这样判定矩形

周雪

【摘要】矩形是特殊的平行四边形，它既是平行四边形的应用又是学习正方形的基础，具有至关重要的作用，探究并证明矩形的判定定理，证明一个四边形是矩形是中考常见的题目，下面对矩形的三个判定方法进行举例说明.

【关键词】矩形;证明

1有一个角为直角的平行四边形是矩形

例1如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF.

（1）写出由条件“△ABC沿BC方向平移，得到△DEF”直接得到的两个结论，且至少有一个结论是线段间的关系;

（2）判断四边形ACFD的形状，并证明.

分析（1）根据平移的性质，可得到结论;

（2）根据平移的性质可说明四边形ACFD是平行四边形，再根据∠DFE=∠ACB=90°，即可判定四边形ACFD是矩形.

解（1）①AD∥BE或AD=BE;

②∠B=∠DEF.（答案不唯一）

（2）四边形ACFD是矩形.证明如下：

因为△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，

所以AD∥CF，AD=CF，

所以四边形ACFD是平行四边形，

因为∠DFE=∠ACB=90°，

所以四边形ACFD是矩形.

例2如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF.

（1）求证：BD=DC.

（2）若AB=AC时，试证明四边形AFBD是矩形.

分析（1）由“AAS”可证明，得到

BD=DC;

（2）由AF平行且等于BD，得到四边形AFBD是平行四边形，利用等腰三角形三线合一，可知AD⊥BC，即可说明四边形AFBD是矩形.

证明（1）因为AF∥BC，

所以∠AFE=∠DCE，

因为E是AD的中点，

所以AE=DE，

又因为∠AEF=∠DEC，

所以△AEF≌△DEC（SSA），

所以AF=DC，

因为AF=BD，

所以BD=DC.

（2）因为AB=AC，D是BC的中点，

所以AD⊥BC，

所以∠ADB=90°，

因为AF=BD，AF∥BC，

所以四边形AFBD是平行四边形，

又因为∠ADB=90°，

所以四边形AFBD是矩形.

2对角线相等的平行四边形是矩形

例3如图3，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM=DN，AC=2MO，求证：四边形AMCN是矩形.

分析根据平行四边形的性质可得四边形AMCN是平行四边形，只需说明MN=AC即可.

證明因为四边形ABCD是平行四边形，

所以OA=OC，OB=OD，

因为BM=DN，

所以OB-BM=OD-DN，

即OM=ON，

因为OA=OC，

所以四边形AMCN是平行四边形，

因为OM=ON，

所以MN=2MO，

因为AC=2MO，

所以MN=AC，

所以四边形AMCN是矩形.

例4如图4，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，B交BC于点F.

（1）求证：AC=BE;

（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE.求证：四边形ABEC是矩形.

分析（1）先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，再由CE=DC，可得四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形的性质即可说明.

（2）根据四边形ABCD是平行四边形得到∠ABC=∠D，再由∠AFC=2∠ABC，∠AFC=∠ABC+∠BAF，得到∠BAF=∠ABC，利用等角对等边得到FA=FB，进而得出AE=BC，即可说明四边形ABEC是矩形.

证明（1）因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB∥CD，AB=CD，

因为CE=DC，

所以AB∥EC，AB=EC，

所以四边形ABEC是平行四边形，

所以AC=BE.

（2）因为四边形ABEC是平行四边形，

所以FA=FE，FB=FC，

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以∠ABC=∠D，

因为∠AFC=2∠D，

所以∠AFC=2∠ABC，

因为∠AFC=∠ABC+∠BAF，

所以∠BAF=∠ABC，

所以FA=FB，

所以FA=FE=FB=FC，

所以AE=BC，

所以四边形ABEC是矩形.

3有三个角是直角的四边形是矩形

分析根据垂线的定义得到∠CEB=∠DEB=∠DFB=90°，可说明四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得.

证明因为BE⊥CD于点E，

DF⊥AB于点F，

所以∠CEB=∠DEB=∠DFB=90°，

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以CD∥AB，

∠EBF=∠CEB=90°，

因为四边形DFBE是矩形，

所以BE=DF.

分析利用平行线的性质可得∠DAB+∠ADC=180°，再根据角平分线可得∠FAD+∠FDA=90°，即∠AFD=90°，同理可得∠BHC=∠HEF=90°，即可说明四边形EFGH是矩形.

证明因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB∥CD，

所以∠DAB+∠ADC=180°，

因为AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，

所以∠DAF+∠FDA=90°，

即∠AFD=90°，

同理可得∠BHC=∠HEF=90°，

所以四边形EFGH是矩形.