概念教学提升初中数学素养教学刍议——以“算术平方根”教学为例

◎严克浩 谢福耿(广东省广州市广园中学，广东 广州 510405)

东北师范大学前校长史宁中教授认为数学教学的最终目标可以用三句话来概括：“让学习者会用数学的眼光观察现实世界；让学习者会用数学的思维思考现实世界；让学习者会用数学的语言表达现实世界.”也就是说，数学教育就是要培养有数学素养的人.其中概念教学在数学教育中占据着重要地位.但目前的初中数学概念教学实践存在本质上以解题教学代替概念教学，概念教学方式方法单一，对概念形成过程体验不够等问题，导致课堂气氛沉闷，学生对数学的印象是枯燥、乏味，想要提高学生的数学素养更是无从谈起.造成这样局面的根本原因是教师对“概念教学的各个阶段分别应该要怎么做，应该采取怎样的教学策略”没有清晰的定位.

美国认知心理学家皮亚杰认为：认知发展是受同化、顺应、平衡三个基本过程的影响，新知识被旧知识同化，旧知识顺应新知识，新旧知识须在同化和顺应之间得到某种均衡而实现平衡.

本文将概念教学过程分为概念形成、概念巩固、概念精致这三个阶段.笔者认为要想提升学生的数学素养，在概念教学的各个阶段可以采取以下策略：唤醒迁移促概念形成，类比辨析促认知平衡，融汇新旧促概念精致.本文以初中“算术平方根”的教学为例，将数学核心素养的教学理念融入概念教学中，以供一线教师借鉴和参考.

一、唤醒迁移促概念形成

在概念形成阶段，教学的主要任务是实现概念同化，把新的概念同化到旧的知识和经验以及已有的认知体系中，教师在这个阶段的主要工作是完成对学生旧知识和经验的唤醒和实现认识体系由旧到新的迁移，所有的学习都是从已有经验出发的.这个阶段搭建起新旧知识之间沟通的桥梁，让学生了解新概念是从何而来的，是如何迁移的，从而明确新概念在整个知识体系中的地位及作用.

根据苏联教育家维果茨基提出的“最近发展区理论”，新概念处在学生知识的“最近发展区”的教学效果最佳.所以，在数学概念教学过程当中，教师要厘清接近新概念的“已发展区”，注重利用学生已有的知识和经验来形成新的概念.学生从已有的知识经验出发，通过概念引入使得新概念与旧知识之间搭建联系，使得新概念的诞生“水到渠成”.这样的教学方法更容易让学生接受，同时更符合学生的认知规律和身心发展特点.因而，在概念形成阶段，教师应唤醒学生旧的知识和经验，以便其使用数学的方法实现知识和经验的正迁移，这样旧知识和经验这只“鸡”才能孕育出新概念这个“蛋”.

以“算术平方根”教学实践的引入为例.从数学史的角度来看，毕达哥拉斯学派发现，直角边长为1的等腰直角三角形斜边长的平方是2，但是斜边具体有多长？这个时候已经孕育着算术平方根这一概念了！今天我们知道，这条线段的长度本质上是2的算术平方根.所以要使学生形成“算术平方根”这一概念，教师可以考虑唤醒学生对直角三角形的认识，实现由直角三角形知识到算术平方根知识的迁移.但前提是要以勾股定理为基础；从知识的层面来看，“算术平方根”是开平方运算的非负结果，也可以唤醒学生已有的经验“加法和乘法都是有逆运算的”，让学生隐约觉得乘方(平方)作为一种运算，也是有可能逆运算的，实现乘方的逆运算到算术平方根的知识的迁移.“知边长，求正方形的面积”是学生已有的知识和经验，属于“已发展区”，按照数学探究的习惯，交换条件和结论往往可以获得一个观察问题的全新的角度，并且有意外的收获，这也是学生已有的经验.唤醒了以上所提的这些知识和经验，知道“正方形的面积，求边长”就成了学生“最近发展区”.教师带学生将知识迁移至“正方形的边长是正方形面积的算术平方根”，最终实现“正数a的算术平方根”与“面积为正数a的正方形边长”的同化.

基于以上考虑，笔者在教学实践中先让学生计算边长为3的正方形面积，唤醒学生已有的知识经验，然后让学生变换一下角度，尝试一下计算“已知正方形的面积，求正方形边长”的问题：

正方形的面积49160.253649边长

教师通过唤醒学生“求正方形面积”的数学知识和数学研究学习，并将条件和结论进行互换，以转换角度和视角积累数学经验，逐步完成从“知正方形边长，求面积”到“知正方形面积，求边长”的知识迁移.

为了更加接近概念本身的本质，教师还需要进行更加“形式”的抽象.笔者在教学实践中会问学生类似“哪个正数的平方等于36?”这样的问题.这样问题的论述已经非常接近概念的论述，从而逐步实现从“情景”到“形式”的迁移.接着，教师可以进一步提问“已知36是6的平方，那么6是36的________？(横线填个什么合适的名词)”这个时候概念就凸显了出来.此时，教师再带领学生回顾之前的教学过程，对算术平方根进行定义.定义的文字表述和符号表示都完全确定后，就可以看作概念真正形成了.在这个过程中，教师完成了概念从实际背景到形式的抽象，学生既经历了从数学的角度观察实际背景，又体验了用数学的方法抽象数学概念的过程，使得自身的数学素养得到极大的提升.

二、类比辨析促认知平衡

在概念巩固阶段，教师的主要任务是实现认知平衡，这个阶段，学生在训练的过程中，新的概念与原有知识和认知结构频繁类比、辨析以便实现同化，新概念要纳入旧的认知结构中，会对原有的认知结构造成影响，新旧知识必须经过同化和顺应之间得到某种均衡而实现平衡，建构一种全新的认知结构.在这个过程进行得最多的思维活动无疑是“类比辨析”.因而，教师应该在概念运用环节设置一些“类比辨析”的数学活动，促使学生对新概念的同化、顺应，顺利达成认知的平衡，从而形成新的、稳定的认知结构.

以“算术平方根”为例，学生要理解算术平方根，就要理解数学符号(数学语言)的意义以及算术平方根本身的意义.要实现第一个理解，教师可以把算术平方根和符号关联，就是a的算术平方根的表示，并以此作为规定.要实现第二个理解，教师可以通过活动促成类比辨析，使得学生感受到“正数的平方”和“求正数的算术平方根”是互逆过程，可以设置如下任务：

(1)( )2=2525=(2)( )2=49644964=(3)( )2=0.00010.0001=

这个任务设计的目的是增强学生视觉上的强烈的反差，让正数的平方运算和求正数的算术平方根运算的关联和差别都更加地明显，从而促使概念同化.在情感上，学生对世界是相互联系而又有区别的感受更加强烈，有利于学生数学素养的提升.

三、融汇新旧促概念精致

概念精致是指学习某个概念后，学生对所学概念有所拓展，甚至做出某种推论，这个过程被认知心理学家称为“精致加工”.在数学学习中，“精致加工”的实质是指对数学概念的内涵和外延进行详尽地“深加工”.概念精致阶段，教师的主要任务是对概念进行拓展，甚至形成某种推论.这个阶段是提高学生数学素养必不可少的阶段，属于“画龙点睛”的阶段，需要融汇已有的所有的知识和方法尝试多角度解读概念，甚至可以渗透其他学科的思想方法对新概念知识进行升华，达成提升自身数学素养的目标.

以“算术平方根”为例，经过前面的设计，学生对于新的概念虽然已形成基本认识，但不深刻，更不精致.在概念精致阶段，我们可以回到概念的实质背景，明确算术平方根这个概念以后，可以这样定义“正方形的边长是面积的算术平方根”.这一过程使得算术平方根获得了几何意义，实现了算术平方根的定义从抽象到相对具体，加深了学生对概念的理解.

算术平方根的大小与被开方数相关，但具体怎样相关，学生十分茫然.“被开方数越大，对应的算术平方根就越大”这一结论能够加深学生对概念的理解，促成概念精致.对于这一认识，教师可以利用几何知识形象化，把被开方数与“正方形面积”比较，将算术平方根和“正方形边长”进行类比；正方形的面积越大边长就大是学生形象的生活经验.教师也可以利用方程思想加深理解，在等式“x2=a”中指出正数x是a的算术平方根，a是被开方数，从方程的角度来看“x2=a”是一个一元二次方程，是一个等式，自然满足等式性质，这样“被开方数越大，对应的算术平方根就越大”的结论就显而易见了.这样多角度、全方位地融汇已有的知识和数学思想方法来检验新的概念，有利于学生达成对新概念的认识越来越精致的目标.通过概念精致完善对概念的认识以及对概念的内涵外延进行挖掘，学生的思想方法得到了有益的补充，学生的思维得到了发展，也学会了用数学的方法分析世界.这种方式不仅发展了学生的数学眼光，培养学生的数学素养，还为学生搭建了提升之阶.

四、总结和反思

1.概念教学要引导学生建构良好的概念结构

美国心理学家、教育学家布鲁纳认为学习就是建立一种认知结构.章建跃教授提倡整体教学，主张以构建学生的认知结构为核心目标，在教学中将数学知识、研究方法等对象置于整个数学知识体系中，用联系的结构化观点教学，让学生形成整体的认知结构，力求达成知识与方法能力的有机统一.由此可见，概念教学应该引导学生建构良好的概念结构.以“算数平方根”教学为例，算术平方根概念的起源与几何中的正方形有关，如果一个正方形的面积为A，那么这个正方形的边长就是A的算术平均根.算术平方根概念是平方根概念的基础.算术平方根的概念去掉要求正数的束缚，就可以得到平方根的概念.接下来，依据平方根的概念，学生可以仿写出立方根的概念.因而从认知结构上看，算术平方根是后续学习平方根和立方根的重要基础.因此，教师在进行算术平方根的教学时，要给学生理顺这样的关系，有助于引导学生建构一个良好的认知结构.

2.概念教学要引导学生积累概念学习的经验

数学活动经验是学生个人经验的重要组成部分，是学生学习数学、提高数学素养的重要基础之一.好的教育应该是从学习者的经验和已有的知识背景出发的.教师在概念教学中帮助学生积累概念学习的经验是非常重要的.算术平方根的学习实际上是为学生学习平方根、立方根乃至n次方根积累学习经验.因而，在教学的时候，教师应该经常归纳总结学习此类概念的经验和方法.