第10届（1999年） “希望杯”全国数学邀请赛试题初中一年级第1试

一、选择题

1.0-（0-1999）=（）

（A）19.99.（B）-1999.

（C）1999.（D）0.

2.下面四个命题中正确的是（）

（A）1是最小的正有理数.

（B）-1是最大的负有理数.

（C）0是最小的正整数.

（D）0是最大的非正整数.

（A）1.（B）-1.

（C）0.（D）2.

4.设a<0，则下述命题中正确的是（）

（A）a的偶次方的偶次方是负数.

（B）a的奇次方的偶次方是负数.

（C）a的奇次方的奇次方是负数.

（D）a的偶次方的奇次方是负数.

5.一元一次方程2x+1=0有（）

（A）正整数解.（B）负整数解.

（C）正分数解.（D）负分数解.

6.设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a-b+c=（）

（A）-1.（B）0.

（C）1.（D）2.

8.a，b，c三个整数满足a

（A）a+c

（C）ab

（A）a>b.（B）a=b.

（C）a

（A）5%.（B）10%.

（C）15%.（D）20%.

二、A组填空题

12.若a，b，c是1998的三个不同的质因数，且aa=________.

14.如图1，矩形ABCD的面积为1，BE：EC=5：2，DF：CF=2：1，则△AEF的面积的大小为________.

16.计算2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-2⁷-2⁸- 2⁹+2¹⁰=________.

17.已知1999xⁿ⁺⁷和10x^2m+3是同类项，则（2m-n）²=________.

19.一次测验共出5道题，做对一题得1分.已知26人的平均分不少于4.8，最低得3 分，至少有3人得4分.则得5分的有________人.

三、B组填空题

22.若长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，则长方形的面积等于________.

23.将一筐桔子分给若干个儿童，如果每人分4个桔子，则剩下9个桔子;如果每人分6个桔子，则最后一个儿童分得的桔子数将少于3个，由以上可推知共有________个儿童分________个桔子.

25.某种出租汽车的车费是这样计算的：路程在4公里以内（含4公里）为10.40元，达到4公里以后，每增加1公里加1.60元;达到15公里后，每增加1公里加2.40元，增加不足1公里时按四舍五人计算. 则乘坐15公里该种出租车应交车费________元.某乘客乘坐该种出租车交了车费95.20元，则这个乘客乘该出租车行驶的路程为________公里.（精确到两位小数）

参考答案

一、选择题

提示

1.因为0-（0-1999）=0-0+1999=1999，所以选（C）.

2.可用特殊值法.

0既不是正数，也不是负数，否定（C）.

非正整数集是{…，-n，…，-3，-2，-1，0}，其中最大元素是0，所以选（D）.

所以a=±1.

因此a⁴=1.

选（A）.

4.有理数的偶次方得非负数.即可排除（A）、（B）.a<0而a的偶次方是正数，正数的奇次方是正数，所以排除（D），因此应选（C）.事实上a<0，a的奇次方是负数，负数的奇次方仍是负数，所以选（C）.

6.最小的自然数是1，所以a=1.-1是最大的负整数，故b=-1.0是绝对值最小的有理数，c=0.因此，a—6+c=1-（―1）+0=2.

选（D）.

7.将每个数都加1，大小次序不变.

选（B）.

8.用特殊值法.

取a=0，易知（C）、（D）均不成立.而當a=-1，b=0，c=1时，（B）不成立，因此选（A）.

事实上，a

a+c

所以选（C）.

10.设1998年的产值为1，则1999年产值为1+x，2000年产值为

（1+x）+（1+x）x=（1+x）².

要求（1+x）²=1.44，

因为（±1.2）2=1.44，并且x>0，

所以1+x=1.2.x=0.2=20%.

选（D）.

二、A组填空题

提示

12.1998=2×3³×37，

故不同的三个质因数只能是a=2，b=3，c=37.

（b+c）^a=（3+37）²=40²=1600.

这999个式子相乘得

则①+②得

16.直接计算可以求出结果2-4-8-16-32-64-128-256-512+1024=6.

如果注意到2¹⁰前面为“+”号，可巧算：

原式

=2¹⁰-2⁹-2⁸-2⁷-2⁶-2⁵-2⁴-2³-2²+2

=2⁹（2-1）-2⁸-2⁷-2⁶-2⁵-2⁴-2³-2²+2

=2⁹-2⁸-2⁷-2⁶-2⁵-2⁴-2³-2²+2

=2⁸（2-1）-2⁷-2⁶-2⁵-2⁴-2³-2²+2

……

=2²（2-1）+2=6.

此題，若利用（2⁰+2¹+…+2^n-1）+1=2ⁿ，则更简单.

17.由1999xⁿ⁺⁷与10x^2m+3是同类项，应有

2m+3=n+7，

所以2m-n=4，

两边平方得（2m-n）²=4²=16.

19.由于平均分不少于4.8，26人的总分不少于26×4.8=124.8.由于总得分不会出现小数，所以26人的总分不少于125分.

在总分中减去一个3分，再减去3个4分，剩下的22人的总分不少于110分.如果这22人中有一个人没得5分，则他们的总得分小于22×5=110，这是不可能的，所以得5分的学生数是22人.

20.由图3可知：

=-（a+b）-[-（b-1）]-[-（a-c）]

-（1-c）

=-a-b+b-1+a-c-1+c

=-2.

三、B组填空题

所以a取得0，1，2，3，4，5，6这七个值，这七个值的和为0+1+2+3+4+5+6=21.

22.设长方形的长和宽分别为x，y，由题意得

xy=2x+2y（其中x、y为正整数）

由此知x-2是4的正约数.

即x-2=1或2或4.

所以x=3或4或6.

相应地y=6或4或3.

因此，长方形面积为18或16.

23.设儿童人数为1，由题可得

0≤（4x+9）-6（x-1）<3，

即0≤-2x+15<3，

解得6

由于人数是整数，所以x=7.

桔子数为4x+9=4×7+9=37.

答：有儿童7人，分桔子37个.

24.若3x-y≥0，则x，y满足下列方程组

这是不可能的，所以只能3x-y<0，进而得

25.乘客若乘15公里路程，车费应是

10.40+（15-4）×1.60=28.00（元）.

现某乘客共花费用95.20元，设所程路程x公里，显然x>15，其中前15公里车费是28.00元，x-15公里路程的车费应为2.40（x-15），

所以2.40（x-15）+28.00=95.20.

解得x=43（公里）.