数学问题解答

2641已知△ABC的外接圆过点B、C的切线交于点P,延长BA至点D,使AD=AB,作DE∥BC交直线PB于点E.求证:

(华中师范大学 国家数字化学习工程技术研究中心 彭翕成 430079；山西省临县一中 李有贵 033200)

2642已知a,b,c,d≥0,a+b+c+d=1,且

求p的最大值.

( 陕西省咸阳师范学院教育科学学院 安振平 712000 )

解先证：在x≥0时，有

事实上，不等式(*)等价于

(3x+2)(3x2-4x+3)≥6

而上面的不等式显然成立，即(*)不等式成立.

在不等式(*)里，令x=a,b,c,d,得4个不等式

叠加，便有

2643设双曲线C的两焦点为F1、F2，两准线为l1、l2，过双曲线上一点P，作平行于F1F2的直线，分别交准线l1、l2于M1、M2，直线M1F1与M2F2交于点Q，则P、Q、F2、F1四点共圆.

(江西省都昌县第一中学 刘南山 332600)

根据对称性知点Q在y轴上，

所以∠F1QF2=∠F1PF2，

故P、Q、F2、F1四点共圆.

(2)当x0≠-c时，

所以∠F1QF2=∠F1PF2，

故P、Q、F2、F1四点共圆.

综上所述，P、Q、F2、F1四点共圆.

2644在三角形ABC中，求证:

cosAcosB+cosCcosA+cosBcosC

(山东省单县园艺中心校 张建平 274300)

证明

=(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)+(1+cosA)(1+cosB)(1+cosC)-2

=(1-∑cosA+∑cosAcosB-cosAcosBcosC)

+(1+∑cosA+∑cosAcosB+cosAcosBcosC)

-2

=2∑cosAcosB.

所以欲证结论成立.

注：本题在2022年第1期出题时，出现描述错误，经山东省寿光市教育科学研究中心张明同老师及华南农业大学资源环境学院甘超一同学指出，在这里给予了更正，同时本题的证明采用了甘超一同学提供的方法.在此向张明华老师及甘超一同学表示感谢！

2645如图，△ABC中，直线AP,BP,CP分别与各自对边所在的直线交于点D,E,F．

(i)求使得

(ii)求使得

S△PBD+S△PEA=S△PDC+S△PAF=S△PCE+S△PFB的所有点P.

(重庆市长寿龙溪中学 吴波 401249)

解设S△PBC=λ1，S△PCA=λ2，S△PAB=λ3．

则

(i) 不难求得

这表明，△ABC所在平面上除三边所在直线外的所有点均满足(i)中的等式．

(ii)S△PBD+S△PEA=S△PDC+S△PAF

=S△PCE+S△PFB

由第一个等式移项可得

所以λ2=λ3，

或者λ1(λ1+λ2)(λ1+λ3)=λ2λ3(λ2+λ3)．

(1)当λ2=λ3时，显然点P在△ABC中线AD上．代入消元可解得λ1=λ2或者λ1=2λ2．

当λ1=λ2=λ3时，点P就是△ABC的重心；

当λ1=2λ2=2λ3时，点P是△ABC中线AD的中点．

同样的讨论(对λ1=λ2或λ1=λ3)可知：点P是△ABC另两条中线的中点时也满足(ii)中的等式．

(2)当λ1(λ1+λ2)(λ1+λ3)=λ2λ3(λ2+λ3)时，有

注意到λ1+λ2+λ3=S△ABC，上式可化为

在(1)中已讨论了λ1,λ2,λ3有两个相等的情形，此处可设λ1,λ2,λ3两两不等．因此同上可得另外两个等式：

所以三式相等，约去公因式S△ABC可得

将第1个等式移项分解可得

(λ1+λ2+λ3)(λ1-λ2)=0．

即(λ1-λ2)S△ABC=0．

所以λ1=λ2．同理λ2=λ3．此时即是重心．

这个解在前面已得到过．

综上可知：满足(ii)中的等式的点P共有四个——△ABC的重心和其三条中线的中点．

2022年2月号问题

(来稿请注明出处——编者)

(河南辉县一中 贺基军 453600)

2647设R,r,p分别表示△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长，求证：

(1)

(河南质量工程职业学院 李永利 467001)

2648设△ABC的内切圆I与边BC，CA，AB分别切于D，E，F．记AB=c，BC=a，CA=b，若BE=CF，求证：b=c．

(湖北省公安县第一中学 杨先义 434300)

(河南省周口师范学院计算机科学与技术学院 李居之 466001；北京航空航天大学图书馆

宋庆 100191)

2650已知⊙O1与⊙O2相交的一个交点为A，直线BC与⊙O1、⊙O2相切于B、C,⊙O3为△ABC的外接圆，O3关于点A的对称点为D,点M为O1O2的中点.求证：∠O1DM=∠O2DA.

(江西省高安市石脑二中 王典辉 330818)