逆向思维在初中数学解题教学中的应用

◎谢小兵

(甘肃省天水石马坪中学，甘肃 天水 741000)

初中阶段的学生比小学阶段的学生在解题思路上更加灵活对于初中学生心理特点上的变化教师如果能够加以运用，就能够对学生的思维进行一定程度上的优化，更好地培养学生的解题能力逆向思维在数学学习环节中呈现出极大的优势，数学思维要求的就是一种理性思维，所有的思维模式不是正向被推倒就是反向被推倒，所以说，在数学学习环节中，在答案上没有两面性，但是在题目的思维推导上却是有多面性，逆向思维就是其中一种

一、逆向思维——逆向判定数学知识定理

在初中数学中学生所接触到的逆向判定教学知识定理是最基础的反推数理思维模式在数学教学中，这一领域所涵盖的内容受到了许多教育研究者的重视逆向思维解决数学知识定理有着数学特有的抽象性和逻辑性逆向思维对于现代化教学有很大价值

例如，在初中数学《平行线的性质和平行线的判定》的学习过程中，教师面临的教学难点以及学生将要掌握的难点就是对于平行线性质定理和判定定理的区分教师可以将教学大致分为两部分，首先，理解和分析“性质”和“判定”这两个词的含义平行线的性质就是已知两直线平行的关系，得出两角之间的关系，也就是说，性质是一种由线定角的过程如一条直线被平行线所截：(如图1所示)直线和平行，这两条直线被所截，产生的角是∠1和∠2，证明∠1=∠2就是平行线的性质反过来说，如果在图1中，已知的是∠1=∠2，那么,求证∥就是平行线的判定教师利用逆向思维给学生讲解完判定和性质的区别之后，就可以让学生学着在证明题中学会运用判定和性质(如图2所示)已知∥，∥,求证∠=∠,∠=∠在证明过程中，已知的是两直线平行，要判定的是角之间的关系，也就是说，这一题是由线定角，用到的是平行线的性质，在已知中，学生可以提取到的要点是∠+∠=180°，∠+∠=180°，所以，根据量的等同转换，∠=∠;然后同理就可以证明∠=∠；对于学生来说，数学知识具有一定的抽象性，其中所包含的数学理论知识很难用生活道理解释，这就造成学生很难将数学理论运用到数学的解题过程中，逆向思维能够以一种简易的方式进行反向解题

图1

图2

数学理论是抽象的，很多数学问题难以用具象的东西解释清楚，所以开发学生的逆向思维有助于学生巧妙解题学生可以从逆向的角度去理解定理，而避免死记硬背又不会运用的艰难境况突破常规思维，转换学习方法，创新思维能力

二、逆向思维——逆向求解数学错题难题

逆向思维是学生解决问题的重要手段，一道题目并不是只能通过正向思维解决或者只能通过逆向思维解决，当正向思维解题过程过于复杂，可以寻求另一种方式解决问题用逆向思维解题，能够使题目的困难程度大幅度的降低逆向思维的应用是将未知的数已知化，然后利用未知数求解已知数看其是否和所给的已知的数相同，从而理清整个解题思路，问题解决之后，学生可以将逆向思维正向化，重新求解

例如，对于初中数学一元二次方程的求解问题，问：有一个两位数，它的十位数和个位数相加和是5，将个位数和十位数对调位置之后，原来的两位数与对调后新的两位数的乘积是736，求原来的两位数是多少？这道题要运用一元二次方程求解，设十位上的未知数为，个位上的未知数是,由已知个位数与十位数相加和是5可以列出第一个方程+=5，由已知原来的两位数(10+)与对调位置后得到的新的两位数(10+)的乘积是736,能够得到第二个方程(10+)(10+)=736然后连立这两个方程求解在求解的过程中，一些学生由于计算能力欠缺，可能会导致思路是正确的，答案是错误的这种现象的出现，所以，教师可以提醒一些计算能力欠佳的学生，在计算完之后，可以将已知的和代到题目中，计算带入之后加是否等于5？以及(10+)(10+)是否等于736？逆向思维可以帮助学生认识数学解题思路和方式上的创新对于数学学习的重要作用逆向思维帮助学生在一定程度上避免了在解题过程中进入思维误区还不自知的情况

逆向思维能够帮助学生及时发现错误学生习惯于从因到果去分析数学问题，而这个果究竟正不正确，是需要学生谨慎求证的，因而要求学生学会从果到因地去分析数学答案是否正确这样做可以大大降低学生做题的错误率，同时培养学生解题的耐心和反向思维逻辑能力逆反思可以使学生从关注解题本身转向关注数学思维训练本身，激发学生对数学问题的探索心和求知欲，将数学学习变成自身的乐趣

三、逆向思维——逆向解决数学证明误区

在解证明类题目时，一些学生盲目将数学中的定理套用在数学证明的过程中，学生自以为写出来的证明过程是正确的，实则在其中存在着很多漏洞初中数学的证明题求解就相当于小学生在做计算题时，教师要求学生在正向计算的旁边再进行反向的验算一样所以教师在证明题解答的教学环节中，可以让学生利用逆向思维更好的完善数学题里存在的证明误区这种方式在数学解题教学中叫作反证法，学生的正向证明如果是正确的话，那么学生进行证明流程反向推理时是不会出现矛盾的，如果在反向证明中出现了矛盾，也就是说学生在证明时还存在着一些漏洞

例如：如图3所示，已知正方形中存在一点,且∠=∠=15°，证明正方形中所含的三角形是否为等边三角形？学生在证明过程中一定要找到每一个可以证明的点，避免在做证明题时出现一种意念证明的现象，就是学生自以为某个条件是客观存在的，所以教师在对于学生证明题的训练过程中，一定要讲清楚，每一道题的证明都要有理有据，有因有果因为∠=∠=15°，所以=，又因为在正方形中，∠=∠,∠=∠=15°,所以∠=∠,在三角形和三角形中，由于=,∠=∠,=,所以三角形≌三角形，然后就能得出=，且还能计算出∠=60°，这几点就可以证明三角形是正三角形在这个证明环节中，证明过程比较简单，但简单的证明过程不代表学生可以在做题环节中将其忽略，证明题对于初中学生来说也是一项思维上的挑战，要求学生的做题思维不仅仅要灵活还要缜密，学生在做证明题时，一定要主动挖掘所给的已知条件在证明过程中的作用，要知道，在一般性的证明题目中，没有一项所给的条件可以被学生在做题过程中忽略掉，题目中的每一句话都有设题者的意图

图3

以上案例表明，反证法是学生运用逆向思维解决数学证明问题的一个具体操作法对于数学能力比较贫乏的学生而言，学会这个方法能够清晰地认识到自身思维上的漏洞，避免做题时盲目自信逆向思维能够帮助学生弥补分析漏洞，加强学生的严谨性和思路的清晰性

四、逆向思维——逆向运用数学公式和运算法则

“授人以鱼，不如授人以渔”，初中数学中很多公式和运算法则其实都具有双向性，即是可逆的因此，教师在课堂上不仅要讲授数学公式的具体运用方法，让学生将数学公式和运算法则铭记于心，同时，还需要要求学生在运用数学公式和运算法则时懂得融会贯通面对数学问题，可以正向操作也可以逆向解决教师要善于找到数学运用中的典型例子，让学生运用逆向思维思考逆向思维能够培养学生的抽象思维，因为数学理论知识是抽象的，很多数学题目的解答难以用具象的东西解释清楚，所以开发学生的逆向思维有助于学生巧妙解题

五、逆向思维——逆向对数学知识进行二次回顾

在解答数学问题时，学生可以先用正向思维解答题目，然后再用逆向思维重新定位题目，这样就能够对数学知识点进行双重的理解和记忆如学生在做自己曾经做错的题目时，题目的答案对于学生来说是明确的，但是正向的用流程解答题目对于学生来说确实困难，遇到这种情况学生可以使用逆向思维倒推正向解题所需要的条件和结论也就是说，如果正向推理题目是一种由因到果的过程，那么逆向思维下的解题就是一种由果到因的过程

例如，在学习初中数学等腰三角形这一节内容时，学生首先要对等腰三角形有一定程度的了解等腰三角形是一种特殊形式的三角形，其不仅仅是两腰、两底角相等，还具有三线合一的性质，不管是在平时考试中还是在中考中，等腰三角形三线合一的性质都是必不可少的重要考点对于这一知识点中存在的错题，学生在整理时不要一概而论，要进行分门别类，这也是做题上的逆向思维，如这一章的题目可分为三种，第一种考察的是等腰三角形的性质，第二种考察的是等边三角形的性质，第三种考察的是垂直平分线的性质学生将自己做错的题划分到这三大领域，然后对于同领域的题目进行对比分析，不断总结自己对于这一类型题目的解题技巧

由以上案例表明，逆向思维是一个帮助学生学好数学的好方法数学题目就好似有七十二变，但万变不离其宗，任何一道题目都可以追根溯源到课本的概念中概念能够帮助学生解决数学问题，但同时数学问题的解决也有助于学生对概念的理解因而，在数学的复习当中，学生可以多从题目中回顾所学的知识点，加深记忆

逆向思维是新课标教育理念的有效教学实践，其在教育环节中的优势是在现代教学成果反应中显而易见的，所以，现代教师还需在逆向思维的教学方法和教学流程上不断做出改变和创新根据学生的反映情况和课后效果的展现情况及时作出应对和改变将逆向思维融入教师的每一节数学课堂教学当中，将其作为重中之重，让学生在平常的数学学习当中，潜移默化地学会用逆向思维思考问题，提高数学逻辑分析能力，提高思维创新力，为以后的数学学习添砖加瓦