如何由图象确定字母或代数式的符号
2022-07-06孙晓莉
孙晓莉
【摘要】二次函数是初中数学的重点内容之一，其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量有价值的信息，用好这些信息有助于培养和提高同学们分析问题，解决问题的能力.
【关键词】图象;系数;字母;代数式;符号
二次函数图象与系数关系的相关考题是历年各地中考的热点，这是一类比较难的题型.特别是根据图象来判断字母或代数式的符号问题，不少同学感到困难，而此类问题是近年来中考中出现比较频繁的一类题型，应该说它的再生力和潜在力比较强，应值得大家注意.这里对其常见考题进行解析，以便同学们在学习中能更好地去把握它.
1系数a，b，c符号的确定
1.1a的确定
二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0.
①当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大;
②当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.
1.2b的确定
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.
①在a>0的前提下，
②在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即
1.3c的确定
①当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
②当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
③当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.
2判断a与c，b与c的关系
解答策略：先根据对称轴判断a与b之间的关系.再结合①x=±1时，出现a±b+c;②x=±2时，出现4a±2b+c;③x=±3时，出现9a±3b+c;消元即可推出a与c，b与c的关系.
3出现2c时
解答策略：通常代入x=1或x=-1，然后将得到的式子乘2，出现2c后，再根据对称轴找到a和b之间的关系，进行等量代换.
4含4cb，b2，8a等式子时与函数最值之间的关系
5判断系数的取值范围
解答策略：通常把要判断的字母转化成c，根据与y轴交点的范围，判断原系数的取值范围.
6与不等式ax2+bx+c>n结合，求x的取值范围
解答策略：结合图象判断而不是去解不等式.
7一元二次方程当y=n时根的情况或者求根与系数的关系
解答策略：令y=n，现察图象对应x的情况.根据二次方程根与系数的关系
8判断a+b≥m（am+b）时
解答策略：不等式左右两边分别加上c，不等式的左边为函数的最值，右边为x=m时对应y的值.
例1已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论：
①abc>0;
②b2<4ac;
③2c<3b;
④a+2b>m（am+b）（m≠1）;
（A）2个.（B）3个.（C）4个.（D）5个.
=m（m≠1）时，即a+b+c>am2+bm+c，则可对④进行判断;由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断.
解①因为抛物线开口方向向下，所以a<0，因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c>0，因为对称轴在y轴右侧，所以b>0，
所以abc<0，①错误;
②因为抛物线与x轴有两个交点，
所以b2-4ac>0，
所以b2>4ac
故②错误;
③因为抛物线的对称轴为直线x=1，
由图象得，当x=-1时，y=a-b+c<0，
所以2c<3b，
故③正确;
④当x=1时，y=a+b+c的值最大，
所以当x=m（m≠0）时，a+b+c>am2+bm+c，
所以a+b>m（am+b）（m≠1），
因为b>0，
所以a+2b>m（am+b）（m≠1），
故④正确;
所以正确的结论是③④，故选（A）.
注本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0時，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧;当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧.常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）.抛物线与x轴交点个数由Δ决定：
Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点;
Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;
Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.
例2如图2，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为x=-1，结合图象给出下列結论：
①a+b+c=0;
②a-2b+c<0;
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为-3和1;
④若点（-4，y1），（-2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1
⑤a-b （A）1个.（B）2个.（C）3个.（D）4个. 分析根据二次函数的图象及性质逐项分析即可判断. 解因为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），所以当x=1时，a+b+c=0，故结论①正确;根据函数图象可知，当x=-1，y<0， 即a-b+c<0， 根据抛物线开口向上，得a>0， 所以b=2a>0， 所以a-b+c-b<0， 即a-2b+c<0， 故结论②正确; 根据抛物线与x轴的一个交点为（1，0）， 对称轴为x=-1可知：抛物线与x轴的另一个交点为（-3，0）， 所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为-3和1，故结论③正确; 根据函数图象可知：y2 综上：①②③正确，故选（C）. 注本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系.
