利用赵爽弦图解题3例

孙志东

【摘要】本文借助于赵爽弦图中大小两个正方形边长之间的关系，解决了含赵爽弦图或类赵爽弦图的三个问题.

【关键词】赵爽弦图;大小正方形边长的关系;类赵爽弦图

三国时期的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（如图1），他用形数结合的方法，给出了勾股定理的一种简洁证明，这种证明方法构思巧妙，给我们很多启发.

其实它是由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间恰好形成一个小正方形（如图2）.

设Rt△ABE的三边分别为BE=a，AE=b（b>a），AB=c，则a²+b²=c²，且大、小两个正方形的边长分别为c，b-a.

抓住赵爽弦图大、小正方形的边长之间的关系，就抓住了赵爽弦图的关键特征，可以灵活地来进行解题.下面举三例来说明其应用.

例1如图3，E，F，G，H分别为正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5，则大正方形的边长应该是（）

由F，H为正方形对边BC，AD的中点可知

AF∥CH，

选（C）.

例2如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG，正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接DH，IJ.图中两块阴影部分面积分别记为S₁，S₂，若S₁：S₂=1：4，四边形BAHE的面积为27，则四边形MBNJ的面积为________.

解大正方形BAHI及其内部恰好符合弦图结构，设BC=a，AC=b，AB=c，则

所以b²=27，

因为S₁：S₂=1：4，

所以a²=4（b-a）²，

因为S_MBNJ=S_BGJM+S_△BNG=S_AKGN+S_△BNG

例3如图5，四边形EFGH是正方形ABCD的内接四边形，且FH=3，EG=4，四边形EFGH的面积是5，求正方形ABCD的面積.

解从已知条件看，正方形及其内部不是赵爽弦图，我们不妨构造如图6的“类赵爽弦图”，即分别

过点E，F，G，H作AB，BC，CD，AD的垂线，得到矩形MPQN.设PQ=a，PM=b，正方形ABCD的边长为x.

由①得（ab）²=（10-x²）²，④

由②③得a²b²=（9-x²）（16-x²），⑤

由④⑤得（9-x²）（16-x²）=（10-x²）²，

即x⁴-25x²+144=x⁴-20x+100，