用好斜边上的中线

李玉荣

【摘要】斜边上的中线是直角三角形的一条重要线段，适时构造，助你解题.

【关键词】直角三角形;斜边;中线

定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

應用举例：

例1如图1，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P.

（1）求证：CP=CB;

（2）若OB=4，CB=3，求线段BP的长.

解（1）略;

（2）因为BC是⊙O的切线，

所以∠OBC=90°，

由（1）知CP=CB=3，

所以OP=OC-CP=2.

取AP的中点D，连接OD，

则OD=DP，

所以∠DOP=∠DPO=∠CPB=∠CBP，

所以△DOP∽△CBP，

例2如图2，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，将△AOB绕顶点。逆时针旋转到△A′OB，处，此时线段A′B′与BO的交点E恰为BO的中点，则线段B′E的长为________.

分析如图2，因为AO=3，BO=6，

取A′B′的中点F，连接OF，

所以∠EA′O=∠FOA′，

因为∠A′EO=∠OA′E，

所以∠A′EO=∠FOA′，

又∠OA′E=∠FA′O，

所以△OA′E∽△FA′O，

例3如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是平面内一个动点，且AP=3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是________.

解如图3，取AB的中点M，连接QM，CM，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

所以AB=10，

因为点M是AB的中点，

因为点Q是PB的中点，点M是AB的中点，

在△CMQ中，CM-MQ

解如图4，延长CB交l₁于点E，

因为l₁∥l₂∥l₃，

且△CBD∽△CEA，

因为∠ABC=90°，

所以∠ABE=90°，

取AE中点M，连接BM，则

例5如图5.△ABC中，∠ACB=90°，点E为BC中点，以AC为直径的⊙O与AB交于点D，

（1）求证：DE是⊙O的切线;

解（1）略;

（2）如图5所示，取AF中点M，连接CM，

因为∠ACF=90°，

因为AC为⊙O的直径，

所以CG⊥AF，

所以CG≤CM，

思考题你能用本文介绍的方法证明“HL”定理吗？