格子玻尔兹曼正则化碰撞模型的理论进展

李旭晖，单肖文，段文洋

(1. 哈尔滨工程大学 船舶工程学院，哈尔滨 150001；2. 南方科技大学 力学与航空航天工程系，深圳 518055)

0 引 言

在过去三十年，格子玻尔兹曼方法逐渐成为计算流体力学领域的一个重要分支，并广泛应用到科学和工程问题当中[1-2]。不同于基于Navier-Stokes-Fourier（NSF）方程离散的各种传统计算流体力学方法，格子玻尔兹曼方法是一种用统计概率粒子分布函数的碰撞和迁移来描述流体系统的介观数值方法。它与NSF 方程的联系可以在小Knudsen 数（Kn）下通过Chapman-Enskog（CE）展开[3]得到。传统计算流体力学方法，如有限差分、有限体积法等，一个难点是处理偏微分方程中的非线性对流项，为了控制数值耗散和数值弥散误差，常采用高阶离散格式。在格子玻尔兹曼方法中，对于通常使用的On-Lattice 格子，统计粒子沿特征线进行迁移，即粒子能在一个时间步迁移到达相邻的直角网格格点上。由于没有任何插值操作，仅为计算机上的拷贝操作，这一拉格朗日属性决定了格子玻尔兹曼方法处理对流的简洁性以及它的低数值耗散和数值弥散特性。格子玻尔兹曼方法无需迭代求解压力泊松方程，时间步显式推进，非线性的碰撞项为空间完全局部操作，代数计算为主，数据访存规则，这些特性与目前在高性能计算领域占越来越重要地位的异构并行架构—图形计算处理器（graphic process unit，GPU）架构和国产神威架构（众核处理器）特点相符，为超大规模高精度流体数值模拟提供了可能性[4-5]。由于格子玻尔兹曼方法的动理学基础、执行简单且高效、天然的并行特性，目前它已被广泛和成功地应用于多相流[6-7]、湍流[8-9]、燃烧[10]、流固耦合[11-12]等领域。

然而，格子玻尔兹曼方法很多棘手的问题来自于非线性的碰撞项，如数值不稳定性、输运系数不满足伽利略不变性和不可调的普朗特数等。过去几十年，格子玻尔兹曼方法领域的理论工作很多都集中于处理复杂的非线性微分积分碰撞项。最简洁的碰撞模型为钱跃竑等[13]基于Bhatnagar、Gross 和Krook等[14]提出的Boltzmann-BGK（作者三人首字母命名）方程发展的Lattice BGK(LBGK)模型，该模型中非平衡态部分的各阶成分均以相同的弛豫时间朝平衡态松弛，该算法因执行简单、易于编程而广受欢迎。但是，原始的LBGK 模型仅能处理等温流动，数值稳定性存在问题，压力场存在很多虚假噪音。随后很多其他的碰撞模型逐渐被提出，用以实现普朗特数的可调、良好的数值稳定性、虚假压力噪音的压制和消除，以及输运系数的伽利略不变性。对于存在大梯度的流场，几乎所有的计算流体力学数值方法都会遇到数值稳定性问题。对于格子玻尔兹曼方法，在高雷诺数和高马赫数流动中，其数值稳定性问题尤为突出。D'Humières 等[15-16]提 出 了 多 松 弛 时 间（multiplerelaxation-time，MRT）碰撞模型。在该方法中，利用正交化手段，通过离散速度集构建了一组正交的基向量，数量与离散速度个数相等。通过这组正交的基向量，粒子分布函数可以计算出不同阶的矩，对不同的矩分配不同的松弛时间，朝对应矩的平衡态松弛。该模型虽然没能通过多松弛因子实现普朗特数的可调，但获得了数值稳定性的大幅提高。另一个能显著提高数值稳定性并改善剪切黏性伽利略不变性的碰撞模型为Geier 等[17-18]提出的级联多松弛碰撞模型（Cascaded MRT）。所谓的级联多松弛模型即为高阶矩（大于等于三阶）由低阶矩和宏观速度构建，且每阶矩独立松弛。Lycett-Brown等[19-21]则从一维出发，先通过分布函数与零到二阶矩的关系将分布函数由这些矩显式写出，并用张量积的形式构造了二维和三维级联多松弛碰撞模型。他们的推导相比Geier 等的推导更加直观易懂。所谓的级联多松弛模型，本质就是在中心矩空间里面对分布函数的中心矩进行松弛，然后通过中心矩和原点矩的数学关系将中心矩松弛转换到原点矩形式，高阶矩松弛由低阶矩和当地宏观速度表示，即所谓的级联。其他开展级联多松弛模型工作的还有Dubois等[22-23]、Fei 和Luo 等[24-25]，以及De Rosis 等[26]。然而，由于其采用的离散速度的限制，输运系数的伽利略不变性在级联多松弛模型中并没有完全解决。2015 年，Geier 等[27]受Seeger 等[28]的计算气体动理论累计量方法（Cumulant Method）的启发，提出了累计量格子玻尔兹曼方法（Cumulant LBM），并在后续工作中[29-30]进行了参数优化讨论。累计量多松弛模型中，以所谓的累计量为独立松弛对象，二阶和三阶矩与前述的级联碰撞模型一样，只有在四阶及以上的矩才产生偏差。Seeger等[28]在最早的工作中曾指出他的计算气体动理论累积量方法与Grad[31]等的矩方法在一维空间至少到五阶矩是吻合的，从第六阶矩开始存在偏差。累计量碰撞模型确实取得了良好的数值稳定性，并被应用到湍流边界层模拟[32]、气动声学模拟[33]，以及自由面两相流模拟[34]。Karlin 等[35-38]提出的熵格子玻尔兹曼模型是另外一个具有良好数值稳定性的碰撞模型。在该模型中，H定理要求在离散分子速度空间得到满足，平衡态分布函数通过迭代求解极值问题得到，高阶格子也通过一维格子的张量积形式得到；松弛因子不再是固定值，而是随流场空间动态变化，类似于大涡模拟模型。熵格子玻尔兹曼模型虽然能显著提高数值稳定性，然而由于其极值问题的迭代求解需要在每个网格点每个时间步执行，其计算效率并无优势。

正则化松弛模型是另外一种具有良好数值稳定性的碰撞模型。最早的正则化碰撞模型由Ladd[39]于1994 年提出，并成功应用到粒子沉降流动中[40-41]。Ladd 认为对于弱可压缩Navier-Stokes（N-S）方程的求解，格子玻尔兹曼碰撞项中只需保留二阶应力张量的松弛（包括剪切应力的松弛和体积应力的松弛），而其他高阶非水动力学动理学模态的松弛频率直接置为1，这样使得不影响N-S 方程的非水动力学高阶模态快速松弛。Ladd 模型中二阶应力张量中的有迹部分实际为速度空间积分精度误差带来的数值误差项，该项的松弛会调节数值稳定性。实际的二阶应力张量中有迹部分通常只在稠密气体和考虑分子内部自由度激发的时候才会出现，体积黏性松弛频率应置为零，对此Ladd 在论文[41]中做了严格的论述。2005 年，Latt 等[42]也提出了一个正则化碰撞模型（类似于Ladd 的碰撞模型），并发现正则化执行能大幅提高数值模拟的稳定性和精度；但是他们并没有讨论二阶应力张量中无迹部分和有迹部分的分别松弛，可以视为Ladd 模型的一个特殊版本。几乎同时，Chen 等[43]也讨论了与Latt 等相同的正则化模型在提高高Kn数流动中数值格式的旋转不变性的前景。Zhang 等[44]利用Shan 等[45]基于Hermite 多项式展开Boltzmann-BGK 方程的理论体系，将正则化模型延伸到三阶，并在该模型中引入了力项的处理，计算了高Kn数流动。他们认为非平衡态分布函数应该类似于平衡态分布函数，在Hermite 截断阶数空间中进行重构；然而该模型所使用的是Hermite 原点矩空间，并且在力项的处理中并没有考虑一阶项。2014 年，Chen 等[46]将Shan 和Chen 在2007 年提出的Hermite 展开多松弛模型[47]做了一些改进，将原来的原点矩多松弛改为中心矩多松弛。他们发现二阶矩松弛保持不变，而三阶中心矩松弛转换到原点矩空间后多出了一个修正项，该修正项与局部速度和低阶矩松弛相关，三阶中心矩松弛完全克服了之前模型热传导系数在普朗特数不为1 时不满足伽利略不变性的缺陷。2015 年，Malaspinas[48]基于Hermite 展开提出了一个递归正则化碰撞模型，证明了非平衡态Hermite 系数在等温层级上存在递归关系。该模型中非平衡态Hermite 系数的递归关系主要由以下三个关系推导而来：1）平衡态Hermite 系数的递归关系，该关系用数学归纳法很容易得到；2）零阶Chapman-Enskog 展开得到的欧拉方程；3）一阶Chapman-Enskog 展开得到的非平衡态Hermite 系数与平衡态Hermite 系数的时空导数关系式。该递归正则化碰撞模型被作者证明比原始MRT[15-16]有更好的数值耗散和色散性质。2017 年，Coreixas 等[49]将Malaspinas 的模型推广到可压缩传热层级上去。Mattila 等[50]利用中心矩空间Hermite基对非平衡态进行了展开，并在中心矩空间对展开进行了截断，如：对可压缩传热层级的非平衡态展开，将四阶及以上的展开进行截断，相当于将四阶及以上的非平衡态Hermite 中心矩设定松弛频率为1；而对等温层级的非平衡态展开，则将三阶及以上的展开进行截断，转换到原点矩空间后发现各阶非平衡态Hermite 原点矩刚好与Manaspinas[48]的递归正则化模型中的非平衡态Hermite 矩相同。然而，以上三个正则化模型只对非平衡态Hermite 矩进行了讨论，而且只是对各阶非平衡态Hermite 原点矩进行独立松弛，并没有在中心矩空间进行松弛，热传导系数的伽利略不变不被保证。2018 年，Jacob 等[51]又在Malaspinas的递归正则化模型的基础上提出了一个混合递归正则化模型，对二阶应力张量的重构做了调整；原来正则化模型中该项由非平衡态分布函数的二阶矩得到，在Jacob 等的混合正则化模型中，二阶应力张量也可以用速度场的中心差分得到；他们还对两种方法得到的二阶应力张量进行加权，通过调节权值控制额外引入的数值耗散的大小。后续该混合正则化模型被Feng 等[52-54]用到了他们的求解器中。在他们的方法中，质量和动量方程由格子玻尔兹曼方法在D3Q19和D3Q27 格子上进行求解，能量方程则通过有限体积方法进行求解，并通过修改平衡态分布函数和添加源项的方式尽可能地消除标准格子存在的速度离散误差，实现了跨声速和超声速模拟。2019 年，Shan[55]在中心矩空间对非平衡态和碰撞项分别进行了展开，并在中心矩空间对每阶矩进行独立松弛，然后通过中心矩空间和原点矩空间Hermite 基之间的关系将碰撞项转换回原点矩空间，得到了递归形式的碰撞项。该碰撞模型继承了2007 年Shan 等[47]提出的原点矩空间Hermite 矩多松弛模型的优点，克服了Chen 等[46]提到的热传导系数的伽利略不变性问题，并可以推广到任意高阶松弛。随后，Li 等[56]在温度标度的中心矩空间中，对非平衡态和碰撞项进行了展开，并在该空间中对各阶矩进行松弛，利用温度标度中心矩空间和原点矩空间Hermite 基之间的关系将碰撞项转换回原点矩空间，也得到了递归形式的碰撞项；与原点矩空间松弛的碰撞项[47]相比，三阶及以上的碰撞项包含速度、温度及低阶矩松弛构成的修正项。

关于正则化碰撞模型的边界条件处理，历史上也有一些学者取得了部分进展。2007 年，Niu 等[57]模拟了微尺度稀薄气体流动，讨论了散射边界条件、松弛时间和正则化碰撞模型。2008 年，Latt 等[58]基于正则化重构非平衡态的思路发展了适用于平直边界的正则化边界条件。2011 年，Malaspinas 等[59]提出了一个通用的处理平直边界的正则化边界条件，通过建立边界点已知分布函数与宏观量的超定方程组，解出宏观矩，再重构出边界点的非平衡态分布函数。该边界处理方法可适用于标准格子（D2Q9、D3Q19 等），也适用于高阶格子（D2V37、D3V103 等），但是否适用于任意曲线曲面边界需进一步研究。2017 年，Wissocq 等[60]发展了适用于声学模拟的正则化特征边界条件。2019 年，Guo 等[61]在混合正则化模型中讨论了可压缩流动的任意曲面边界条件和域边界特征边界条件。

在将正则化碰撞模型应用到多相流方面，也有一些进展。Otomo 等将正则化碰撞模型分别应用到多组分伪势模型[62]和相场多相流模型[63]。Ba 等[64]将正则化碰撞模型应用到颜色梯度模型。另外，将正则化碰撞模型用于噪声模拟也有很多代表性工作，如Zhuo 等[65]、Chen 等[66]、Casalino 等[67-68]、Gendre 等[69]、Astoul 等[70]。本文对正则化碰撞模型在各个领域的应用不再做详细展开。

本文将重点阐述、回顾正则化碰撞模型，通过一个系统的理论分析框架阐述作者与合作者提出的高阶正则化碰撞模型，并对以往的正则化碰撞模型的理论关系进行梳理，同时对正则化多松弛模型的本质进行归纳分析。后文将按以下顺序进行论述：第1 节阐述Hermite 展开的基础理论框架，为后文中的碰撞算子正则化提供分析的准则；第2 节则利用第1 节建立的理论体系，对正则化碰撞模型发展历史上有重要贡献的经典模型逐个进行分析、梳理和比较；最后对全文进行归纳总结，得出全文理论分析的结论。

1 理论基础

该部分我们从Boltzmann 方程出发，在Hermite谱空间对分布函数进行展开，分别在原点矩空间、中心矩空间和温度标度的中心矩空间对Maxwell-Boltzmann 平衡态、非平衡态、碰撞项和力项进行展开，为后面的正则化理论模型回顾做准备。

我们先从Boltzmann 方程进行阐述。Boltzmann方程为基于分子二体碰撞、分子混沌假设和外力不影响局部碰撞的动力学行为等三个假设，推导的稀薄气体系统的控制方程。它描述了统计粒子分布函数在速度空间和物理空间的演化，其右端的非线性碰撞项极为复杂，直接求解困难重重。Boltzmann-BGK 方程[14]作为Boltzmann 方程碰撞项的一个极度简化版本，认为所有动理学矩都以相同的速度朝平衡态弛豫，其控制方程如下：

1.1 粒子分布函数的Hermite 展开

1.2 Hermite 展开的截断和速度空间离散

在实际的数值执行中，粒子分布函数不可能展开到无穷阶，必须进行截断。截断的阶数直接影响水动力学宏观方程的适用范围及其精度，这意味着实际上需要将分布函数投影到有限阶Hermite 基上去。对于截断阶数如何影响恢复的水动力学方程层级以及其

受益于Hermite 多项式的正交属性，粒子分布函数的前若干阶矩是可以由截断形式的Hermite 展开得到的粒子分布函数获得。因此，粒子分布函数可以投影到由前N阶Hermite 多项式构成的Hilbert 空间，并保证其前N阶矩与完整粒子分布函数的前N阶矩严格相等。粒子分布函数的前N阶Hermite 展开截断为：

1.3 不同Hermite 基之间的数学联系

为了便于后文对不同空间中Hermite 系数进行评估，对于不同Hermite 基之间的转换关系做一个简单介绍，详细的推导过程可以参考Shan[55,72]、Li 等[56]、Shan 等[72]的论文附录部分，他们给出了详细的数学推导，这里只给出前四阶的数学转换关系。由于在实际的数值执行中，中心矩空间的离散速度和权值会随当地的宏观速度而变化；而温度标度中心矩空间的离散速度和权值则会随当地的宏观速度和温度发生变化。这会破坏格子玻尔兹曼方法完美的迁移操作，而引入额外的数值耗散和色散，让格子玻尔兹曼方法的优点丧失。因此，我们的思路是在中心矩空间和温度标度中心矩空间完成碰撞，然后通过它们与原点矩空间的数学关系转换到原点矩空间，最终在原点矩空间实现粒子迁移操作。

首先写出原点矩Hermite 基的零到四阶表达式，如下（具体可参考文献[55]）：

1.4 不同Hermite 基级数展开及其系数评估

实际上，历史上发展的不同的正则化模型的差异主要在以下几个地方：一个是使用的Hermite 基不同，即在不同的空间（原点矩空间、中心矩空间和温度标度中心矩空间）中展开；另一个是分布函数Hermite 展开截断的阶数的差异，尤其是非平衡态Hermite 展开的截断；还有一个是碰撞项展开的空间和碰撞项中弛豫的张量矩分量。因此，为了对这些正则化碰撞模型进行系统地回顾，我们将平衡态、非平衡态、碰撞项和力项都用三种不同的Hermite 基进行展开，然后对它们进行系统地分析。

1.4.1 平衡态分布函数的Hermite 展开

使用权函数定义表达式（5），Maxwell-Boltzmann平衡态分布函数可写为下式：

利用中心矩Hermite 基和原点矩Hermite 基的数学转换关系式（22），上式中各阶平衡态中心矩Hermite 系数可相应得到，这里显式地写出零到四阶：

其中二阶和三阶非平衡态系数可通过Chapman-Enskog 展开[73]得到：

利用温度标度中心矩Hermite 基与原点矩Hermite 基的数学关系，我们可以计算上式，显式地写出零到四阶：

上面的推导中用到了Maxwell-Boltzmann 平衡态分布函数，且推导式（63）中用到了等温假设。式（62）如果在速度空间进行离散且考虑离散格子效应，即为Guo 等[76]2002 年推导的力项格式（具体离散在后文中阐述）；式（63）即为He 等[75]1998 年设计的力项格式；式（64）与式（63）等价。

其中多弛豫时间被应用，不是原始的Boltzmann-BGK 方程中的单松弛因子，而是在每阶矩应用了不同的松弛因子，可视为其拓展模型。在我们的工作中，上式的约束条件被拓展到非平衡态分布函数的Hermite 矩松弛，这必须与原始的碰撞项的松弛在讨论的阶数上分别等价，即：

将上式代入式（67），并将碰撞项和非平衡态分布函数的Hermite 展开式也代入，并利用Hermite 多项式的正交特性，可得到下面关系式：

点评：从式（75）可以看出，不管是Hermite 原点矩、中心矩还是温度标度中心矩，每阶都可以独立松弛。然而从本文1.4.2 节对非平衡态Hermite 系数在不同空间之间的数学关系的分析，我们可以发现，二阶矩在不同空间中是等价的，只要离散速度足够多，能保证二阶矩的积分精度，分子速度空间离散形式的非平衡态分布函数的二阶矩就会等价于连续形式非平衡态分布函数的二阶矩。Shan 等[45,71]已证明对于二维至少需要17 个离散速度，三维至少需要39 个离散速度。只要离散速度充分，同时平衡态展开到三阶及以上，不论在哪个空间进行松弛，黏性输运系数的伽利略不变性都能得到严格满足[55]。使用D2Q9 或者D3Q27 离散格子级联碰撞模型[17]或者累积量碰撞模型[27]都不能保证严格满足黏性输运系数的伽利略不变性。在不同的平移坐标系中，宏观速度是不一样的，且是有量纲的，在温度标度中心矩空间进行碰撞，各阶矩是与宏观速度无关且被局部声速无量纲化的量。从式（82）～式（84）即可看出，在温度标度中心矩空间进行松弛，松弛的量是真正的非平衡态量，在原点矩松弛对象中将守恒量（动量、内能）剔除，从而保证了每阶矩松弛的真正独立。结合式（76）、式（82）～式（84）我们可以发现，原点矩空间对每阶非平衡态Hermite 矩进行松弛，实质上在三阶及以上矩松弛中与低阶矩发生了相互干扰，即所谓的串扰效应。这也说明原点矩空间中的各阶矩松弛并不真正的独立。因此，在碰撞算子中，松弛对象必须满足坐标的平移不变性。Li 等[77]最近的工作讨论了松弛对象必须满足坐标的旋转不变性。本综述中暂不作展开。

2 碰撞算子的正则化

2.1 格子玻尔兹曼方程的时空离散

包含力项的速度相空间离散形式的格子玻尔兹曼方程为：

将新定义变量代入式（86），可得到如下显式方程，右端项均为当前时间步的量：

特别注意地，当不包含力项时，碰撞方程从二阶开始，因为质量和动量守恒。但是对于新定义的分布函数，如果包含力项，则一阶非平衡态矩不为零，这在多相流[62-63]和浸没边界法[11]包含力项时需要注意。先对新定义的粒子分布函数所求得的宏观量与实际物理量之间的关系做一个讨论。

对于原点矩空间碰撞，平衡态部分、非平衡态部分以及力项均可以直接利用Hermite 展开的截断阶形式重构粒子分布函数。而对于中心矩和温度标度中心矩空间的碰撞形式，由于离散速度依赖于当地速度和温度，我们选择将其转换到原点矩空间，再进行粒子分布函数重构。根据矩空间碰撞执行的空间不同以及截断阶的阶数，我们可以对已存在的正则化模型进行系统地分析和讨论。为方便起见，后文中非平衡态矩上面的一拔标记全部省略。

2.2 正则化碰撞模型分析与讨论

2.2.1 Ladd 正则化模型和Latt 正则化模型

Ladd 等在文献[39]（1994 年）和文献[41]（2001 年）中提出了正则化碰撞模型的最早形式。在他们的碰撞模型中，平衡态分布函数展开到二阶，非平衡态分布函数也仅保留到二阶。碰撞后的分布函数写为下面形式：

Latt 等[42]在2005 年也提出了正则化模型，他们的模型并未分离二阶应力张量的无迹部分和有迹部分的独立松弛，仅为

Latt 的模型在Ladd 模型之后很久才提出，而且可视为Ladd 模型的一个特例，即剪切和体积粘性松弛因子相等，本质上不能算一个新的模型。Ladd 模型为原点矩空间的正则化碰撞模型，高于三阶的超出等温Navier-Stokes 方程的非平衡态矩可视为松弛因子都设置为1，对碰撞后的粒子分布函数不产生贡献。

2.2.2 Zhang-Shan-Chen 正则化模型

2006 年，Zhang、Shan 和Chen[43]基 于Hermite 展开提出了高阶正则化模型，并用来模拟高Kn数非连续流动。他们认为平衡态分布函数投影到有限阶Hermite 基构成的Hilbert 空间，非平衡态部分也应该投影到该Hilbert 空间上，并引入力项。根据本文2.1 节的讨论，在考虑外力项后，非平衡态Hermite 系数的一阶项并不为零，因此正则化的碰撞后粒子分布函数应该写为：

2.2.3 Mattila-Philippi-Hegele 正则化模型

Mattila 等[49]提出了一个基于中心矩空间展开的高阶格子正则化模型来处理可压缩传热流动，我们利用本文1.4.4 节的有关碰撞项和1.4.2 节的非平衡态系数在中心矩空间和原点矩空间分别展开的数学关系，分析该正则化模型。该模型中不包含力项，因此我们也省略力项。为分析方便，我们把非平衡态Hermite系数和碰撞项合并到一起，如式（95）所示，在式（77）中引入新的碰撞形式，包含非平衡的中心矩Hermite 系数，具体如下：

其中四阶及以上非平衡态松弛因子设为1，处理可压缩传热流动。即认为超出二阶应力张量和三阶热流矢量的高阶动理学中心矩快速松弛，碰撞后的粒子分布函数直接为平衡态。利用Hermite 中心矩和原点矩之间的关系可整理上式为：

展开基跟平衡态展开基对应，二阶非平衡态Hermite 系数通过非平衡态粒子分布函数的二阶矩求得，三阶和四阶非平衡态Hermite 系数则递归求得。

相应地，三维（D3Q27）的平衡态展开零到二阶跟二维一样，但高阶一直展开到六阶，一共27 个Hermite 基，见式（129）：

最后的正则化碰撞和迁移格式为：

2.2.5 Li-Shi-Shan 正则化模型

Li 等[56]在2019 年提出了一个基于温度标度中心矩空间展开的高阶格子正则化模型来处理可压缩传热流动。我们利用本文1.4.4 节的有关碰撞项和1.4.2 节的非平衡态系数在温度标度中心矩空间和原点矩空间分别展开的数学关系来分析该正则化模型。为了跟本文2.2.3 节分析保持一致，我们把温度标度中心矩空间的非平衡态Hermite 系数及其松弛进行合并，在式（81）的基础上定义新的碰撞形式：

因此，Li 等提出的基于温度标度中心矩空间中Hermite 展开的碰撞形式可视为将该空间中四阶及以上的非平衡态Hermite 矩的松弛因子置为1，该空间中的高阶矩快速松弛到平衡态。比较Zhang-Shan-Chen 在原点矩空间的正则化碰撞模型、Mattila-Philippi-Hegele 在中心矩空间的正则化碰撞模型，以及作者等的Li-Shi-Shan 在温度标度中心矩空间的正则化碰撞模型，三者的相同点是将四阶及以上的相应非平衡态高阶矩的松弛因子置为1，让这些高阶非平衡态动力学矩快速松弛到平衡态，而本质差异是进行碰撞的空间不同。这些模型的联系和差异，在本文的分析框架下变得十分明朗。另外，在温度标度中心矩空间的正则化模型，在包含力项后的形式，我们将在另外的论文中发表。

2.2.6 Coreixas 等正则化模型

2017 年，Coreixas 等[50]将Malaspinas 提出的等温层级的递归正则化模型推广到了可压缩传热层级上，发展了一个高阶格子递归正则化模型。该正则化模型包含平衡态Hermite 系数的递归关系式：

上述递归关系式十分复杂，其数学推导过程也极其复杂。我们对四阶非平衡态Hermite 系数进行整理如下：

与Li-Shi-Shan 正则化碰撞模型式（132）～式（134）相比，Coreixas 等的高阶递归正则化模型即使使用了多松弛模型，也不能保证热传导系数的伽利略不变性；而Li-Shi-Shan 正则化碰撞模型不仅可以得到非平衡态Hermite 系数的递归形式，还能得到碰撞项的递归形式。这充分体现了对温度标度中心矩空间进行展开和正则化在数学和物理基本原理上的优势。

3 结 论

本文对格子玻尔兹曼领域的正则化碰撞模型进行了系统的严谨的理论回顾，通过采用不同自变量的Hermite 基对平衡态、非平衡态、力项和碰撞项进行展开，将所有的理论模型在该理论体系下的定位以及它们之间的联系进行了分析。分析发现：

1） 每一种正则化碰撞模型都可以在Hermite 展开的理论框架下得到。

2） Malaspinas 和Coreixas 的递归正则化模型，非平衡态可以无限递归得到，对于超出所研究的动理学矩（二阶应力张量矩和三阶热流矢量矩），其弛豫时间不一定为1。前者由与剪切粘性相关的弛豫时间统一松弛，后者则对每一阶非平衡态原点矩进行独立松弛。高阶矩的松弛因子如何影响模型的数值稳定性和精度有待进一步探究。

3） 除2）中提到的递归正则化模型，其他的正则化模型等价于在原点矩空间、中心矩空间和温度标度中心矩空间，将高于所关注的非平衡态动理学矩的弛豫时间置为1。

4） 可模拟可压缩传热NSF 方程的正则化模型中，只有Chen 等[46]的模型、 Shan 的模型[55]、Li-Shi-Shan 模型[56]是在中心矩或温度标度中心矩空间进行松弛，满足热传导系数的伽利略不变性。

正则化多松弛碰撞模型的理论本质就是将离散速度表达不了的高阶动理学矩进行截断，或者等价于将高阶动理学矩的松弛因子置为1，以避免虚假模态对水动力学方程的负面影响；而高阶动理学矩的松弛因子不为1 时，对数值稳定性的正面影响目前尚不明朗。展望未来，正则化模型相较于其他碰撞模型的优势还有待严格地理论证明，尤其是在湍流模拟、声学模拟、多相流以及稀薄气体流动等领域，还有很大的发展空间。