？

在微分的部分我们已经知道可以用简单的直线（一阶多项式）即切线来逼近函数，也就是

f（x）≈L（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0），

这一近似做法就在于“以直代曲”，用来做替代的函数要形式简单.但它的缺点也很明显：第一，估计的范围“太窄”，要求变量x要充分接近x0，否则效果就不理想，这一点从一些熟悉的函数图像便可以直观体会到;第二，误差大，只是比x-8x0趋于零的速度快而已，即o（x-x0）精度不高.对此，是否有一些改进的方法来对函数做近似估计呢？当然，对于之前的方法，如果我们能做到既避免缺点，又保持其优点就完美了.事实上，这种两全其美的想法很难实现，Lagrange微分中值定理应算是一种改进，它仍然采取直线来估计函数，只不过不是用x0点处的切线，它没有自变量x要离x0“充分近”的限制，即

f（x）=f（x0）+f ′（ξ）（x-x0），ξ介于x0与x之间.

可以想象，如果函数的图像很“弯曲”，却仍然坚持用直线去近似替代，那效果应该不会很好.能否放弃简单形式的直线，而采取“以曲代曲”，用更高阶的多项式去估计函数，使得估计的误差更小（o[（x-x0）n]）、精确度更高呢？事实上，Taylor中值定理告诉我们这是可行的.

二、关于Taylor系数限制条件的含义以及Taylor中值定理

如果函数满足一定的条件，对用来近似函数f（x）的多项式必须弄清楚两个问题：一是多项式的阶数，二是在知道阶数（比如n阶）的前提下，该多项式的系数如何确定.不同系数的多项式呈现的特征不同（比如开口方向、弯曲程度等），从而用来近似f（x）达到的效果也有所不同.

假设用x-x0的n阶多项式Pn（x）=a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）2+…+an（x-x0）n，使f（x）=Pn（x）+o[（x-x0）n].不是任何一个多项式都可以达到

想要的效果，这可从f（x）与多项式所表示的曲线上直观看到（笔者在课堂教学中会给出不同的多项式来近似函数，让学生从图像上选出他们认为“效果好”的曲线，并说出其用以评判效果好坏的标准），通过对比各曲线的差异，考虑这些“效果好”的曲线是怎么选出来的，选择的标准是什么，从而让学生体会f（x）与多项式“共性越多，效果越佳”的道理.比如多项式与函数曲线过相同点（x0，f（x0））、有相同的切线、有相同的弯曲方向及相同的弯曲程度等，在数学上便是在x0处直到2阶的导数值都相等，更可以大胆地想象直到n阶的导数值都相等，即

六、结 论

通过以上几方面的分析，学生对Taylor公式有了一个更为具体的了解，知道这一公式是基于什么样的背景下提出来的，又能用来解决什么问题，对这部分内容加深了印象，为后续相关知识的学习做好铺垫，进而能提高学生利用所学知识分析、解决问题的能力.

【参考文献】

[1]曹广福，叶瑞芬，赵红星.高等数学（一）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]同济大学数学系.高等数学：第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]李忠，周建莹.高等数学[M].北京：北京大学出版社，2009.