浅议辅助线在初中平面几何解题中的应用

摘要：解答初中数学平面几何问题时添加辅助线，才能更好地揭示线段、图形之间的内在联系.为使学生掌握添加辅助线的技巧，应注重为学生讲解辅助线在解答平面几何问题中的具体应用，使其积累相关的添加技巧，提高平面几何解题能力.

关键词：辅助线;平面几何;解题应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）17-0020-03

收稿日期：2022-03-15

作者简介：李士伟（1975.6-），男，山东省济南人，本科，中级教师，从事初中数学教学研究.

添加辅助线对学生的能力要求较高，为更好的提高学生的解题自信，既要注重为学生讲解添加辅助线的相关理论知识，又要优选经典例题为学生展示辅助线的应用过程，启发学生高效解题，以免其在以后的解题中走弯路.

1 结合对称点添加辅助线

已知如图1，△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，D为BC上一动点，连接AD，若AC=1，S△ABC=32，则AD+12BD的最小值为（）.

A.32B.3C.2D.332

根据题干描述，因为∠C=90°，AC=1，S△ABC=12AC×BC=32，所以BC=3.作DE⊥AB，垂足为点E，如图1所示，因为∠B=30°，所以DE=12BD，問题转化为求AD+DE的最小值.作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′E′⊥AB，垂足为E′，与BC的交点为D′，则A′E′的长就是要求的值.容易得到∠A′=∠A=30°，所以D′C=ACtan30°=33，BD′=BC-D′C=3-33=233.易知AD′=BD′=A′D′=233，D′E′=12BD′=33，所以A′E′=A′D′+D′E′=233+33=3，选择B项.

再如图2，在△ABC中，AB=2，BC=3，D是三角形内的一点，CD=2，∠ADC+∠B=180°，求解当∠B为何值时，△ABC和△ADC的面积差最大，最大值是多少？

解析将△ADC沿着AC进行翻折得到△AD′此时两个三角形全等，∠AD′C+∠B=∠ADC+∠B=180°，因此，四边形ABCD′内接于圆，所以AB=CD=CD′=2，得出四边形ABCD′是等腰梯形，所以A′D′∥BC.

作AE、D′F垂直于BC，垂足分别是E、F，所以A′D′=EF，BE=CF，所S=S△ABC-S△ADC=S△ABC-S△AD′C=2cosB2sinB≤2，所以当B=π4时，S取最大值2.

点评解答平面几何线段长度最小值问题时可借鉴“将军饮马”模型的思想方法，通过找到对称点添加辅助线确定最小值点的具体位置，问题也就迎刃而解.

2 结合图形性质添加辅助线

如图3，等腰△ABC的内切圆O分别和三边切于点D、E、F，若AB=AC=5，BC=6，则DE的长为（）.

A.31010B.3105C.355D.655

根据题意，连接OA、OB、OE，其中OB和DE交于点H.由△ABC为等腰三角形，可知，OA平分∠A，AO⊥BC，而OE⊥BC，因此，点A、O、E在同一直线上.由BC=6，可得BE=EC=3.在直角△ABE中，因为AB=AC=6，由勾股定理得到AE=4.又因为BE=BD=3，所以AD=5-3=2.设圆的半径为r，在直角三角形ADO中，由勾股定理得到：r2+4=（4-r）2，解得r=32.在直角△BOE中，BO2=BE2+OE2，解得BO=32+（32）2=352，则HE=BE·OE/BO=355，所以DE=2HE=655，选择D项.

再比如，如图4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD垂直，且相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠DBC=30°.求证：AC=MN.

解析根据已知条件可以得出MN=12（AD+BC），欲证明AC=MN，只需要证明AC=12（AD+BC）.因此，可以将上底AD移到到下底所在直线，和BC相加，即过点D作DE∥AC，和BC延长线相交于点E，则可以得出∠BDE=∠BOC=90°.通过这样的方式将问题转化成求解锐角是30°的直角三角形的问题.

点评运用辅助线分析平面几何问题时应结合问题题设的情境，认真分析相关图形的性质，如矩形、平四边形、菱形、圆形等，结合图形性质添加辅助线.通过添加辅助线运用图形性质进行求解.

3 结合线段关系添加辅助线

如图5，已知AP∥BC，点E是DC的中点，且AD+BC=AB，求证：AE⊥BE.

根据题意，分别延长AE，BC交于点E.因为AP∥BC，所以∠1=∠M.又因为E是DC的中点，所以DE=EC，而∠5=∠6，所以△ADE≌△MCE，则AD=MC，AE=EM，又因为AD+BC=AB，所以MC+BC=AB，而MC+BC=BM，所以AB=BM，所以△AEB≌△MEB，所以∠AEB=∠MEB，又因为∠AEB+∠MEB=180°，所以∠AEB=90°，即，AE⊥BE，得证.

再比如，如图6所示，四边形ABCD是任意四边形，E、F、G、H是AB、BC、CD、DA的中点，M、N是对角线BD、AC的中点，求证：EG、HF通过MN的中点.

解析欲证明三条线段在图中的关系，需要找出其存在的内在关联，题目已知条件中的中点比较多，可以任意选择一个顶点，如A作为位似中心，根据位似比将BC缩小，连接EN，得到EN等于和平行BC的一半，采用相同的方式组成更易于解答问题的平行四边形，从而完成题目的解答.

点评当习题的已知条件中涉及到线段的长度关系时，添加辅助线时应注重等量代换，而后运用三角形全等、相似等相关知识进行破题.

4 结合角度关系添加辅助线

如图7，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BC垂直，∠BAC=30°，BC=23，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG=30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP=60°，连接EP交AC于点F，在点E运动的过程中，当∠BPE=60°时，求AF的长.

连接PC和AB交于点T，作PN⊥AB于点N，作CM⊥PC和PE的延长线交于点M.根据已知条件可知AB=2BC=23，AC=3BC=6，∠ABC=60°.又因为∠EPB=∠EBP=60°，则△EPB为等边三角形，所以∠PEB=60°.又因为∠BCE=180°-∠ABC=120°，即，∠EPB+∠BCE=180°，所以P、B、C、E四点共圆，∠PCB=∠PEB=60°，∠MPC=∠EBC.易得出△TCB为等边三角形，所以∠BCT=60°，∠ACT=30°，BT=BC=AT=23.因为∠BAG=∠BAC=30°，所以∠APC=90°，所以PA=AT·cos30°=3，AN=PA·cos30°=332，PN=12PA=32，PC=3PA=33，则BN=AB-AN=532，容易推出△PCM∽△BNP，则CM/PN=PC/BN，则CM=95，因为PA⊥PC，CM⊥PC，所以CM∥PA，所以AF/FC=PA/CM=5/3，则AF=58AC=154.

综上，为更好的提高学生应用辅助线解答初中数学平面几何的能力，教师在讲解例题的过程中既要注重与学生积极互动，驱使学生主动的思考、讨论，又要结合具体例题进行辅助线应用的方法点拨，使学生积累更多的添加辅助线的经验.另外，还应鼓励学生做好听课以及平时训练的总结，掌握不同题型添加辅助线的技巧.

参考文献：

[1] 邢艳.对初中数学圆辅助线作法的规律性探究[J].中国教师，2020（S1）：137.

[2] 张金旺.初中生数学学习中添加辅助线的能力培养策略[J].学周刊，2020（25）：99-100.

[3] 李威.初中生数学学习中添加辅助线的能力培养策略[J].数学学习与研究，2019（15）：53.

[责任编辑：李璟]