2020年日本著名大学入学考试数学试题研究①

彭 刚 胡晓娟

(广西师范大学数学与统计学院 541004)

自1877年日本东京数学会和东京大学理学部成立，日本数学研究进入新时期．1920年，高木贞治解决“克罗内克青春之梦”问题后，日本现代数学开始走上世界舞台．时至今日，日本数学家共获得三次菲尔兹奖，三次沃尔夫奖[2]．2014年日本著名数学家森重文当选国际数学联盟主席，2018年柏原正树获得数学界终身成就奖“陈省身奖”[3]．日本是少有的数学研究在世界上有较大影响力的亚洲国家．

从日本顶级数学家的学习背景可以发现，他们均有东京大学和京都大学等日本一流国立大学学习或任教经历．日本的大学作为日本数学研究的核心机构，每年通过入学考试为其选拔大批优秀后备人才，不断增强本国数学研究力量．日本国公立大学入学考试作为选拔高水平人才的得力方式，其试题的设置方式与内容均值得我们借鉴．

近二十年来，一些中国教育者致力于日本高考数学试题和大学入学考试试题的研究，比如对日本的高考试题进行编译[4-7]，或者对日本的大学入学试题进行专题研究[8][9]，还有学者对2019年东京大学和京都大学入学考试试题进行解析评价，总结出了两校试题的特点[10][11]．但总体而言，关于日本的大学入学考试数学试题的系统研究还比较缺乏．本文通过对2020年日本八所QS世界排名前150名的著名国立大学(1)2020年QS排名前150名的日本高校有以下八所：东京大学，京都大学，东京工业大学，大阪大学，东北大学，名古屋大学，九州大学，北海道大学．理科数学入学试题的分析，窥探日本著名高校数学入学试题的特点，希望对当前我国“强基计划”中数学试题的命制以及中国的数学高考改革提供参考．

1 日本国公立大学入学制度

日本的大学分为国公立与私立两类．国公立大学是由政府出资建设，多为研究性大学，如东京大学、京都大学等世界一流高等学府；私立大学则由民间资本所维持经营，多侧重社会实践，如庆应义塾大学、早稻田大学等．日本的大学入学途径大致分为一般选拔和特别选拔，国公立大学多采用一般选拔方式，特殊选拔如AO考试、推荐入学方式常见于私立大学[12]．国公立大学的一般选拔是由两场考试构成——学生首先需通过1月份全国统一的大学入学中心考试，取得合格后方有资格参加2月或者3月国公立大学自主组织的入学考试[13-15]，两场考试的成绩按一定比例计入总成绩．由于全国国公立大学的入学考试均在同一天，学生需根据自己的实际情况选择一所国公立大学参加考试．但日本高考不会“一考定终身”，国公立大学的校内考试一般分为前期和后期，有的学校还有中期考试[16]，并且日本私立大学的考试时间、内容形式十分自由，考生即使第一次发挥失常，仍有机会被名校录取．

2 日本八所著名大学理科数学入学试题解析

日本各大学在入学考试中掌握高度的自主权，不同学校之间的考试时长、题目数量、整体难度与内容都由高校依据本校或各院系的实际情况自由设置．数学在各大学的入学考试中，分为文科卷和理科卷，本文选取上述八所著名国立大学的理科数学题目作为分析对象．

这八所学校2020年入学考试试题总数共计42道，均为解答题，其中每所大学考查4-6题数量不等，考试时长则为2-3小时，详情见图1．

图1 各校题目数及考试时长

在试题分数设置上，由于只有部分大学公布了试题的具体分数，下面只对这些学校的试题的分数情况进行介绍．一方面，这些大学的总分并不相同，如东京大学试题总分共计120分，而京都大学、九州大学和东京工业大学的试题总分分别为200分、250分和300分．另一方面，有的大学的不同院系对同一份数学试题总分的设置也并不一致；以大阪大学为例，理工科的数学试题总分为250分，医学部医学科的数学试题总分为500分，而保健学科和齿学部数学试题总分则为200分．总体而言，这八所大学的试题总分相差较大，同一所大学的不同院系的分数也存在较大差异．

依据日本最大的教育辅导社河合塾提供的数据[17]，笔者对上述八所学校的理科数学试题的难度和考查内容进行了统计(详情见表1)．

表1 2020年日本八所著名大学入学试题的考查内容及难度情况

在试题难度上，东京大学、京都大学和北海道大学较2019年整体有所上升，名古屋大学和九州大学与2019年持平，而大阪大学、东北大学和东京工业大学相比去年则有所下降．此外，这42道题中难度层次为较易、标准、较难的题目数量分别为8、20、14，占比分别约为19%、48%、33%(见图2)．总体而言，日本2020年著名高等院校的选拔依旧保持一贯的水平，顶尖院校如东京大学、京都大学对人才的数学知识掌握要求更为严格．日本著名大学的数学入学考试的难度集中在“标准”和“较难”，目的在于选拔一批具有良好数学素养的学生进入一流大学深造．

图2 各难度层次所占的比例

为深入研究上述试题的考查内容，笔者将这42道题所涉及的知识领域进行了分析整理，并将它们分为初等数论、初等代数、初等几何、微积分、概率和综合共六类．其中，前五类是指题目主要涉及该类的知识，一般不涉及其他内容；第六类综合类则是涉及前五个内容中的两个或两个以上，由此绘制出各小题难度统计图(见图3)．这42道题中主要涉及初等数论的题目共4题，占比约为9.5%，主要涉及初等代数的题目共4题，占比约为9.5%，主要涉及初等几何的题目共8题，占比约为19.0%，主要涉及微积分的题目共有12题，占比约为28.6%，主要涉及概率的题目共2题，占比约为4.8%，而涉及多个知识领域的综合试题则共有12题，占比约为28.6%．下面我们将针对每个内容选取部分例题作进一步介绍．

图3 各小题难度统计

2.1 初等数论

作为数学最古老的分支之一，初等数论主要使用初等的方法来研究整数的性质，一般包括整除理论、同余理论和不定方程(组)求解．上述42道题目主要涉及初等数论内容的共计有4题，分别是东京工业大学第1题(考查同余方程)、名古屋大学第2题(考查素数的性质)、东北大学第3题(考查不定方程)和京都大学第4题(见例题1)．

例题1(京都大学第4题)已知a∈Z+，令a=3bc(b,c是整数，且c不能被3整除)．规定B(a)=b，如B(32·5)=2．对于整数对(m,n)，定义f(m,n)=m3+n2+n+3，其中m,n满足以下条件：(i)1≤m≤30； (ii)1≤n≤30； (iii)n不能被3整除．求A(m,n)=B(f(m,n))的最大值，并求出此时所有的整数对(m,n)．

解析此题难度层次属“较难”，主要考查数论中的剩余类及同余式．解答此题的主要策略是分类讨论．

2.2 初等代数

代数学是研究代数运算和代数结构的一门学科，一般分为初等代数和高等代数．日本的大学入学考试考查的是初等代数，主要包括数的运算、代数方程、不等式与不等式组、数列的性质、排列组合和二项式定理等等．这里所研究的42道题中主要涉及初等代数内容的试题共4题，分别为京都大学第1题(考查高次方程)和第5题(考查排列组合)、东京大学第1题(考查不等式)和第4题(见例题2)．

(1)当n≥2时，求an,2；

解析此题难度层次属“较难”，主要考查数列、排列组合以及多项式运算，解题的关键是寻求递推关系式．

2.3 初等几何

初等几何主要研究点、线、面以及它们的位置关系，包括平面几何、立体几何、平面和空间解析几何等相关内容．这里所研究的42道题中主要涉及初等几何内容的试题共8题：考查平面几何的有东北大学第1题、北海道大学第1题和东京大学第2题(见例题3)，考查立体几何的有九州大学第3题，考查解析几何的有东北大学第2题、京都大学第3题和东京工业大学第3题，而大阪大学第5题则既考查了平面几何、又考查了立体几何．

例题3(东京大学第2题)平面上不共线的三点P，Q，R可构成一个三角形，将其面积记为△PQR；当P，Q，R共线时，规定△PQR=0．现平面上有3个点A，B，C，且△ABC=1．若平面上的动点X满足不等式2≤△ABX+△BCX+△CAX≤3，求X所满足的区域的面积和．

图4

2.4 微积分

微积分主要研究定义在实数集上的函数的性质，其内容一般包括数列和函数的极限、函数的微分与积分以及它们的应用等等．上述42道题中共有12题主要考查微积分知识，并且这八所大学中每一所大学的入学试题均包含了微积分这一内容(除了上述12题外，还有6道综合题涉及微积分)．比如，东京大学考查了导数和定积分的应用(第3题和第5题)，京都大学考查了数列的极限和定积分的应用(第2题和第6题)，东京工业大学考查了数列的极限、定积分的计算和应用(第4题和第5题，其中第5题见下面的例题4)，大阪大学考查了数列与函数的极限以及定积分的应用(第1题、第2题和第4题)，等等．

(1)用ak和k表示ak+2；

(2)若数列{kak}收敛于A，求A的值；

(3)若数列{kmak-knA}收敛于B，且B≠0，求整数m,n(m>n≥1)的值以及B的值；

(4)若数列{kpak-kqA-krB}收敛于C，且C≠0，求整数p,q,r(p>q>r≥1)的值以及C的值．

解析此题难度属“较难”，考查定积分的计算以及数列的极限．

2.5 概率

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，也是统计学的理论基础．概率与统计是中国高考的必考内容，而2020年日本八所高校入学试题只考查了概率这一内容．上述42题中涉及概率知识的有5题，其中主要考查概率计算的只有两题，九州大学第4题和东北大学第4题(见例题5)．

例题5(东北大学第4题)有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从盒子里随机取出一个小球，同时投掷硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回盒子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题：

(1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率；

(2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率；

(3)设n≥5，n∈Z，求第n次停止试验的概率pn；

(4)当pn取最大值时，求n的值．

解析此题难度层次属于“标准”，主要考查概率的计算．为解答方便，可设硬币为正面且取出白球为事件A，硬币为正面且取出红球为事件B，硬币为反面且任意取出一个球为事件C．

2.6 综合

尽管数学有很多分支，但各分支之间存在千丝万缕的关系，因而无论是日本还是中国，综合题型在选拔性数学考试中都占据十分重要的地位．日本八所高校的42道大题中，综合题共有12题，占比28.6%．这八所大学具体考查的综合题的题号、内容和难度情况见表2，部分试题参见例题6和例题7．

表2 八所大学所考查的综合题具体情况表

例题6(京都大学第2题)已知p为正整数，α，β是关于x的方程x2-2px-1=0的两个解，其中|α|>1．

(1)证明：对于所有的正整数n，αn+βn均是偶数；

解析此题属于代数与微积分的综合题，难度层次属于“较难”，主要考查代数方程根与系数的关系以及数列的极限，解答过程中有些步骤对于变形的技巧要求较高．

解答(1)时可利用数学归纳法，由于第二步中的递推关系式为αk+1+βk+1=2p(αk+βk)+(αk-1+βk-1)，因此在第一步中需要验证命题在n=1和n=2时成立；

例题7(名古屋大学第1题)设双曲线x2-y2=1在x>0的部分为C1，在x<0的部分为C2，回答以下问题：

(1)若直线l:ax-by=1与C1和C2各有一个交点，求a、b应满足的条件；

(2)设直线l与C1和C2分别交于P，Q，点A的坐标为(a,b)，求△APQ的面积；

(3)求△APQ面积的最小值，以及此时a、b应满足的条件．

解析此题属于解析几何与微积分的综合题，难度层次属于“标准”，主要考查双曲线与直线的位置关系以及函数的最值(2)按照本题的参考答案，此处函数的最值是使用求导的方法，因此将此题归类为解析几何与微积分的综合题；事实上，此题的最值也可以利用三角替换与均值不等式，这样便可将此题归类为解析几何与代数的综合题. 由此看出，表2中的内容分类并不是唯一的；此外，对于一道数学题是否是综合题，可能也存在不同的观点，本文中的分类仅供参考.．

3 日本八所著名大学理科数学入学试题的特点

通过对2020年八所日本著名大学入学数学考试试题研究分析，不难发现试题有以下特点：

(1)题目少，运算强度大

日本大学入学中心考试(全国统考)时间为1小时，主要考查学生的基础数学知识，而日本的国公立大学二次入学考试试题均以解答题的形式出现，这些题目解答步骤多、运算量大，对考生的计算能力提出了很高的要求．

(2)题目简洁，逻辑分析能力要求程度高

二次入学考试作为日本高校选拔高层次人才手段，理科数学入学试题充分体现理工学科要求的逻辑性、严谨性和缜密性．试题题目条件设置往往简洁明了，考生须在简明的题目条件中分析提炼关键要素，将其转化为数学语言，充分挖掘条件背后所延伸的数学知识．以初等几何考查内容为例，日本高校更注重考查学生二维或三维图形的想象能力，各大学对几何题目的考查只给文字描述，考生需要根据题目条件自行分析并画出相应图形，由此图完成相应作答．

(3)部分试题综合性强

日本各大学二次入学考试更注重学生对数学综合知识的掌握与应用．以微积分为例，东京大学要求考生运用微积分求面积及旋转体体积．名古屋大学要求考生熟练进行积分变换、运算，并证明积分不等式．北海道大学更是将微分与数学归纳法结合，积分方程与函数极限融合考查．考生不仅要对某个知识点驾轻就熟，还必须对整个数学知识体系触类旁通，才能顺利进行题目的研读与解答．

(4)高等数学内容丰富

日本大学二次入学考试类似于西方精英教育的选拔，考生自行选择学校参加入学试，各学校或院系自主命题，只要总成绩及格即可被录取．多数擅长理科的考生在高中阶段早已学习高等数学内容．因此，各大学理学部的数学入学试题都会出现很多如高次方程、曲线和曲面积分等高等数学的内容．

4 结语

2020年1月，中国教育部颁布文件《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》[18]，该文件聚焦国家重大战略需求，从2020年起取消高校自主招生考试，在试点的36所高校实施“强基计划”，以提升基础学科人才选拔和人才培养质量．日本高校自主招生考试自二战后经多次变革，已形成一套成熟的招考制度.各高校数学科考试在体现数学学科性的同时，十分注重考查学生的数学运算、逻辑分析及综合能力，充分发掘学生的数学潜能，不断适应日本社会各领域对高尖端人才的需求．因此，对日本著名国公立大学二次入学试题内容的研究，可以为我国新提出的“强基计划”数学试题设置以及数学资优生的培养提供参考.