一道中考题引发的数学深度学习思考

谢洁琼

中考，作为一场兼顾学业水平和升学选拔双重作用的考试，其压轴题必然是承载学科关键能力和学科思想方法的考查的载体.2020年福建省中考数学卷第25题（压轴题），考查了关键能力中的运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识、考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想等数学思想方法.阅卷情况表明，有相当一部分考生因为直接使用了“若不重合的两条直线斜率相等，则这两条直线平行”这个高中数学的结论证明第（2）问导致不得分;还有一部分考生因为第（3）问中没有结合“相似三角形面积比等于相似比的平方，而相似比等于对应边的比”这个性质求解，導致失分.

那么，为何考生展示出来的思维轨迹（体现在答卷上）与命题组的预设（体现在参考答案上）会产生如此大的偏差？具体而言，预设的是两条直线平行的判定定理和相似三角形性质定理在坐标平面情境下的综合运用，但是为什么考生在考场上想不到运用平行线和相似三角形的相关联的知识去解决问题，而另辟蹊径去运用并不能作为初中阶段的推理依据的真命题——一不重合的两条直线斜率相等，则这两条直线平行”作为说理依据？

3 答题情况分析

本题作为今年福建省中考数学试题的第25题（压轴题），第（1）问兼顾学业水平考试的基础性;第（2）问打破定势思维，借助直角坐标系，用“数”证“形”;第（3）问设置了运动变化的过程中找最值，以“数”解“形”.总体来说，设置的三个问题串，有序构建了一道低起点、多层次、高落差且兼具水平性考试和选拔性考试功能的综合性试题.试题将一次函数、二次函数和相似三角形知识完美结合，目的是想通过几何与代数结合在一起考查考生对基础知识和思想方法的深度迁移与灵活应用.

通过对部分考生的访谈得知，解题质量不高的主要原因有以下几点：①无法将坐标系里面的直线平行与几何证明联系起来，于是无可奈何地把“不重合的两条直线斜率相等，则这两条直线平行”结论用上;②没有想到可以从逆向思维去解题：平面上两条直线只有平行和相交两种位置关系，相交的两条直线联立其解析式得到的方程组必有一解.③第（3）问能推出直线，l1和l3平行，但是无法转化到通过面积比等于相似比的平方来列出两个三角形面积之和的式子后求解.

4 一些思考

美国国家研究委员会在“定义深度学习与2l世纪技能委员会”题为《为生活和工作而教育：培养21世纪可迁移的知识和技能》的报告中指出：深度学习就是为迁移而学习的过程，能够让学生将一个情境中习得的知识应用到其他情境中.第（2）问就是在“其他情境”中，找到可以证明两直线平行的判定条件，进而转化为证明角相等，再转化为三角形内角的正切值相等.

深度学习要培养的是学生了解和掌握数学学科核心知识的能力、运用这些知识进行批判性思考和解决复杂问题的能力等等.反思我们的初中课堂教学，忽视概念的抽象过程、题型技巧满天飞、关注思想性不够、数学教学欠缺整体性、结构性、连贯性以及满堂灌满堂问等等问题突出，而基于问题、基于探究、基于整体等具有创造性和实践性的学习方式却被多数教师认为浪费课堂时间而拒之门外.于是，“碰到做过的不一定会做，碰到没做过的一定不会做”的现象长期存在，从而导致学生每次考试一新就难.

5 践行深度学习的路径

初中数学学习中，相对于对零散的、无关联的知识内容不加批判地的机械记忆，学习内容脱离生活实际，与学生以往的经验缺乏关联，学不致用等等表现的浅层学习，深度学习是对数学概念、定理深刻理解、主动关联、积极建构、迁移应用的学习，特别是在批判的基础上去理解与记忆知识，在联系的基础上去建构知识体系，在过程的基础上去体验感悟数学本质，在内化的基础上去迁移应用解决问题.因此，倡导单元教学、创设真实问题情境、设计有效课堂活动应该是在初中阶段践行深度学习三个有效路径.

5.1 倡导单元教学

在初中数学教学中，单元（章节）是知识结构化的重要表现.结构化、情境化、凸显学科一般观念的知识，对于发展学生的核心素养的功能是最强的.而单元教学无疑是落实学科思想方法和一般观念的有效途径.在中考复习教学中，更是需要打破教科书的章节顺序，将前后联系、逻辑连贯的知识串作为新的复习单元，进行纵横联系，打通知识间的壁垒，进而建立知识间的结构体系.

例如，在复习四边形时，可以让学生回忆与四边形有关的一切知识并画思维导图，教师在学生画的基础上跟学生一起完善，帮助学生厘清单元内的逻辑和单元间的逻辑.比如从边的角度，角的角度，以及对应的位置关系，还有因位置关系引起的数量关系等等.涉及到数量关系，就可以拓展到与数量关系相关的一维数轴和二维坐标系中求数量关系.有线有角涉及到坐标系中的一次函数和两条直线间的数量、位置关系等等.

经常这样不断渗透和加深互相关联的知识之间的联系，学生的核心素养就会得到发展，自然在新情境下就容易提取知识解决问题.也就不至于出现在中考考场上多画个坐标系就想不起证明两条直线平行的方法这样的现象发生.

5.2 创设真实问题情境

数学教学是自觉促进学生发展的课堂活动，要在短时间内使学生得到较大的发展和提升，势必要让学生感兴趣主动参与教学活动，这要求教师在学生学习之初，在有难度、有挑战性的学习任务面前，发挥教师应有的主导作用，创设一些学生感兴趣并且能自主探究的问题情境，驱动学生在数学知识和生活应用之间建立起有时代气息和新鲜感的联系，从而促使学生的逻辑思维能力和应用意识得到发展和提升，在不知不觉中形成数学核心素养.

例如，在七年级下册7.2.1“用坐标表示地理位置”这堂课中，教师可以引导学生根据实际情况画出一幅关于学校、A同学、B同学、C同学家位置的示意图，在抽象出坐标系画位置关系后，还可以让每位学生在坐标系上画出自己家的位置，甚至可以结合当地的旅游景点教师给出一些数据让学生为外地游客画出景点位置示意图.最后在引导学生对情境探究的内容进行归纳总结利用坐标系表示平面内点的位置的方法.

通过创设真实的问题学习情境，学生能够对所学的知识更好地在过程中体验和感悟用坐标表示平面内的点的位置数学本质——相对位置，从而让深度学习真实地发生.

5.3 设计有效课堂活动

为了引起学生对于学习的内在兴趣，化解学生的學习困难，就需要教师从学生已有的经验和现实的水平出发，设计有效的课堂教学活动，带动学生自主参加活动，帮助学生筒约地经历人类发现与建构知识的关键环节，促使学生思考和建构.

例如，在八年级上册14.2.1“平方差公式”的教学中，教师可以给出一组计算题，让学生计算完后观察有什么共同点：Sx5与4x6，lOxl0与9xll，15x15与14x16.学生计算完后会发现每两组数之间的规律后，教师马上再提出：如果25x25= 625，那么24x26=？肯定有学生能快速回答.教师马上追问：能快速回答的同学，你一定是有什么发现，请说出你的发现.学生说后，教师继续追问：根据你的发现，请你继续列举例证，计算并检验是否支持你的发现.学生列举后，教师引导：既然有那么多的例子验证了你的发现，能否用数学式子表达出你们的发现？学生表达完了后，教师继续引导，如何证明你的式子？如此这般通过设计有效的教学活动，带动着学生自主地展开活动——计算算式、观察特点、总结规律、列举例证、表达发现等，学生有了这些自主活动才能通过活动领会感悟教学内容的内在本质，所学的平方差公式的内容才真正成为学生的认知对象，教学活动才真正成为学生的自己的活动，从而让学生增强了长时记忆、激发了学习动机、到达了高阶思维.

再如，在九年级上册24.2.1“点和圆的位置关系”的教学中，教师可以设计一个“笔尖找圆”的小组活动：全体学生闭上眼睛，用记号笔在已经画好一个圆的卡纸上画点（为了增加趣味，可以设计成游戏，比如在设定时间，设定获胜标准）.画完后老师追问：各小组所画的点与圆的位置关系有几种？这些点与圆心的距离和圆的半径之间有什么大小关系？这种对于点与圆的位置关系的研究，非常形象地反映了数与形之间的内在联系：由图形的位置关系决定数量关系，由数量关系可以判断图形的位置关系.

上述的课堂活动不仅激发了学生的学习兴趣，调动了学生的学习积极性，让学生体验笔尖落点与圆心之间的距离和圆的半径大小的关系，引发学生的深入思考，从而引导学生去思考如何用数量关系的定量关系去描述点与圆的位置关系，使学生真正成为学习的主体.

综上所述，在初中的数学教学中，教师应该在深刻理解课程标准、理解数学学科的育人价值和核心素养的前提下，聚焦数学学科本质和数学思想方法，创设真实的问题情境、设计有效的课堂活动、进行主题单元教学，才能帮助学生实现深度学习，进而在各级各类评价中表现优异.