一个面积恒等式及其应用

江苏省无锡市第六高级中学 (214023) 谢 吉

三角形塞瓦线背景下有很多有趣的结论.笔者在学习、研究的过程中，关注到一个面积恒等式，利用该面积恒等式简捷地证明或解答了一组几何竞赛题，为一类几何竞赛题增添了一道亮丽的风景线.

命题如图1所示，点P是△ABC内一点，直线AP,BP,CP分别交线段BC,CA,AB于点D,E,F，记S△BPD=x，S△CPD=u，S△CPE=y，S△APE=v，S△APF=z，S△BPF=w，则xyz=uvw.

图1

就图形特征来说，塞瓦线型几何竞赛题的线段比例关系，均可转化为面积的比例关系，把相关几何元素用x、y、z、u、v、w(或比例)表示出来，这样，在处理问题时，显得十分灵活、简便.

例2 (第32届IMO试题)如图2所示，设P是△ABC内的一点，求证：∠PAB、∠PBC、∠PCA至少有一个小于或等于30°.

图2

例3 (第37届IMO预选题)如图3所示，设△ABC是锐角三角形，外接圆圆心为P，半径为R，AP交BPC所在的圆于另一点A′，BP交CPA所在的圆于另一点B′，CP交APB所在的圆于另一点C′，证明：PA′·PB′·PC′≥8R3，并指出在什么情况下等号成立？

图3

例5 (2012年第24届亚太数学(APMO)竞赛试题) 如图4所示，已知P为△ABC内部的一点，且D、E、F分别为直线AP与边BC，直线BP与边CA，直线CP与边AB的交点.如果△PFA，△PDB与△PEC的面积为1，试证明：△ABC的面积为6.

图4

几何竞赛题的求解历来是难点，尤其是几何不等式的证明.学习的过程中，追求自然而平凡的证明一直是笔者的追求.在这个基本图形中，是否还有其他的面积关系？留给读者思考.