基于“三教”理念的数学建模素养培育探索

王美娜，杨孝斌

（1.兴义民族师范学院，贵州兴义 562400；2.贵州师范大学，贵州贵阳 550025）

一段时间以来，一谈到数学建模能力的训练（数学建模素养的培育），部分数学教师认为只能在特定的教学内容（如应用题、实际问题）、特定的教学形式（如综合实践、课题学习）下才能进行.事实上，数学建模是一个过程、一种活动，也是一种思想、一种方法，更是一种观念、一种意识.数学建模作为高中课程标准修订过程中所强调的六大数学核心素养之一，其理念是贯穿整个高中数学教育的.

在《普通高中数学课程标准（2017 年版）》中，把“数学建模活动与数学探究活动”作为高中数学课程的一条主线，全文一共92次用到数学建模一词.其中关于数学建模的具体表述是：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题［1］.

贵州师范大学吕传汉教授于2014 年初提出了用“教思考、教体验、教表达”（以下简称“三教”）的教育理念来引领课堂教学、培育学生的核心素养的观点.笔者接下来着重讨论，如何在数学教学中，通过“教思考、教体验、教表达”来实现数学建模素养的培育.

1 “三教”理念概述

“三教”理念，是吕传汉教授及其团队经过长期的理性思考与实践探索，在回顾、反思十余年的基础教育课程改革经验的基础上提出来的.该理念的提出，是对学科教育理念的高度概括.

所谓“三教”指的是教思考、教体验和教表达.“教思考”主要是指教师在数学教学中帮助学生理清数学知识的逻辑结构，找出解决问题的思维线索，引导学生在数学活动中领悟数学思想方法；“教体验”是指教师引导学生在数学活动过程中获得对知识学习、问题解决和科学研究的过程体验和情感体验，进一步获得对数学思想方法的理解与把握；“教表达”不仅包括提高学生的口头表达能力，也包括提高学生的书面表达能力，对于数学教学而言，主要是指培养学生用数学语言来讨论数学、表述数学问题、表达数学结论的能力［2］.

2 数学建模素养培育的相关研究综述

关于数学建模素养，许多研究者从教学实践（培育）方面进行了广泛讨论.如高远［3］以数学建模为例，从数学核心素养如何落地的角度，构建了数学建模教学的一条途径——教师要尽可能地将数学知识与生活中的一些现象联系在一起，要让数学从生活中来，再到生活中去；要根据学生在建模过程中的表现，去优化学生数学建模的过程，保证学生在建模的过程中认识到数学模型的价值，知道数学模型是怎样形成的.王志俊等［4］以“案例教学中提升数学素养”为主题，分别从应用统计类模型、函数类模型和线性规划模型的角度进行分析，展示数学建模思想和方法，反映数学建模对学生数学能力发展和素养提高的影响，讨论了如何提升高中数学建模能力训练的效果.胡高嵩［5］以“三角函数的简单应用”为例，探讨基于数学建模的高中三角函数内容的设计策略.研究认为教师应在现实问题的基础上，鼓励学生通过“发现—探究”学习形式，分析问题中隐含的信息，建立数学模型并运用数学相关的语言、符号、图表来解决实际问题，从而培养学生的数学建模能力和数学应用意识，发展和提高学生的数学素养.焦宇［6-7］从数学建模进入中学数学课堂的意义以及中学如何开展数学建模等问题论述了“数学建模进入中学数学课堂的思考”；并以“仅用一张A4 纸和计算器测量西安大雁塔的高度”为例，展示了如何帮助学生有效地认识数学建模在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，帮助学生如何运用所学知识分析问题、思考问题并解决问题，提升学生的实践能力.

以上研究表明我们既可以在综合实践、课题学习中加强数学建模能力的训练，更要在日常教学中渗透数学建模的思想和方法；既要向学生展示数学建模的意义和价值，更要着眼于学生在数学建模过程中的表现以及数学上的获得；既要关注在数学建模素养培育过程中学生的数学思考、数学体验，也要提高学生的数学表达能力.

3 “三教”理念下数学建模素养的培育

下面以类比梯形面积公式理解等差数列前n 项和公式、构建模型理解二项式定理、类比“等差数列{an}中am+an=ap+a（q其中m+n=p+q）”的结论推出等比数列中的相应结论的教学为例，具体讨论如何在“三教”理念下培育学生的数学建模素养.

3.1 在教思考中培育数学建模素养

教思考，重在教会学生学会思考，其核心是掌握思考问题的方法.数学是模式的科学，数学中的很多问题、很多结论具有相似性.在数学教学中，教师可以利用这种相似性，引导学生进行类比学习，帮助学生理解知识.

举例来说，我们在引导学生学习等差数列的前n项和公式Sn=时，就可以借助该公式与梯形的面积公式S梯形=在结构上的相似性，帮助学生理解公式之间的联系，帮助学生形成良好的数学认知结构.

同时，还可以类比梯形面积公式的推导方法，创设合适的情境，帮助学生理解公式推导过程中的“倒序相加法”（注：梯形面积公式的推导是利用两个全等的梯形拼成一个平行四边形，这里可采用类似的方法，自然引出倒序相加法，如图1所示）.

图1 倒序相加法示意图

由此我们可以看出，数学上的很多公式，其本质就是一种结构，就是一个模型，其中的字母可以用其他东西去替换.在数学教学中，教师要善于透过现象看本质，善于用类比的方法启发学生思考，通过引导学生在认识和理解数学对象的结构和模式的过程中，提高学生构建模型的意识和识别模型的能力，发展学生的数学建模素养.

3.2 在教体验中培育数学建模素养

教体验，本质是引导学生获得数学体验，让学生在数学实践活动中认识数学，引导学生亲身经历数学活动的全过程.

数学体验，主要包括体验数学概念的形成过程、体验数学结论的产生过程、体验数学问题的探究过程、体验数学思想方法的应用过程等.而在这些过程中，都或多或少蕴涵着数学模型的思想或数学建模的过程.因此，可以通过引导学生获得数学体验来培育数学建模素养.

比如说，在二项式定理的教学过程中，无论是引导学生利用多项式乘法从(a+b)2=a2+2ab+b2出发，逐步计算(a+b)3、(a+b)4后，猜出结论——(a+b)n=，还是由老师直接给出这个结论，但最终都回避不了这节课最令人困惑的一个问题——如何向学生解释这个结论？这就需要教师巧妙构建分步计数模型，利用乘法原理，帮助学生理解.

可构造模型解释如下：

我们知道，(a+b)n就是n个(a+b)相乘.每个(a+b)在做乘法时，有两种选择，要么选a要么选b.由分步计数的乘法原理可知，(a+b)n的展开式应该有2n项（包括同类项），其中每一项中都只含有a和b，且每一项的指数和都是n，即如an-kbk（k=0,1,2,…,n）的形式.对于每一项an-kbk，它是由k个(a+b)中选了b，其余n-k个(a+b)中选了a得到的，因此每个an-kbk出现的次数等于从n个(a+b)取出k个b的组合数（当然也可以说是取出n-k个a，因为），于是就得到二项式定理的展开式

像这样的数学教学过程，就是在引导学生经历数学体验的同时，提高对数学模型（这里是分步计数模型）的认识与理解，进而培育他们的数学建模素养.

3.3 在教表达中培育数学建模素养

所谓表达，就是将思维所得的成果用语言（包括语音、语调）、表情、行为等方式反映出来的一种行为.对于数学教学而言，主要就是要引导学生利用自然语言（口头语言）、文字语言、图形语言、符号语言乃至逻辑语言，讨论数学问题和表达数学结论.

比如说，在引导学生理解“等差数列{an}中am+an=ap+a（q其中m+n=p+q）”这个结论时，就需要从以下几个方面加以解释：

（1）首先，满足{an}是等差数列；

（2）其次，m+n=p+q；

（3）再次，可利用结论am+an=ap+aq（其中m+n=p+q）的特殊情形m+n为偶数且p=q=，即am+an=，帮助学生理解等差中项的概念；

（4）进一步，通过上面的讨论，引导学生认识到：结论am+an=ap+aq的等号两边的项的个数要一样多，换句话说，一般情况下没有am+an=am+n这个结论（事实上要满足这个结论，必须要满足a1=d，这个问题可以留给学生讨论）；

（5）更进一步，可将等差数列{an}中的结论am+an=ap+aq推广为等号两边有多个项的情形，只要满足等号两边的项的个数一样多且下标之和相等即可，即（其中下标之和）.而要得到这个结论，就需要教师从等号两边均有两个项，推广到均有三个项，再推广到均有多个项的情形，并逐步引导学生从口头表达到书面表达，最后用数学符号语言抽象表达（注：对连加号∑的运用，教学中要遵循严谨性与量力性相结合的原则），而这一教学过程对学生表达能力的提高就显得格外重要了；

（6）最后，在等比数列的教学中，将有类似的结论产生，即：等比数列{an}中有am×an=ap×aq（其中m+n=p+q），教师在等比数列这部分内容的教学中可引导学生通过类比的方法得到相应的结论.

教学实践表明，通过这样的反复解释、深入讨论，能够引导学生充分认识、准确表达，可以帮助学生深刻理解上述结论，并认识到实际上“等差数列{an}中am+an=ap+aq（其中m+n=p+q）”的这个结论本质就是一种数学结构、一种数学模型，而这个结论成立的条件就是：等号两边的项的个数一样多且下标之和相等.只要学生理解了这个问题的关键，相应地，在等比数列的教学中引导学生去探究和理解类似的结论就容易得多了，那时只需要强调把等号两边的项分别乘起来即可.至于为什么在等差数列中这个结论是做加法，而等比数列中要做乘法，这又是一个可以引导学生深入讨论的问题.

这样做的目的，就是要引导学生在各种数学语言间自由地转换，最终达到能用各种数学语言准确表述数量关系和空间关系，正确表达问题结论，清晰理解数学结构，直至合理构建数学模型，为培育学生的数学建模素养打下坚实的基础.

4 结束语

通过上面的例子表明，基于“三教”理念，并以具体的数学内容为载体，通过“教思考、教体验、教表达”的数学教学过程，可以提高学生的模型意识和建模能力，培育学生的数学建模素养.这样的教学具有较好的操作性和可行性，对落实数学建模素养的培育有一定的理论意义和实践价值，同时也切实体现了“数学建模活动”融入高中数学课程全过程的这一课改理念.