以导数知识为工具，求解三角函数问题

张艳艳

三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应的任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数.我们可灵活运用导数法来求解三角函数问题.下面结合实例来探讨一下如何妙用导数法判断三角函数在区间上的奇偶性以及求三角函数的最值、零点.

一、判断三角函数的奇偶性

一般地，奇函数图象上的点关于原点对称，偶函数图象上的点关于y轴对称.运用导数法判断三角函数的奇偶性，需首先对三角函数求导，然后选取关于原点对称的点，得到对应的导数值，根据导函数值之间的关系判断三角函数的奇偶性.

例1.已知函数f（x）=sinx+2cosxsinx，判断函数f（x）是否为偶函数.

分析：首先对函数f（x）求导，然后判断关于原点对称的点对应的导函数值是否相等.若相等，则函数f（x）为奇函数，若互为相反数，则函数是偶函数.

解：∵f′（x）=cosx+2cos2x，

∴函数y（x）不是偶函数.

二、求三角函数的最值

导数法是求最值的重要工具.运用导数法求解三角函数最值问题，其主要思路为：①将三角函数式化简，使角度、函数名称、幂统一，②对化简后的三角函数式求导，根据导函数与函数单调性之间的关系判断函数在区间内的单调性，③根据函数的单调性和图象，求出三角函数在定义域内的最值.

则h′（x）=2sinxcosx-cosx=cosx（2sinx-1），

g（x）随x变化如下表所示：

所以g′（θ）=2cosθ+2cos2θ=4cosθ+2cosθ-2，

g（θ）=2sinθ+sin2θ取最大值，

解答本题，需首先将三角函数式中的角度统一，然后对其求导，根据g′（θ）与0之间的关系，判断三角函数在其对应区间上的单调性，从而求出函数f（x）的最大值.

三、求三角函数的零点

求三角函数的零点，通常要根据三角函数图象的变化趋势，来确定每个区间上零点的值或个数，然后根据函数的图象求得定义域内函数零点的值或者个数.运用导数法求解三角函数的零点问题，需先对三角函数求导，判断区间内函数的单调性，然后将函数零点问题转化为图象与x轴的交点问题.最后结合函数的单调性画出函数的图象，借助图象求得问题的答案.

通过上述分析，同学们可以发现，“导数知识”也是解答三角函数问题的重要工具.借助导数法，可以快速分析出三角函数的单调性、奇偶性、极值，明确函数图象的大致走向，便可快速求得三角函數零点的个数.同学们在解答三角函数问题时，要学会将问题与导数知识关联起来，灵活运用导数法来解题.