广义n-强Drazin逆的注记

2022-07-07李明珠宋贤梅

吉林大学学报（理学版） 2022年3期

李明珠, 宋贤梅

(安徽师范大学数学与统计学院, 安徽芜湖 241002)

1 引言与预备知识

设R是含有单位元的结合环. 由于Drazin逆在矩阵论与环论中应用广泛, 因此已得到很多代数研究者的广泛关注. Cline[1]证明了若ab是Drazin可逆的, 则ba也是Drazin可逆的, 且(ba)D=b((ab)D)2a(称为Cline公式). Jacobson引理是指若α=1-ab可逆, 则β=1-ba可逆, 且β-1=1+bα-1a.Patrício等[2]提出了若α=1-ab是Drazin可逆的,β=1-ba是否也为Drazin可逆的问题. Castro-Gonzlez等[3]和等[4]分别回答了文献[2]的问题, 证明了α和β有相同的Drazin 指数. 此后, 关于广义逆的Cline 公式与Jacobson引理或其推广形式的研究得到广泛关注[5-9].引入了环上广义n-强Drazin逆的概念, 是广义强Drazin逆与广义Hirano逆的推广, 并给出了广义n-强Drazin逆的Cline公式, 但仅说明广义1-强Drazin逆的Jacobson引理成立; Chen等[6]证明了1-ab有广义n-强Drazin逆当且仅当1-ba有广义n-强Drazin逆, 但未给出1-ab的广义n-强Drazin逆与1-ba广义n-强Drazin逆之间的关系; 吴珍莺等[7]将广义n-强Drazin逆的Jacobson引理推广到acd=dbd,dba=aca的条件下. 另一方面, Hartwig[10]证明了Flanders定理, 得到了强π-正则环R是单位正则的当且仅当R是正则的, 且ab的Drzain逆与ba的Drzain逆相似; Liu等[11]研究了单位正则环上的广义Flanders定理, 得到了单位正则环R中元素a,b,c满足aca=aba时, 若ac和ba是Drzain可逆的, 则ac的Drzain逆与ba的Drzain逆相似. 本文受文献[5,11]的启发, 给出广义n-强Drazin逆的广义Cline公式与Jacobson引理以及幂等元相等的等价刻画, 并讨论广义n-强Drazin可逆元素相似的等价刻画以及多元素相似性问题.

设C(R),U(R)分别表示环R的中心和R中所有可逆元之集,表示自然数集.设R是环,a∈R,A⊂R.记

comm(a)={x∈R:ax=xa},

comm2(a)={x∈R:xy=yx, ∀y∈comm(a)}.

a°={y∈R:ay=0}, °a={y∈R:ya=0}，

A°={x∈R:Ax={0}}, °A={y∈R:yA={0}}.

若对任意的x∈comm(a), 均有1+ax∈U(R), 则称a是拟幂零的[5].R中所有拟幂零元素的集合记为Rqnil.

若存在b∈R使得aba=a, 则称a∈R是正则的(或有内逆b)[12].a的所有内逆记为a-,R-表示R中所有正则元之集.若存在b∈U(R)使得aba=a, 则称a∈R是单位正则的.如果R中所有元素都是单位正则元, 则称环R是单位正则环[11].设k∈, 若存在元素x∈R, 使得

ax=xa,xax=x,ak+1x=ak，

(1)

则称a∈R是Drazin可逆的[1].x是a的Drazin逆,a的Drazin逆若存在则唯一, 记为x=aD.满足式(1)中3个方程的最小非负整数k称为a的指数, 记为ind(a).若ind(a)=1, 则称a是群可逆的,x为a的群逆, 记为x=a#.用RD表示R中所有Drazin可逆元之集,R#表示R中所有群可逆元之集.

若存在元素x∈R, 使得x∈comm2(a),xax=x,a(1-ax)∈Rqnil, 则称a∈R是广义Drazin可逆的[13], 称x是a的广义Drazin 逆, 且a的广义Drazin逆若存在则唯一, 记为x=ad.用Rd表示R中所有广义Drazin可逆元之集.设n∈, 若存在元素x∈R, 使得x∈comm2(a),xax=x,an-ax∈Rqnil, 则称a∈R是广义n-强Drazin逆[5], 称x是a的广义n-强Drazin逆.a的广义n-强Drazin逆若存在则唯一, 记为x=ansd.用Rnsd表示R中所有广义n-强Drazin可逆元之集.设R是环,a,b∈R, 如果存在可逆元s使得a=s-1bs, 则称a,b相似[11], 记为a～b.设R是环,a∈R, 如果存在元素b∈R, 使得b2=b∈comm2(a),ab∈Rqnil,a+b∈R-1, 则称a∈R是拟polar元, 且b是a的谱幂等[12].

2 基本性质

引理1[14]设R是环,a,b,c,d∈R满足acd=dbd,bdb=bac.则下列结论成立:

1) 如果ac∈Rd, 则bd∈Rd, 且(bd)d=b((ac)d)2d；

2) 如果ac∈Rqnil, 则bd∈Rqnil.

定理1设R是环,a,b,c,d∈R满足acd=dbd,bdb=bac,n∈.如果ac∈Rnsd, 则bd∈Rnsd, 且(bd)nsd=b((ac)nsd)2d.

证明: 假设ac∈Rnsd.由文献[5]可知ac∈Rd且(ac)d=(ac)nsd.由引理1中1)可知bd∈Rd, 且(bd)d=b((ac)d)2d=b((ac)nsd)2d.下面仅需证明(bd)n-bd(b((ac)nsd)2d)∈Rqnil.事实上, 令

p=b((db)n-1-(ac)nsd),q=((ac)n-1-(ac)nsd)a,

则pd=(bd)n-bd(b((ac)nsd)2d), 且qc=(ac)n-(ac)nsdac.注意到acd=dbd, 于是(ac)nd=(db)nd.因此下列等式成立:

qcd=(ac)nd-(ac)nsdacd=(db)nd-(ac)nsddbd=d[b((db)n-1-(ac)nsd)]d=dpd,

由假设ac∈Rnsd可知qc∈Rqnil.因为q,c,p,d满足引理1的条件, 故可得pd∈Rqnil.

下面考虑环中元素在acd=dbd,bdb=bac条件下, 广义n-强Drzain可逆元的Jacobson引理.

引理2设R是环,a,b,c,d,u,v∈R满足acd=dbd,bdb=bac, 且u,v∈comm(ac)∩comm(db).记

则ac′d=db′d,b′db′=b′ac′.

证明: 由条件可知如下等式成立:

因此b′db′=b′ac′.同理可得ac′d=db′d.证毕.

引理3[5]设R是环,a∈R,n∈.则a∈Rnsd当且仅当存在p∈R, 使得

p2=p∈comm2(a),an-p∈Rqnil.

注1文献[5]说明了这样的幂等元p=aansd是唯一的, 记1-p=aπ.

定理2设R是环,a,b,c,d∈R满足acd=dbd,bdb=bac,n∈.如果1-ac∈Rnsd, 则1-bd∈Rnsd.此时,

(1-bd)nsd=1+b[(1-ac)nsd-(1-ac)π(1-(1-ac)π(1-ac))-1]d.

证明: 假设1-ac∈Rnsd.由文献[5]可知1-ac∈Rd.由文献[12]中定理4.2知1-ac是拟polar元, 则由拟polar元的定义知(1-ac)π(1-ac)∈Rqnil, 故1-(1-ac)π(1-ac)是可逆的.记

v=(1-(1-ac)π(1-ac))-1,

y=1+b[(1-ac)nsd-(1-ac)π(1-(1-ac)π(1-ac))-1]d.

由文献[15]中定理2.5可知,y是1-bd的广义Drzain逆,y∈comm2(1-bd),y(1-bd)y=y.为证y=(1-bd)nsd, 只需证明(1-bd)n-(1-bd)y∈Rqnil.

事实上, 由于

y(1-bd)=1-b(1-ac)πvd=(1-bd)y,

因此

另一方面, 由于

ac(1-ac)π=(1-ac)π(1-(1-ac)π(1-ac)),

即(1-ac)π=ac(1-ac)πv, 从而

令

则易知(1-ac)π,v∈comm(ac)∩comm(db).由引理2知ac′d=db′d,b′db′=b′ac′.由于ac′=(1-ac)n-(1-ac)(1-ac)nsd, 且1-ac为广义n-强Drazin逆, 于是ac′∈Rqnil.由引理1中2)可知, (1-bd)n-(1-bd)y=b′d∈Rqnil.证毕.

受文献[16]中定理6.1的启发, 下面讨论广义n-强Drazin逆的幂等元, 可得以下结论.

定理3设R是环,a∈Rnsd,b∈R, 则下列条件等价:

1)b∈Rnsd,aπ=bπ;

2)aπ∈comm2(b),bn-aπ∈Rqnil;

3)b∈Rnsd,bnsd=(bnsda+bπ)ansd;

4)b∈Rnsd,ansd-bnsd=bnsd(b-a)ansd;

5)b∈Rnsd,aπ∈comm(b), 1-(bπ-aπ)2∈U(R);

6)b∈Rnsd,bnsdR⊂ansdR, (bnsd)°⊂(ansd)°.

证明: 1)⟺2).由引理3及注1易证.1)⟹5), 1)⟹6)显然.

1)⟹3).假设b∈Rnsd,aπ=bπ, 则aansd=bbnsd.从而有

(bnsda+bπ)ansd=bnsdaansd+bπansd=bnsdbbnsd+aπansd=bnsd.

3)⟹4).假设b∈Rnsd,bnsd=(bnsda+bπ)ansd, 则有

ansd-bnsd=ansd-(bnsda+bπ)ansd=(1-bπ-bnsda)ansd=bnsd(b-a)ansd.

4)⟹1).假设b∈Rnsd,ansd-bnsd=bnsd(b-a)ansd, 则有

bπ(ansd-bnsd)=bπbnsd(b-a)ansd=0.

注意到bπ(1-aπ)=bπansda=bπbnsda=0, 故bπ=bπaπ.类似可证aπ=bπaπ.所以aπ=bπ.

5)⟹1).假设b∈Rnsd,aπ∈comm(b), 1-(bπ-aπ)2∈U(R).由于bπ∈comm2(b), 因此bπaπ=aπbπ.注意到

1-(bπ-aπ)2=(1-bπ+aπ)(1-aπ+bπ),

故1-bπ+aπ,1-aπ+bπ∈U(R).另一方面, 有aπ(1-aπ+bπ)=aπbπ=bπ(1-bπ+aπ).于是

aπ=aπbπ(1-aπ+bπ)-1=aπbπ(1-aπ+bπ)(1-aπ+bπ)-1=aπbπ,

bπ=aπbπ(1-bπ+aπ)-1=aπbπ(1-bπ+aπ)(1-bπ+aπ)-1=aπbπ,

从而aπ=bπ.

6)⟹1).由条件(bnsd)°⊂(ansd)°, 可得Rbnsd⊂Ransd.由于ansd,bnsd是正则的, 故由文献[12]中命题3.1 以及条件(bnsd)°⊂(ansd)°, 得

(Rbnsd)°=(bnsd)°⊂(ansd)°=(Ransd)°.

从而

Rbnsd=°((Rbnsd)°)⊃°((Ransd)°)=Ransd,

于是Ransd⊂Rbnsd=Rbbnsd.另一方面, 由条件可知bnsdR⊂ansdR=aansdR, 因此存在x,y∈R, 使得ansd=ybbnsd,bnsd=aansdx.于是(1-aansd)bnsd=0=ansd(1-bbnsd)成立, 即ansd=ansdbbnsd,bnsd=aansdbnsd成立.从而可得aansd=aansdbbnsd=bnsdb=bbnsd.所以aπ=bπ.