各向异性的摩擦——国际物理奥赛IdPhO2020理论第二题

张圣兵 宋 峰

(1.江苏省通州高级中学 226300；2.南开大学物理科学学院 300071)

摩擦力并不总是各向同性的，也就是说各个方向上的摩擦力不一定都是相同的。通常情况下，摩擦力的大小和方向取决于物体运动的方向。比如，在物体接触面上存在一定方向的“沟槽”时，各方向上的摩擦力就不同（橡木对橡木的摩擦系数，沿着纹理方向和垂直于纹理方向，分别等于0.48 和0.34）。摩擦的各向异性会导致不寻常的运动特性，本题将就此特性进行研究。

关于各向异性摩擦，你需要知道什么？

假设一个表面是由各向异性的材料构成的。关于各向异性摩擦力的最流行的模型之一是这么考虑的：作用在物体上的摩擦力将取决于物体的运动方向，设互相垂直的X和Y轴（它们被称为主轴），x和y方向的摩擦力分别为

其中Fx和Fy为摩擦力分量，N是作用在物体上的法向作用力，vx和vy是速度矢量v→的分量，μx和μy是沿两个主轴的摩擦系数。

在此，可以理解为平面上的坐标轴与主轴相吻合。我们设摩擦系数为μx=0.75，μy=0.5。另有说明的除外。

在本题的A和B部分，物体均被视为质点。在本题的所有部分中，物体运动的平面都是水平的。

如果可以得到数值答案，则需要给出具体数值。

A部分：在水平面上的运动（4.0分）

A.1 摩擦力的绝对功率值达到最大时，物体速度矢量与X轴成的角度α1为多少？0.5pt

A.2 摩擦力功率的绝对值小于最大值的1.2 倍时，物体速度矢量应与X轴成的角度α2为多少？0.5pt

A.3 令初始速度的分量v0x=1 m/s，v0y=1 m/s。一段时间后，沿Y轴的速度分量等于v1y=0.25 m/s。此刻的速度大小是多少？1.0pt

A.4 设速度为v2＝1.0 m/s。为了使轨迹的曲率半径最小，速度矢量应与X轴成什么角度？这个半径等于多少？已知自由落体的加速度为g=9.8 m/s2。1.0pt

A.5 在XY平面图中，画出在上述摩擦系数下，以α4=π/6和α5=π/3角度发射的物体的轨迹。初始速度的大小是相同的。对于摩擦系数μx=0.4 和μy=0.7的情况，再回答该题。1.0pt

B部分：物体开始运动的条件(2.0分)

B.1 一个质量为m的物体静止在原点上。有一个力以与X轴成夹角α施加在该物体上。力的大小F(t)=γt随时间线性增长。求物体开始运动的时刻对α的依赖性。忽略停滞现象。2.0pt

C部分：圆周运动（4.0分）

两个相同的质点通过一根长度为L=1 m的重量可忽略且不可伸长的杆相连，系统位于一个具有各向异性摩擦的表面上。杆沿着与Y轴放置，不接触表面。其中一个质点具有初始速度，其方向垂直于杆。

C.1 假定另一质点保持静止，对于给定的初始速度v0，求其速度v与杆的旋转角度φ的关系。1.5pt

C.2 求最大初速度v0max为多少，设另一物体仍保持静止。1.5pt

C.3 如果初始速度为v0max，则物体在完全停止前走过的距离为多少？1.0pt

各向异性摩擦在生活中是常见的。比如本题中给出的例子：两个木块，互相平行放置和垂直放置时，其纹理不同，导致摩擦系数不同。在实际应用中，利用这种特性可制作特殊的材料和器件。比如，将通过3D打印得到的取向性倒刺结构，埋植于某种纳米材料中，在光照射下纳米材料软化，其表面倒刺的取向角度可发生改变，从而引起两个正交方向上的摩擦力发生显著改变。这种光热响应的摩擦各向异性材料可被用作智能开关。

本题涉及到运动学和动力学基础概念。

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