善用对比概括 发展高阶思维

◎衡华丽(南京市江宁上坊新城小学，江苏 南京 210000)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感态度与价值观等方面的发展.日常教学中，努力提升学生的思维品质仍然是小学数学教学的核心任务.

一、深度学习与高阶思维

深度学习是有意的理解性学习.根据知识的内在关联和有意加工，将知识串联成线，并联成网.全身心投入感知并参与学习的过程，能够实现知识的迁移和运用.小学生数学学习的过程是有意建构、完善、内化自己知识体系的过程.

数学思维分为记忆、理解、运用、分析、评价和创造.其中“记忆、理解和运用”是低阶思维，“分析、评价和创造”是高阶思维.高阶思维是发生在较高认知水平层次上的心智活动或较高层次上的认知能力，包含批判性思维、决策思维、创新性思维、分析思维、实践思维、系统思维、问题求解能力等.高阶思维具有深刻、综合、灵活等特征.“学起于思，思源于疑.”高阶思维是高阶能力的核心，从具象到抽象，从低阶到高阶是思维发展的重要途径.培养高阶思维是小学数学课堂教学目标的核心.

二、“对比”“概括”的内涵诠释

“对比”：异与同相生.对比是把两个相反、相对的事物或某一类事物相反、相对的两个方面放在一起，用比较的方法加以描述或说明.运用对比方法，能把相同点和不同点进行对照，直逼数学本质.

“概括”：直观至抽象.“概括”一词在字典中有两个义项，其一是指“把事物的共同特点归结在一起”，其二是指“简明扼要”.作为一种思维方法，概括是“在思想中从某类事物的个别、少数对象具有某种属性，推广到某类事物的全体对象都具有这种属性”.所以概括是形成普遍性认识的一种思维方法.

“对比”和“概括”在数学教学中如影随形.例如，在教学加法交换律和加法结合律中，学生通过观察发现不同类型的两个数相加的结果可以用等式表示，再通过对比不同的算式找出其相同点，继而运用不完全归纳法概括出加法交换律和加法结合律的数学表达式.通常“对比”在前，是为了发现相同点和不同点，“概括”在后，是为了去除表象和非本质属性，直达数学知识本质.

三、探寻数学课堂教学中高阶思维培养的路径

如今的数学课教学基本遵循生活原型、活动创造、总结特征、练习巩固等过程.小组合作、创造性活动充斥课堂，然而，不足的一点是教师虽设计了任务、活动，但小组合作和创造性活动却仅停留在程序化的汇报、交流、展示、核对正误的低级层面，这样的活动是不利于学生有意建构深度学习，不利于学生形成高阶思维的.除却上述步骤，教学时教师作为“组织者、引导者、合作者”更应该引导学生深入活动，在汇报中即时对比、抽象、概括，继而带领学生潜入数学的核心之处.

(一)以境生思——激活高阶思维意识

1.借力已有经验，制造表达与经验之冲突

“数学源于生活，又应用于生活.”数学本质往往藏在生活中直观物体的表象之下，学生的经验不足以突破这一点，此时，不妨借力已有经验，服务教学.以“角的初步认识”为例，学生对“角”的认知不是一张白纸，眼角的“角”、墙角的“角”，三角形中的“角”都是学生的已有经验.物中的“角”和形中的“角”既有联系又有区别.

(出示被遮住的圆；圆露出一半)

师：猜猜看，老师手里拿的可能是什么图形？

生：上面是弯弯的，所以是圆.

(出示被遮住的三角形；三角形露出一角)

师：猜猜这又是什么图形？

生：我猜是三角形，因为有一个角.(板书：角)

师：思维敏捷，表达也很清楚.三角形的角在哪儿呢？谁来指指看.

(生上台指出角的顶点)

师：老师把你们说的“角”画在了黑板上，这是角吗？

生：不是，这是3个点.

师：谁再来指一指角在哪儿？(生规范地指出两条边和顶点)老师帮你把角描下来，留在黑板上的是角吗？

生：是角，角有两条直直的线.

……

学生凭借生活经验会说物体上“尖尖的”部分是角，其实就是凸起的那一“点”.这只是数学上角的一部分，因此这一“点”是学生正确理解“角”概念的难点.教师不妨“将错就错”，直接让学生在准备好的三角形硬纸上指出心中的“角”.此时学生会“点”出三处凸起的地方，教师将学生指的“角”画在黑板上.拿下三角形后，黑板上留下的只有三个“点”，此时学生的已有经验和表达产生冲突，如何清楚地指出数学上的“角”？教师顺势在三角板上进行示范，学生在原有的知识经验下迅速理解数学上“角”的含义，如醍醐灌顶.

2.借助视觉表象，构建直观与抽象之模型

“对比”也可以在情境体验中进行，当学生置身于真实情境体验时，思维是最活跃的.也是最容易进行表象的提取和运用的.以“认识线段”为例：

师：孩子们，老师这儿只有一根绳子，你们能玩出两种游戏吗？想玩什么？

生：拔河、跳绳.

师：满足你们.(出示活动要求)

游戏攻略：

(1)真人体验：同桌两人选择合适的活动场地(可以离开座位)现场拔河、跳绳，体验结束后立刻回座位.

(2)脑力比拼：把两次活动中绳子的样子分别画下来.

(师展示3幅作品)

师：玩游戏时还能用心观察，老师为你们点赞.这么多线，你们要怎么分类呢？

生：直的一类，弯的一类.

师：从哪儿到哪儿是直的？

(生伸手指)

师：一根绳子怎么会有时弯，有时直呢？

生：用力拉时就是直的，松的时候就弯了.

师：在哪儿用力拉呢？

生：在两头.

师：数学上用一根短短的小竖线来表示，称作端点.

……

数学不应脱离生活，而应时刻在生活的每一处闪光.课前思考时，笔者在观看拔河视频和学生真实情境体验两者间犹豫不决，思及学生作为旁观者观看视频未必能调动学生的积极参与性，不利于经验的完整提取.同时个人的跳绳体验不能代替所有人的感受，因此最终采取全员参与跳绳的体验活动.学生通过跳绳和拔河的活动体验，情绪高涨，每个人都在脑海里建构出了线的直观表象，有直有弯，都能在对比中发现线段的本质属性，建立数学模型.

(二)以拓引思 ——提升高阶思维能力

1.适时拓展，让知识在创意中精彩

教学中的“行”不是为了“秀”而做，而应致力于学生数学思维的进阶，直逼数学本质.创造的目的是什么？创造的目的不仅仅是为了造，而是为了去掉物之后还原本质.仍以“角的初步认识”为例：组内做角时是根据角的特征做角，去掉实物后做出的痕迹依然满足角的特征，所以做成的才是一个角.做成后不符合角的特征，说明不是角.

在“创造角”的活动中：

(1)出示活动要求

①每人选择一种感兴趣的材料创造角.

②把你创造的角画在“橙子”上.

③比一比哪个小组的方法多.

小组材料：两根红色小棒(两头有磁铁)，一根毛线，一张圆形纸片，一根塑料吸管.

(2)展示汇报，对比概括

阶段一：展示汇报

生1：我把圆片对折再对折，可以有一个角，继续对折，还是角.画出来的角是这样的.

生2：我和萱萱合作，把毛线拉直，这样就做出了一个角.顶点在这里，这是角的两条边.

生3：吸管对折就创造出了一个角.这是角的顶点，这是角的两条边.

生4：把两个小棒的一头放在一起就做出了一个角.这是角的顶点，这是角的两条边.

生5：我有补充，我把圆折成三角形，就会出现三个角.

……

阶段二：对比概括

师：瞧，通过对折，圆片由无角变为有角；用力一拉，弯弯的毛线变成了直直的边；通过对折，吸管变出了一个顶点；两根小棒一端重合，就形成了一个角.我们用不同的材料做出了不同的角.仔细观察黑板上大家创造出的角，你们发现了什么相同点？

生：不管是什么物体上的角，画下来都有一个顶点，两条边.

生：所有的角必须都有一个顶点和两条边，否则就不是角.

……

“创造角”活动材料丰富，汇报时学生展示了很多不同形状的角.可是课堂上总感觉缺少了点“数学味”.究其原因，在认识角时，教师更侧重于概念的记忆；寻找角时，缺少特征归纳；创造角时，只有展示、汇报、核对，缺乏对比、发现、质疑和概括，仅停留在“形”而忽略了“意”.由于材料和时间的限制，组内活动时各做各的，互相间不沟通，缺少组内成员概括特点的环节.这时需要教师创设环节让学生的思考留下痕迹：将学生用圆片做成的角，描下来，看一看，是不是一个角？用吸管做的呢？据此学生就会标出顶点、两条边，即角的特征.

2.讨论鉴别，让知识在比较中凸显

数学教学中的活动探究应该提供给学生所有材料，教师需要引导学生在活动中留下学习的痕迹，并适时展开讨论交流，在对比、发现、质疑、概括中使学生的数学思维有“迹”可循.例如，在“角”的大小比较中：

层次一：边长固定

师：看，这是做成的一个角，谁来做一个和它一样大的角？

(生演示两条边重合)

师：谁来做一个比它大的角？

(生演示移动一条边)

师：谁再来做一个比它小的角？有什么秘诀？

生：顶点合在一起，一条边重合起来，另外一条边在原角对应边的里面就行.

师：看来角有大有小.两条边叉开得越大，角就越……，叉开得越小，角就越……

层次二：边长变化

师：(出示一个长边的绿色角)比一比，现在哪个角大呢？在小组里说说自己的想法.

生1：我觉得绿色角大，因为绿色角的边比红色角的边长.

生2：红色角比绿色角大.(生上台移动红色角和绿色角使其一边重合)你看，用刚才的方法，这样一边重合在一起，红色角的另外一条边在绿色角的外面.

生3：(点头)是的，红色角叉开得大，红色角就大.

师：看来，角的大小和什么有关？

生：角的大小和两条边叉开的大小有关.叉开得越大，角就越大；叉开得越小，角就越小.

师：边的长短对角的大小有影响吗？

生：没有影响.

数学概念有的抽象于现实实物，例如“线段”；有的和生活经验产生“冲突”，例如“角”；有的是其他概念的“特例”，例如“周期”.

“简单的周期”一课中，教材中呈现了彩旗、彩灯、盆花；教师教学时提出如下问题：“盆花、彩旗、彩灯的摆放有什么共同点？”学生可能会说：盆花、彩灯和彩旗的排列都有规律；彩旗是按红红、黄黄、红红、黄黄2面为一组依次排列的.对此大部分教师会引导学生观察盆花、彩灯的依次重复规律，引导学生发现两面为一组并不合适，即和盆花、彩灯出现的规律不符.事实上，学生对此心里是有疑惑的.对此，笔者觉得可以通过以下三个层次明晰周期内涵，层次一：发现三排物体的摆放规律，层次二：讨论三排物体的摆放规律.层次三：排列的顺序有什么共同点.教师应以此引导学生明确彩旗按两面一组排列是曾经学过的间隔排列规律，进而帮助学生明确周期和规律的包含关系.

(三)以辨凝思 —— 优化高阶思维品质

1.温故知新，拓宽概念外延

“温故而知新，可以为师矣！”数学知识的学习盘根错节，呈螺旋式上升.新知的学习必须建立在旧知上，但于旧知又有进阶.知识体系的扩容依赖于新旧知识的对比，并在对比中明确新知的方向.

以“认识一个整体的几分之一”为例.

生1：都是双数.

小组交流、汇报.

师：这节课我们一起再来学一学几分之一.

小学阶段分数的认识主要经历了“一个物体的几分之一”“一个整体的几分之一”和“分数的意义”三个过程.教师在教学时应分别关注“一个物体”“一个整体”和单位“1”，从无形的“圈”、有形的“圈”到隐形的“圈”.教学新知要承上启下，关注知识的“前世”与“今生”.倘若教师在教学新知时只是一味地关注于当下而不回顾旧知，放眼知识的走向，那么教学的重心将有失偏颇.

再如，在“7的乘法口诀”教学中，学生已经积累了一定的口诀编制经验，教学时教师不妨放手让学生自主表示“三七二十一”这一句口诀的意思.学生会选择画直观图、方阵图，列连加算式、乘法算式甚至乘加算式.教师对此可要求学生对不同表征进行汇报时不能仅停留在展示核对的层面，还应进行深入对比、质疑、分析、概括，沟通口诀、意义、算式间的联系，体会“一图两式”的简洁，理解连加算式辅助乘法算式计算的作用，为“编口诀”指名研究路径.

2.由此及彼，拓宽知识网络

建构主义理论指出：知识的学习是学生有意识地主动建构.知识建构不是线性的，而是网状的.每个节点之间都有着千丝万缕的联系.有意识地进行知识的延伸和对比，有利于学生拓展数学思维，拓宽知识网络.

在“创造线段”时，学生会想到“画”“折”“撕”等创造方法，这时教师可出示台球桌、台球等实物图片引导学生思考：能不能用台球做一条线段呢？基于生活经验和思维的进阶，学生会想到球沿直线滚动就会形成一条线.

再如，学生所说的“边”和我们数学上所表述的边并不完全吻合，教师此时应及时追问：“你说的边有什么特点？”学生概括出“边”的特点：直直的.教师可借此引导学生将尖尖的地方和直直的地点和边相关联，学生得出点和“尖”有关，边和“直”有关，顶点和边组成了角.学生有了结论性的知识，但并不一定懂得其中的道理，教师需要解释其中的数学本质，以将学生的经验上升到数学意义上的角，将物体上的角升华到数学意义上的角，体现了知识的自然生长.

学生已有经验和思维水平的不同导致在解决问题的过程中会暴露出思维方式的多样性和差异性.有了交流，便会让这种多样和差异成为不同层次学生积累思维经验的重要资源.数学课堂中时时刻刻都能听到学生思维拔节生长的声音.故当下，亟须教师做的是给学生多样的学习材料，让学生经历、体验，借助非本质的模型丰富表征，在交流时多运用对比、概括方式，去“伪”存“真”.唯如此方能直达数学核心，发展学生高阶思维！