中考最值问题分析及解题技巧

刘贤华

【摘要】最值问题涉及函数问题，平面几何和立体几何问题，实际应用问题等等，考查面比较广泛.

【关键词】最值;图形;函数

最值问题是近几年中考的热点考向，主要涉及平面几何图形中的最值问题、函数中的最值问题、与立体图形有关的最值问题等等，函数最值问题主要是利用二次函数求最值.立体图形的最值问题往往需要转化为平面图形来解决.化归是解决最值问题的关键.本文归类总结这些问题的考查方向和解题策略.

1平面几何图形中的最值问题

1.1点到直线的距离中垂线段最短

例1已知在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5.点E为边AC的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是（）

分析作点F关于直线AB的对称点F′，如图所示，此时EF+EB=EF′+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可.

解作点F关于直线AB的对称点F′，连接AF′如图所示，

由对称性可知

EF=EF′，

此时EF+EB=EF′+EB，

由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，

当BF′⊥AF′时，EF+EB有最小值BF₀，此时E位于上图中的E₀位置，由对称性知，

∠CAF₀=∠BAC=90°-75°=15°，

所以∠BAF₀=30°，

故选（B）.

1.2利用将军饮马模型求最值

例2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′.如图2，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE.在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值;若不存在，请说明理由.

分析通过对称进行等量代换，转化成两点之间的距离或点到直线的距离，或利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值.

解DE存在最小值1，理由如下：

过A作AP∥A′C′交C′D延长线于P，连接A′C，如图3.

因为△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，

所以BC=BC，

∠ACB=∠A′C′B=90°，

AC=A′C′，

所以∠BCC′=∠BC′C，

而∠ACP=180°-∠ACB-∠BCC′

=90°-∠BCC′，

∠A′C′D=∠A′C′B-∠BC′C=90°-∠BC′C，

所以∠ACP=∠A′C′D，

因为AP∥A′C′，

所以∠P=∠A′C′D，

所以∠P=∠ACP，

所以AP=AC，AP=A′C′，

在△APD和△A′C′D中，

所以△APD≌△A′C′D（AAS），

所以AD=A′D，

即D是AA′中点，

因为点E为AC的中点，

所以DE是△AA′C的中位线，

要使DE最小，只需A′C最小，此时A′，C，B共线，A′C的最小值为A′B-BC=AB-BC=2，

1.3利用完全平方公式求最值

例3在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA²+PB²+PC²取得最小值时，下列结论正确的是（）

（A）点P是△ABC三边垂直平分线的交点.

（B）点P是△ABC三条内角平分线的交点.

（C）点P是△ABC三条高的交点.

（D）点P是△ABC三条中线的交点.

解过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图4，

因为∠A=90°，

PD⊥AC，PE⊥AB，所以四边形AEPD是矩形，设AD=PE=x，

AE=DP=y，

Rt△AEP中，AP²=x²+y²，

Rt△CDP中，CP²=（8-x）²+y²，

Rt△BEP中，BP²=x²+（6-y）²，

所以AP²+CP²+BP²

=x²+y²+（8-x）²+y²+x²+（6-y）²

=3x²-16x+3y²-12y+100

因为∠A=90°，PD⊥AC，

所以PD∥AB，

所以AM=3，

即M是AB的中點，

所以P是△ABC三条中线的交点，

故选（D）.

2函数中的最值问题

例4某快餐店销售A，B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2 份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是________元.

分析根据题意，总利润=A种快餐的总利润+B种快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可.

解设A种快餐的总利润为W₁，B种快餐的总利润为W₂，两种快餐的总利润为W，设A快餐的份数为x份，则B种快餐的份数为（120-x）份.

据题意

所以W=W₁+W₂=-x²+104x-2400

=-（x-52）²+1264，

所以当x=52的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元.

在中考试题中与最值问题有关的考题非常多，在此仅仅举几个典型例题，探讨这类问题的常用解题思路及解题技巧.