三角形中角平分线的一个结论及应用

吴国庆 朱杰

【摘要】学习了三角形角平分线后，经常会遇到涉及三角形中线段的比的问题，本文对其图形结论进行归纳，并例析其应用.

【关键词】三角形角平分线;结论;应用

八年级学生学习了三角形角平分线后，经常会遇到涉及三角形中线段的比的问题，本文对其图形结论进行归纳，并例析其应用.

分析问题条件只有一个三角形和该三角形的一条角平分线，学生初步接触三角形的相关知识，如何得到这四条线段的比例关系？

由于学生的知识不足，方法不丰富，显然有难度，这里可以用面积的相关知识来证明.

证明过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥AC，垂足分别为E，F.

因为AD平分∠CAB，

所以DE=DF.

上面结论为：三角形的一条角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.问题结论非常和谐，在解决相关问题中，发现并应用这一结论，对于问题解决尤为重要，下面举例说明.

例1如图2，Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠ECD=90°，C4=CB=3，CE=CD，点A在DE上，若AE：AD=1：2则Rt△ABC和Rt△DEC重叠部分的面积为（）

分析问题中求△ACF的面积，直接由三角形面积公式难求出，由于△ACB的面积可求，问题可以思考△ACF和△ACB的面积关系，能够求出AF和AB的关系即可.

解连接BD，设AB和CD交于点F.

因为∠ACB=∠ECD=90°

所以∠ACE=∠BCD.

又因为EC=DC，AC=BC，

所以△ECA≌△DCB，

所以∠CDB=∠AEC=∠ADC=45°

BD=AE.

因为AE：AD=1：2，

所以BD：AD=1：2.

由“角平分线结论”知

BD：AD=BF：AF=1：2，

即AF：AB=2：3，

故选（C）.

接AE，交BC于F，若BF=a，CB=b，则AC=________.（用含a，b的式子表示）.

分析问题中隐藏着“EA为∠CAB的角平分线”，即∠FAB=∠FAC=20°，由BF=a，CB=b可得CF=b-a，构造等边三角形BKA，由三角形全等可以用a，b表示等边三角形BKA的边长BK，即表示出AB，再由“角平分线结论”可以进一步表示出AC.

解过点E作EI⊥AD，EH⊥CB，EG⊥AB交AB延长线于G，延长BC至K使得BK=AB，连接AK.

因为∠CBA=60°，

所以△ABK为等边三角形.

因为∠ABC=∠EBC=60°，

所以∠EBG=∠EBC=60°，

EG=EH.

所以2∠BCE+∠ACB=180°，

∠ECD=∠ECB，

所以EI=EH，EI=EG.

所以∠EAB=∠EAD=∠CAK=20°，

△CKA≌△FBA.

所以KC=FB，

因为BF=a，CB=b，

所以CF=b-a，CK=BF=a，

BK=AB=b+a.

由“角平分线结论”知

AC：AB=CF：FB，

解在AB上取AE，BF，使得AE=AD，BF =BC，连接OE，OF.

因为AC，BD分别平分∠DAB和∠ABC，

∠DAB+∠ABC=90°，

所以△DAO≌△EAO，

△CBO≌△FBO，

∠AOB=135°，

所以∠AOD=∠AOE=∠EOF

=∠BOF=∠COB

=45°，

DO=OE，BO=4OD，

所以BO=4OE.

在△EOB中，OF平分∠EOB，

由“角平分線结论”知

BO：EO=BF：FE=4：1，

设BF=BC=4a，

EF=a，

DA=AE=x，

在△DAB中，AO平分∠DAB，

由“角平分线结论”知

DA：AB=DO：BO=1：4，

在△ABC中，BO平分∠ABC，

由“角平分线结论”知

故选（B）.