共线同高三角形的性质及推广

牟娜

【摘要】共线同高的三角形是指两个三角形的两条边在同一条直线，且这两条边的高为同一条线段.根据三角形的面积公式，得共线同高的三角形的面积比等于底的比，反过来，共线同高的三角形底的比等于三角形的面积比，这一性质是解答共线同高三角形面积问题的重要依据.

【关键词】共线同高;面积比

例如图1，延长△ABC的三边分别至D，E，F，使AB=2BD，BC=2CE，CA=2AF，则△DEF与△ABC的面积比为________.

解因为S_△BDF：S_△ABF：S_△ABC=1：2：4，设S_△ABC=4，则

S_△ADF=S_△BED=S_△CEF=3，

于是S_△DEF=13，

故S_△DEF：S_△ABC=13：4.

变式1如图1，延长△ABC的三边分别至D，E，F，使，AB=nBD，BC=nCE，CA=nAF（n>0），则△DEF与△ABC的面积比为________.

解因為S_△BDF：S_△ABF：S_△ABC=1：n：n²，设S_△ABC=n²，则

S_△ADF=S_△BED=S_△CEF=n+1，

于是S_△D_EF=n²+3n+3，

所以△DEF与△ABC的面积之比为

（n²+3n+3）：n².

变式3如图1，延长△ABC的三边分别至D，E，F，使AB=mBD，BC=nCE，CA=tAF（m，n，t>0），则△DEF与△ABC的面积比为（mnt+mn+mt+nt+m+n+t）：mnt.

推广如图2，延长凸四边形ABCD的四边分别至E，F，G，H，使AB=nBE，BC=nCF，CD=nDG，DA=nAH（n>0），求四边形EFGH与四边形ABCD的面积比.

解由变式1，得

S_△AEH：S_△ABD=S_△CFG：S_△BCD=（n+1）：n².

由等比定理，得

（S_△AEH+S_△CFG）：S_{四边形ABCD}=（n+1）：n²，

同理可得（S_△BEF+S_△DGH）：S_{四边形ABCD}=（n+1）：n²，

所以四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为（n²+2n+2）：n².

练习