食饵具有强Allee效应且捕食者有合作的扩散Leslie-Gower捕食-食饵模型的动力学性质

刘桂瀛, 徐本龙

(上海师范大学数理学院,200234,上海市)

0 引 言

在大多数研究捕食模型的文章中,假设猎物以逻辑模式生长. 然而,由于生殖促进,合作繁殖,反捕食者行为,觅食效率,环境调节等,人们认识到猎物可能具有Allee效应的增长率[1,2]. Allee效应主要分为2种: 强 Allee效应和弱Allee效应. 一般来说,存在一个强Allee效应的阈值种群水平,使得物种将在低于该阈值种群密度时灭绝. 然而,当增长率下降,但在低人口密度下保持正增长时,这被称为弱Allee效应,这些性质不同于原始系统. 例如,Allee效应导致一个新的平衡点的出现,从而改变了其他平衡点的稳定性. 为了更好地描述捕食者—食饵的相互作用,在捕食者种群中引入捕食合作来反映捕食者为了有效捕捉孤立或成组猎物而采取的动力行为,例如,非洲狮[3],非洲野狗[4],鸟类[5],蚂蚁[6].

本文研究食饵具有强Allee效应且捕食者有合作的Leslie-Gower捕食-食饵模型全局动力学问题

(1)

这里u(x,t)和v(x,t)分别是猎物和捕食者的密度函数,Ω是n中的一个有界域,边界∂Ω光滑;对∂Ω施加无通量的边界条件,使生态系统与外部环境封闭;d1和d2分别为猎物和捕食者的扩散系数;b∈(0,1)为Allee阈值,α表示捕食者在狩猎中合作的参数,α越大(越小),捕食者合作越强(弱). 假设参数μ>0为常数,表示捕食者内在增长率. (1)式的非空间的ODE模型在文献[7]中被引入,得到当狩猎合作系数和Allee效应的严重程度足够小时,分叉极限环是稳定的.

定义(1)式中的非线性项为

(2)

还表示为

(3)

将G(U)在U=(u,v)线性化,得

(4)

1 非负常数平衡解及其稳定性

其中

(5)

(6)

(1)式的平衡问题是椭圆边值问题

(7)

(8)

因为

trQij=-(μjd1-Ai+μjd2+μ),

所以ξ2-trQijξ+detQij=0.

对i=1,j=0,有

注系统(1)(没有原始数据)有一个在(0,0)处的奇点和1个或2个可能的正常数平衡,因此它可能在(0,0)和一个正平衡之间具有双稳态结构.

2 解的整体存在性、唯一性和估计

(9)

(ⅱ)存在一个常数M>0,使得

(10)

证明(ⅰ) 首先应用上下解方法得正解的存在唯一性.

0≤v(x,t)≤v*(t).

下面应用抛物方程比较原理证解是永久的，即不会出现爆炸现象.

显然,u满足

(11)

由比较原理得u(x,t)≤φ(t),其中φ(t)是

(12)

(13)

(14)

(ⅱ)对于k≥0的整数,定义uk(x,t)=u(x,t+k),则uk满足

(15)

(16)

3 解的动力学性质

本节主要研究(1)式解(u(x,t),v(x,t))的动力学性质. 我们给出一个一般结果.

定理3.1对所有d1,d2,β,μ>0,如果u0(x)≤b且(u0(x),v0(x))≢(b,0),则

证明分为3种情形.

(17)

由强最大值原理,

矛盾. 因此,存在t0>0,使得0

4 非常数正平衡解(平稳模式)的存在性

捕食-食饵模型中令人感兴趣的是各种物种是否能共存. 在物种均匀分布的情况下,这将由恒定的正解表示. 在空间非均匀的情况下,与时间无关的非常数正解(平稳模式)的存在,是系统动态丰富性的一个标志.

4.1(8)正解的估计

为讨论(8)非常数正解的存在性与不存在性,在本节中,我们将给出正解的先验正上界和下界. 先陈述2个命题.

Δw(x)+c(x)w(x)=0

(18)

(19)

利用上述命题可得下面的结果.

定理4.1令(u,v)是(8)式的正解,则

证明由(8)式的第1个方程,u满足

由(8)式的第2个方程,v满足

同理,由

4.2正平衡解的存在性

定理4.2令d*>0是一个固定的常数,则存在一个常数C*=C*(d*,b,α,Ω,N)>0,使得对d1≥d*,(8)的每一个可能的正解(u,v)满足

5 总 结

本文利用泛函分析中的谱(特征值)理论,偏微分方程中的正则性理论,上下解方法等工具分析了非负常平衡解及其稳定性,并且得到了2物种共存与Allee阈值和狩猎系数α的关系：Allee阈值b较大时,只有狩猎合作系数α较小,2个物种才可能共存;而且随着Allee阈值b的提高,维持两个物种共存的狩猎系数α逐渐减小. 本文的最后得到了整体解的存在性及动力学性质.