如何从多个角度推导等差数列的前n顶和公式

王志刚 王倩

等差数列的前n项和公式是数列中的重要公式，且是解答数列问题的重要依据.因此了解和熟悉等差数列前n项和公式的推导思路是很有必要的.

北师大版教材中给出了一个问题：（1）求1+2+3+…+100;（2）求1+2+3+…+n;（3）求a+a+a+…+a.高斯用首尾项配对的方式：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）求得问题（1）的答案.而問题（2）和（3），则需使用倒序相加法来求和.

通过研究，笔者得到了其他几种推导等差数列前n项和公式的思路.

1.借助图形进行推导

对于公差为d的等差数列a，a，a，…，a，可构造n（n+1）个边长为d正方形，并将其接成长为nd，宽为（n+1）d的矩形，可得阴影部分的面积为：

2.运用函数与方程思想进行推导

数列是一种特殊的函数.将a=a+（n-1）d改成a=dn+（a-d），则该式是关于n的函数.等差数列的前n项和可看作函数图象与间隔点构成矩形的面积之和.设等差数列前n项的和S=pn+qn+r，将a、a、a的具体取值代入，便得到关于p、q、r的三元方程组，解方程组即可得到S的表达式.

3.利用物理知识进行推导