一道典型物理问题的多解与点评

马 铁 瑛

(牡丹江市第一高级中学，黑龙江 牡丹江 157000)

在我省“新课程、新教材、新高考”形势下，基于“大单元教学思想”，立足于课堂，培养学生的创造性思维尤为重要。

创造性思维是适于解决新问题的想象或形成创造活动心像的思维。它一方面与一般思维有共同之处，同时又有其不同于一般思维的特点。创造性思维不仅能揭示客观事物的本质和内在联系，而且在此基础上能产生出新颖的前所未有的独特的思维成果。可见，创造性思维是创造力的核心，它包括发散思维、辐合思维、直觉、顿悟、灵感等成分。

创造性思维是以前人的认识为基础，有群体智慧的广泛交流，在经过个人的深加工，而形成的独到的新意卓识，它不仅具有新颖性、独创性，而且还带有个人色彩。

高中生的创造性思维是指通过自己的智能去发现并掌握他前所未知的知识技能，并在实践中运用，这些知识技能尽管是前人的思维成果，但对学生却是新颖的，中学生获得这样的成果，便体现了他们进行的是创造性思维。当然，这一般是属于初级的创造性思维。

在物理教学中，学生表现出的创造性思维是多方面的。例如，提出带有探索性的新颖问题。解题方法有所创新，或能一题多解。能把平时所学的知识进行归纳整理，使自己学法上有所创新。

其中，“一题多解”是发散性思维的一种表现形式。而发散思维(Divergent Thingking)，又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维，是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式，它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状。很多心理学家认为，发散思维是创造性思维的最主要特点，是测定创造力的主要标志之一。

笔者就以一道典型的物理试题为切入点，结合教学实践的切身体会，针对一题多解阐述如何在高中物理教学中培养学生的创造性思维能力。

例题：如下图所示，在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B,质量分别为m和2m；当两球心间的距离大于L(L比2r大得多)时,两球之间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于L时,两球间存在相互作用的、恒定的、大小为F的斥力。设A球从远离B球处以速度v0沿两球球心连心线向原来静止的B球运动,如图所示。欲使两球不发生接触,v0必须满足什么条件?

思路点拨：一般来说，不论采用何种格式，都应该鼓励学生从以下几个环节开展思考。

一是本题属于典型的“追及相遇”问题，可从两球“恰好接触，但不相撞的‘临界状态’”入手。

二是解决本题，尤其要关注“当两球心间的距离等于L时,两球间才开始出现相互作用的恒定的、大小为F的斥力”；此时，作为“开始计时的‘零时刻’”最为恰当。

三是“追及相遇”问题。首先，要满足空间位置关系。即二者位移xAxB大小之差等于原来的间隔距离；考虑到A、B两球的大小(均有不为0的半径r)，当二者接触时，必满足xA-xB=L-2r.

四是由于斥力存在，将导致二者相互作用的过程中均做匀变速直线运动；而二者“恰好接触，但不相撞时”，应保证二者“恰好‘共速’”，即vA=vB=v.

一、牛顿第二定律与匀变速直线运动规律结合

解法1：“常规格式”

1.令“两球心间的距离等于L时”为t=0时刻，并经t时间二者“恰好相遇”，并选v0方向为正方向。

解法2：“数理结合”

1.令“两球心间的距离等于L时”为t=0时刻，并经t时间二者“恰好相遇”，并选v0方向为正方向。

解法3：“利用v-t解题”

1.令“两球心间的距离等于L时”为t=0时刻，并经t0时间二者“恰好相遇”，并选v0

2.由题意，二者“恰好相遇”时，vA=vB=v；

据此，建立“v-t图像”，分别如图中A、B所示；

其中t0时刻A、B“恰好相遇”。

由“v-t图像”物理意义可知，“图像与时间轴包围的‘面积’代表研究对象在该过程发生的‘位移’”；而二者各自发生“位移之差”，即为“A、B图错包围的‘三角形面积’”，也就是

学生发现，以上三种解题格式的共性之处都是牛顿第二定律和匀变速直线运动规律的结合。它们既强调了运动和力的关系，也深入考察了运动规律，还强化了数理结合应该发挥的作用；既体现了学科内综合的特质，也充分反映了作为高考压卷题的辐射功能。

二、拓展提高

在牛顿的《自然哲学的数学原理》中，不仅阐述了著名的三大运动定律，还进一步总结了“力的平行四边形定则”“动量守恒”“质心运动”“相对性原理”“力系的等效原理”等六条重要推论；论述了碰撞问题，提出了非弹性碰撞的恢复系数、牛顿公式等。所有这些，连同对天上地上运动问题的解决，使三大定律立即显现出巨大的魅力，成为初具规模的力学体系。

在牛顿的三大定律之中，第一定律是基础，第二定律是核心，第三定律是补充，它们互相支撑、各放异彩。其中，第一定律只适用于“惯性参考系”，而第二定律不仅适用于惯性参考系，还能在合外力不等于零的条件下，完美地结合“非惯性参考系”，这就为我们解决运动和力的关系问题提供了更多的想象空间。运动是绝对的，静止是相对的，运动又具有相对性。据此，我们可以通过恰当选取参考系来分析解决本题。

(一)“相对”运动专题解析

解法1：

(2)A相对于B的初速度v相0=v0-0=v0，沿正方向。

即，A相对于B沿v0做匀减速直线运动。

2.二者“恰好相遇”时

(1)vA=vB；即，此时A相对于B的末速度v相=0；

(2)A对于B的位移x相=xA-xB=L-2r

解法2:

(2)A相对于B的初速度v相0=v0-0=v0，沿正方向。

即，A相对于B沿v0做匀减速直线运动。

2.二者“恰好相遇”时

(1)vA=vB；即，此时A相对于B的末速度v相=0；

(2)A相对于B的位移x相=xA-xB=L-2r；

(二)动量定理与动能定理结合

动量和动能都与物体的某一运动状态相对应的，它们都是状态量。动量是矢量，动能是标量。物体动量变化时，动能不一定变化；但动能变化时，动量一定发生变化。质量为m的物体的动量(p)与动能(Ek)的大小关系为：p2=2mEk。由此可见，动能相等的两物体，质量大的动量大。

动能定理：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化，即W=Ek2-Ek1，其研究对象通常是单一物体，或是可以看做单一物体的物体系统。它既适用于物体的直线运动，也适用于物体的曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既可以同时作用，也可以分段作用；既可以分段列式，还可以全程列式。

简而言之，物体动量的变化用所受合外力的冲量来量度，而物体动能的变化可用合外力对物体所做的功来量度。

解析(1)选初速度v0方向为正方向；

二者经时间t0“恰好相遇”而不相撞，此时vA=vB，可令vA=vA=v

对A、B分别施用动量定理如下：-Ft0=mv-mv0，Ft0=(2m)v-0

(2)对A、B分别施用动能定理如下，其位移分别为xA、xB

其中xA-xB=L-2r；

总之，动量定理反映了力对时间的累积效应，适用于不涉及物体运动过程中的加速度却不能回避运动时间的问题；动能定理反映了力对空间的累积效应，对于不涉及物体运动过程中的加速度和时间，而涉及力、位移、速度的问题，无论是恒力还是变力，一般都可以利用动能定理求解。

(三)动量守恒与能量守恒结合

动量守恒定律：系统不受外力或所受外力的合力为零，则系统的总动量保持不变。以两个物体组成的系统为例，常见的三种动量守恒的数学表达式有：p=p!，△p1=-△p2，m1v01+m2v02=m1v1+m2v2.通常，动量守恒定律的应用要注意4点：矢量性、瞬时性、相对性、普适性。能够利用动量守恒定律解决的问题，通常要满足的条件如下：系统所受合外力为零～“严格守恒”；系统所受合外力远小于系统内物体间的相互作用力～“近似守恒”；系统在某一方向上符合以上某一条件～“分动量守恒”。

能量转化和守恒定律：我们熟悉的动能定理、机械能守恒定律和功能关系，其实是不同背景、不同条件下的能量转化和守恒定律的具体体现。其中，机械能守恒定律是能量转化和守恒定律在机械运动中的特殊表述，它反映的是物体初末状态的机械能之间的关系，并且这种“守恒”也是有条件的：系统在只有重力(或系统内弹力，如轻弹簧弹力)做功的前提下，它的动能和势能(重力势能、弹性势能)相互转化，但总的机械能守恒。常用的表达式有Ek1+Ep1=Ek2+Ep2(单个物体)，或△Ep=-△Ek(单个物体)，或者△EA=-△EB(由A、B组成的系统)；而判断机械能是否守恒，常可以利用以下三种方法，一是利用“做功”判断：若只有重力(或轻弹簧弹力)做功，或者其他力做功的代数和为零，则机械能守恒；二是用“能量转化守恒”判断，若物体系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式的能量转化，则机械能守恒；三是对一些，如“绳子突然绷紧”、物体间“非弹性碰撞”等问题，机械能一定不会守恒。

解析：1.显而易见，A、B系统所受外力合力为零，系统动量守恒。

(1)选初速度v0方向为正方向；

(2)二者“恰好相遇”而不相撞时，vA=vB，可令vA=vB=v

2.该过程，系统克服恒定的斥力F做功，导致系统的机械能减少。

(1)A相对于B的位移x相=xA-xB=L-2r

通过这种格式，学生们不难发现，动量守恒定律和能量守恒定律既有相似之处，又有严格区别。

相似之处：

一是两个定律都是用“守恒量”来表示自然界的变化规律，研究对象均为物体系。运用“守恒量”表示物体系运动状态的变化规律是物理研究的重要方法，要善于用守恒定律处理问题。

二是动量守恒定律是在一定条件下才成立的，但能量转化与守恒定律却具有普适性。它们都是利用某一运动过程中前后两个状态的守恒量相等来表示物体系的规律特征的。因此，它们的表达式是相似的，且它们的表达式均有多种形式。

三是运用两个守恒定律解题都要注意其整体性(不是其中一个物体)、相对性(表达式中的速度和其他有关物理量必须是相对同一参考系，通常是惯性参考系。)、阶段性(满足条件后，各过程的始末状态守恒量均守恒)；求解问题时，都只需考虑运动的初状态和末状态，而不必考虑两个状态之间的细节与过程。

不同之处：

一是守恒量不同。动量守恒定律针对的守恒量是动量，能量守恒定律对应的是不同形式的能量。

二是守恒条件不同。动量守恒定律的适用条件是系统不受外力(或系统在某一方向上不受外力)，或者系统所受外力的合力等于零。或者系统所受合外力远小于系统内各物体之间的内力；而能量转化与守恒无处不在、无时不在，能量转化与守恒定律具有普适性，其特例如机械能守恒定律适用的条件却是只有重力或系统内弹力(如轻弹簧弹力)或者是只有重力和系统内弹力(如轻弹簧弹力)做功。

三是表达式不同。动量守恒定律的表达式是一个矢量式，而能量转化和守恒定律的表达式却是一个标量式。

总之，若研究对象为多个物体组成的物体系，且它们之间有相互作用，一般要优选两个“守恒定律”去解决问题，但必须注意研究对象是否满足定律的守恒条件。在涉及“相对位移”问题时，则优先考虑能的转化和守恒定律，即系统克服内力(如滑动摩擦力、本题中A、B之间相互作用的恒定斥力F)所做的总功等于系统机械能的减少量，系统的机械能转化为系统的内能；在涉及极短时间内发生的，诸如碰撞、爆炸、打击、轻绳绷紧等物理现象和板块模型时，必须注意到这些背景一般均隐含机械能与其他形式的能量之间的转化，动量守恒定律通常大有作为。

经过三节课的研讨，学生们达到一致共识，从力学规律的优选策略来看，针对动力学问题，如果直接用牛顿定律解决问题，需要分析过程中各种力的作用，而这些力并非总是恒力。因此，一些难于用牛顿定律解决的问题，应用守恒定律有可能易于解决。利用动量、能量相结合的思维方法可以“避重就轻”，回避运动细节，达到事半功倍的效果，大大提高解题的效率。更重要的是，守恒定律不仅给处理问题带来方便，而且有更深刻的意义。正因为自然界存在着“守恒量”，而且，某些守恒定律的适用范围很广，所以，在物理学中寻求“守恒量”已经成为物理学研究的一种重要的思想方法。

在针对如上典型习题教学研讨过程中，笔者支持学生们以小组为单位，预先布置、分组讨论，提出方案、逐一筛选，各组对比、去粗取精。......学生们乐于参与，积极热情。