和孩子们谈一谈“尺规作图”

朱艳

人类社会发展到21世纪，已进入了数字时代，人们有了基于AI的測距仪、有刻度的尺子、量角器、功能更丰富的圆规等绘图工具，使用计算机作图、制图与绘图等已是一件非常平常的事情。在这样的数字时代下，很多人认为，已有的很多工具就能很方便地实现作图，再退一步，我们可以用量角器、有刻度的直尺、三角板、圆规等作图岂不是更方便、更准确、更实用吗？为什么还要退回去，只限定用尺规作图，这样的做法严重地脱离了实际，是一种倒退。诚然，在目前的时代下，尺规作图已经没有太多的学术价值，在学术领域，它前途渺茫且穷途末路，但是把尺规作图只理解为实际生活中的绘图、画图，我认为是一个比较肤浅的看法。

尺规作图，有它自己的“规矩”，即作图公法与三条规约。作图公法就是使用直尺与圆规的基本功能，在符合欧几里得几何公理的基础上，完成以下图形：

（1） 通过两个已知点，可作一条直线 （图1）;

（2） 两条已知直线相交，可作其交点;

（3） 以已知点为圆心，已知长为半径，可作一个圆;

（4） 已知一直线和一已知圆，可作其交点;

（5） 两个已知圆相交，可作其交点。

在作图公法的基础上，还要有三条规约，才能是真正的尺规作图，规约如下：

（1） 无刻度的直尺与圆规;

（2） 有限次地使用直尺圆规;

（3） 作出的图形必须能用逻辑推理的方法证明它的正确性。

作图公法与规约就是尺规作图的“规矩”，依据这个“规矩”，如果在实践过程中能作出图形，那么这个图形就是存在的，如果不能作出图形，那么这个图形就是不存的，在现实中的评价只存在哪些可以完成或哪些不能完成，这也是尺规作图在现实中的实际意义。但那些不能完成的，也不代表在实现生活中是不存在的，比如，任意角的三等分点，在实际中是存在的，但尺规作图就不能办到。从哲学意义来看，结果仅是条件的产物。

数学史上著名的三大几何学问题：三等分任意角、倍立方问题和化圆为方。这三个问题从古希腊人开始尝试解决，即便是阿基米德，也是在有瑕疵的情况下解决了三等分任意角，直到19世纪，万芝尔才证明了三等分任意角和倍立方问题是尺规作图不能解决的问题，因为所求解问题的结果超出了尺规作图的数量范围，也就是没有有理根;林德曼证明了 e 是超越数的基础上，证明了 π 也是超越数，从而证明了化圆为方也是尺规作图不能解决的问题。从此以后，笼罩在数学家头上的三大几何问题才彻底被解决。

几何作图留下的三大难题，其实隐藏着一个深刻的本质，也就是怎样证明某个问题是不可解的，通过对问题不可解的证明的探索，在数学上具有非常重要而影响深远的价值。假设给出了已知条件，根据条件设法作出图形，这就是作图问题。如果能作出图形，就可以说满足某种条件的图形是存在的，在某种意义上说，是证明了事物的存在性，但反过来说，仅用尺规作不出来的图形，却不意味着该对象一定不存在，比如，任意三角形的三等分线是客观存在的，但作不出来。事情的结果以条件为前提，条件发生变化，结果的存在性也会发生变化。如果改变尺规作图工具的限制，几何三大难题变得轻而易举。

对于在初中阶段将要学习平面几何的学生来说，要想学好这门科学，那么要让孩子们在小学阶段就要适时、适度地引入尺规作图，这将能引导小学生有意识地将生活中物品抽象成线条和圆，能处理线条与圆的一些简单关系，使小学生对几何有直观的感觉。将来到初中学习平面几何时，就会容易得多。

到目前为止，笔者认为尺规作图是一种非常简单易行的数学素质培训手段，是一种成本低、效益高的手段。它的本质并不在画图，而是一种性价比很高，严格的逻辑分析与论证的高效训练，经过这种训练的人，数学素质将伴随他的一生，使之成为一个人一生的修养。

数学训练的核心是什么呢？是一个人面对问题时，能提出解决问题的方案，能将方案模型化、流程化，并能得出这样解决问题行不行，如果不行，是问题的条件不能满足结果，还是流程中出现问题，也就是通常所说的逻辑思维能力训练。通过尺规作图，一个人能够懂得，在某个特定条件下，用正确的逻辑思维推论，将会产生怎样的结果，不能光靠“拍脑袋”决定一件事情的进行与否，然后再“拍大腿”，光靠“拍脑袋”决定一件事情，对工作与生活会产生很多不利的影响。

一、建立几何观念的重要手段;克服学生读死书的好办法。

二、使用尺规作图，通过几何图形学习几何，用命题解决某些具体问题，还能证明命题的正确性。

三、学生动手操作，具有实践意义。

四、学生在解题、作图的过程中，要运用一系列相当复杂的逻辑思维，即猜想、分析、操作、证明、讨论等连续的思维活动。

正确认识尺规作图的教育功能，与正确认识数学训练的功能是一致的，我希望能够普及这样一个思想——数学是讲究逻辑思维的，经常问一问自己，为什么这样做？操作步骤是什么？我得到的结果对不对？怎样验证我的结果？让学生亲身体验数学推理的过程能帮助学生形成数学素养。其过程不仅给学生留下的感受是深刻的，更能帮助学生形成数学素养，从分析、猜想、操作、结论到证明结论的正确性，完成一个只属于操作者个人所独有的智慧。

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