磁场对湿颗粒流化床系统中介尺度结构影响机制研究

唐天琪，何玉荣

（1 哈尔滨工业大学能源科学与工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001； 2 黑龙江省新型储能材料与储能过程研究重点实验室，黑龙江 哈尔滨 150001）

引 言

流态化技术由于具有传热传质效率高、反应器内温度均匀等优点，在化工行业、太阳能转化与利用以及清洁能源转化等各个方面有着广泛的应用[1-2]。其中，反应器内部气固两相流动在气固两相之间非线性相间曳力和固相应力、不同反应器结构和操作条件的影响下，系统内很容易产生非均匀的介尺度流动结构，如颗粒聚团、气泡等[3-4]。这些介尺度结构的存在对于反应器内的流动及传热传质特性有着明显的影响。因此，研究者们针对介尺度结构对气固两相流动特性[5]、传热特性[6]影响展开了相关研究。其中，对介尺度结构演化过程规律的探索、优化和调控成为了研究的重点。

含湿气固两相系统作为实际化工领域常见的现象之一，液体的存在导致了气固两相系统中流动结构发生明显的变化，从而导致湿颗粒系统中的介尺度结构与非含湿气固两相系统有着明显差异。例如，Boyce 等[7]利用CFD-DEM（computational fluid dynamics-discrete element method）方法研究了湿颗粒在流化床中的流动特性，并通过特征数表征了不同阶段颗粒聚团流动行为。Zhao 等[8]应用CFDDEM 方法探究了埋管分布、黏结力以及流化气速等因素对流化床中湿颗粒系统流动特性的影响，并指明了流化床中容易产生气体通道和颗粒聚团的区域。Song 等[9]应用CFD-DEM 方法预测了不同碰撞速度、液体含量、液体黏度和表面张力等因素影响下的颗粒碰撞和黏结行为，研究结果表明当液体黏结作用进一步提高时，湿颗粒的内循环受到抑制，气体通道变得更加稳定。Liu 等[10]、Balakin 等[11]采用DEM 方法分别分析了单颗粒碰撞、颗粒聚团碰撞特性和颗粒聚团流动行为。Cheng 等[12]结合粒子图像测速技术并基于“形成-破碎”竞争机制，提出了湿颗粒聚团演化模型来预测不同条件下颗粒聚团的演化特征。Wang 等[13]通过实验测量的方法探究了湿颗粒流化床中的气泡动力学，结果表明液桥力和曳力的相互影响机制是改变湿颗粒系统最小流化速度的主要原因。由此可见，液体的存在导致气固两相系统形成颗粒聚团和气泡等介尺度结构、宏观气固两相流流体动力学特性发生改变。因此，对湿颗粒系统中介尺度结构演化规律进行分析和研究具有重要的研究意义。

目前，国内外研究者通过添加外加物理场，如电场、声场、磁场等，对流化床内的气固两相流动特性进行调控和研究。如van Willigen 等[14-15]分析了颗粒对电场的定性响应特性，探究了电场减小流化床中气泡尺寸的原因和机理。Zhu 等[16]研究了声场对纳米颗粒聚团的流化状态、最小流化速度、床层压降和床层膨胀等流化特性的影响。此外，由于磁流化床在物料筛分等实际工程领域的广泛应用，磁场对流化床中气固两相流动特性的影响同样得到了研究者的关注。Zhu 等[17-18]对Geldart-B 可磁化颗粒及可磁化颗粒和不可磁化颗粒的双组分系统在磁流化床中的流体动力学行为进行了研究，分析了磁场改善流化质量的原因，研究结果表明随着磁场强度的增加气泡尺寸减小，但气泡生成频率增加，流化质量逐步提高。李响[19]、杨慧等[20]分别通过数值模拟的方法研究了磁场自身特性对宏观流动参数的影响，以及磁场强度对气固流化床内气含率、压力波动均方根等参数的影响规律。此外，磁场的特性对流态化特性也有着明显影响。例如，Espin 等[21]研究了磁场强度、磁场方向以及流化气速等因素对流态化的影响，研究指出当磁场方向与气流方向一致时，流态化的稳定性达到最佳状态。毛志等[22]针对二维溃坝问题进行DEM 数值模拟，分别研究磁场和液体对颗粒行为的影响。由此可见，磁场对于气固两相流动特性以及其内部的聚团、气泡等介尺度结构有着明显的影响，而目前对于磁场对湿颗粒系统中介尺度结构影响机制仍有待进一步研究。

本文采用DEM 方法对鼓泡流化床中典型的介尺度结构演化过程展开研究，并分析外加匀强磁场对含湿颗粒系统中介尺度结构演化过程的影响。首先，在没有外部磁场的情况下，对干、湿颗粒系统中气泡的演化过程进行分析。在此基础上，引入外加匀强磁场，分析湿颗粒系统中介尺度结构在磁场作用下的演化机制。通过分析气泡受力、气泡边缘处颗粒接触力、磁场力以及曳力，获得不同磁场对湿颗粒系统中气泡结构演化过程的主要影响因素，为后续介尺度结构的演化和调控提供理论基础。

1 数学模型

1.1 气相控制方程

本文中采用CFD-DEM 数值模拟方法研究磁场对湿颗粒流化床内介尺度影响机制。在CFD-DEM方法当中，流体相的流动过程通过流体动力学方法进行计算，计算过程中视为连续相，质量守恒方程和动量守恒方程基于体积平均Navier-Stokes 偏微分方程组进行数值求解。气相运动控制方程为[23]：

如果气体为牛顿流体，则黏性应力张量τg为：

单位张量I为：

1.2 颗粒控制方程

DEM 方法中，颗粒的运动通过牛顿第二运动定律进行求解，无外加物理场情况下，颗粒受到颗粒之间或颗粒与壁面之间的碰撞作用、气体对颗粒的作用以及颗粒自身受到重力的作用。在外加磁场下，颗粒受到磁场力的作用；当系统中存在液体时，颗粒间受到液桥力作用，如式（5）所示[24]：

颗粒在转矩的驱动下进行旋转，转矩Tp包含由接触力和液桥力在切向方向上的分量以及滚动摩擦产生的转矩，颗粒的旋转速度ωp为[24]：

在本文中，采用的软球碰撞模型，允许颗粒碰撞瞬间产生轻微形变，而颗粒发生形变导致颗粒旋转过程中受到阻力，颗粒的旋转运动发生改变。该部分通过滚动摩擦转矩Tr表示[25]：

1.2.1 接触力 如式（5）所示，颗粒合外力项包括气体对颗粒的作用、颗粒碰撞产生的接触力、液体对颗粒的液桥力以及磁场力等作用。在本文中，颗粒间和颗粒与壁面间碰撞力通过软球碰撞模型进行求解，该模型定量描述了颗粒碰撞过程的动态运动过程和能量损耗，并分解为切向和法向两个方向[26]：

1.2.2 液桥力 对于湿颗粒系统，需要考虑液体对颗粒运动特性的影响。目前通过建立液桥力模型描述该过程。液桥力包括毛细力和黏性力两部分，根据相对液体量的大小，毛细力和黏性力对颗粒流动特性主导作用有所不同：当液体含量较小时，毛细力作用更为明显，当液体含量较高或液体黏度较大时，黏性力对颗粒的流动行为占主导作用。本文中，假设液体均匀包覆在颗粒表面，颗粒碰撞过程产生液桥结构，液体对颗粒运动的影响通过液桥力进行反馈。

其中，毛细力是有关于液体物理性质的函数，颗粒与壁面间法向静态毛细力如式（10）所示[27]：

与湿颗粒/壁面间相互作用相似，湿颗粒间的法向毛细力Fcp,n如式（11）所示：

基于Lambert 等[28]和Liu 等[29]的工作，黏性力同样从切向和法向两个方向进行求解[30-31]，其中切向方向上黏性力表达式为：

法向黏性力[32]表达式为：

1.2.3 磁场力 通常情况下，磁场力包括磁场梯度力和粒子间磁场作用力两部分。其原理如图1所示。

当颗粒被磁化后，颗粒未发生直接碰撞时，颗粒间受到磁场力的作用，并分为径向（Fr）和切向（Fθ）两个方向，如图1（a）所示；当颗粒间未发生碰撞但小于液桥临界断裂距离时，颗粒受到磁场力、液桥力以及曳力的作用，如图1（b）所示；当颗粒间发生直接碰撞产生形变时，颗粒受到接触力、液桥力、磁场力以及曳力的作用，如图1（c）所示。

图1 磁场作用下含湿磁性颗粒受力情况示意图Fig.1 Schematic diagram of forces imposing on wet particles under effect of magnetic field

磁场力模型的应用基于以下假设：（1）颗粒为球形；（2）颗粒之间间距不大于两倍颗粒直径之和；（3）磁性颗粒适用于软磁性材料的颗粒；（4）颗粒为理想偶极子；（5）忽略颗粒之间的静电效应。磁化后的铁磁颗粒会产生磁感应场，其不仅受到外磁场力的作用，还受到临近颗粒的作用力。如果相邻磁性颗粒相对位置与磁场方向一致时，颗粒间磁感应力表现为引力；如果相邻磁性颗粒相对位置与磁场方向垂直时则表现为排斥力[19]。颗粒间磁场力及磁场梯度力计算公式为[33]：

1.3 气固之间动量交换

气相运动通过体积平均N-S 方程进行求解，气体动量方程无法直接闭合，气固之间动量交换需要通过建立相应的动量交换方程进行求解，相间动量交换速率是与气固两相之间速度差、空隙率等因素相关的函数，Fgp如式（24）所示：

其中，动量交换系数β对于准确描述流化床内气固两相之间动量交换过程是十分重要的。但直接从理论推导得到其数值存在一定难度，目前研究者们通过实验以及直接数值模拟等方法建立了不同曳力系数半经验公式。本文中选用Beetstra等[34]提出的曳力模型，目前已广泛应用于流化床内气固两相流动特性的计算中[35-36]。求解方程如下所示：

在所有曳力模型中，颗粒Reynolds数的定义为：

2 边界条件及模拟工况

本文中选用的磁场力模型、液桥力模型均在前期的研究中得到了验证[37-38]。因此，本文应用建立的数学模型对Collier 等[39]研究中的鼓泡流化床中气固两相流动特性进行研究，具体结构及尺寸如表1和图2 所示。底部为布风板，作为流化气体入口。对于气相，顶部和壁面分别采用压力出口和无滑移边界条件。对于固相，模拟中颗粒总数为16000个，颗粒平均直径为3 mm，假设颗粒含有软磁性物质并可以被均匀磁化[40]，是理想的可被磁化的球形颗粒，颗粒磁化率、密度相同。模拟过程中，所有工况模拟时间持续15 s，模拟参数如表1 所示。本文中仅考虑匀强磁场对含湿磁性颗粒系统中介尺度结构演化过程的影响，磁场强度分别为0.005、0.010 和0.020 T，湿颗粒系统中液体含量为0.01%。

表1 模拟参数设置Table 1 Parameters used in the simulation

图2 流化床结构示意图Fig.2 Structure of the bubbling fluidized bed

3 结果与讨论

3.1 无磁场作用下湿颗粒系统介尺度结构演化特性研究

图3中给出了无磁场作用下一个气泡生长周期内干颗粒系统和湿颗粒系统中颗粒空间分布情况。从图中可以发现，在干颗粒系统中流化床中形成明显的气泡结构，气泡结构边界较为清晰（气泡1），气泡内部携带颗粒向上运动。随着气泡向上运动，气泡到达床层表面破裂，同时新的气泡（气泡2）在床层底部生成，具体演化结构如图3（a）所示。与干颗粒相比，湿颗粒系统中形成的气泡结构内部存在明显的聚团结构，气泡结构内部聚团与气体进行动量交换，气泡从床层底部产生，随着气泡向上运动，气泡结构长径比不断增大，气泡边缘处的聚团结构更不规则，气泡逐渐向上运动到达床层表面后推动床层表面形成的颗粒聚团向两侧运动，如图3（b）所示。

图3 无磁场作用下一个气泡生长周期内颗粒空间分布情况Fig.3 Instantaneous particle distribution and bubble forming process without magnetic field in dry and wet particle systems (a cycle)

图4中给出了无磁场作用下干颗粒系统和湿颗粒系统中压降脉动情况以及对应气泡结构空间分布情况。其中，图4（b）中气泡结构通过空隙率进行识别。根据不同时刻空隙率云图分布情况，当空隙率位于为[0.8，1.0]区间时，认为该区域为气泡结构。根据该方法，将不同瞬时气泡结构进行图像叠加绘制得到不同工况下不同时刻气泡结构，直观追踪气泡生长过程。由图4（a）中的压降分布情况可以发现，与干颗粒相比湿颗粒系统中床层压降脉动更为剧烈，压降脉动幅度更大。这一现象说明，针对本文中的湿颗粒工况，形成的湿颗粒聚团结构增加了床层的阻力，但床层内形成了完整的气泡结构，因此床层的脉动与干颗粒系统相比较为剧烈，气固两相之间的动量交换更为剧烈。同时，气泡内部的聚团结构增大了床层压降的不稳定性。如图4（b）所示，在干颗粒系统中，气泡宽度随着气泡上升过程逐渐增大，当气泡运动到床层表面时，气泡宽度接近床层宽度，气泡结构充分发展，在床层表面破裂。而在湿颗粒系统中气泡结构长径比明显大于干颗粒系统中气泡长径比，并沿着床层中线向上运动。同时在湿颗粒系统中由于受到液桥力的限制，气泡两侧受到挤压，气泡宽度无法生长到床层宽度，因此气泡以更高的长径比结构突破床层阻力向上运动。

图4 无磁场作用下床层压降脉动及一个气泡生长周期内气泡生长情况Fig.4 Distribution of pressure drop and bubble evolution process without magnetic field (a cycle)

图5中给出了无磁场作用下干颗粒与湿颗粒系统中气泡颗粒温度随着颗粒体积分数变化情况，其中气泡颗粒温度与气泡速度脉动的二阶矩相关[41]：

图5 干、湿颗粒系统中气泡颗粒温度分布情况Fig.5 Distribution of bubble granular temperature in dry and wet particle systems

从图中可以发现，湿颗粒系统气泡颗粒温度峰值略高于干颗粒系统中气泡颗粒温度峰值，位于颗粒体积分数[0.25，0.35]对应区域，而该区域对应气泡边缘位置，这说明在气泡边缘位置由于受到液体的限制，气泡周围受到阻力增强，导致该区域的脉动增强，同时也导致气泡结构与干颗粒系统中气泡结构有明显不同，气泡长宽比更大。而在空隙率[0.8，1.0]区域，即对应气泡内部区域，气泡颗粒温度与干颗粒系统较为接近，但分布更不规则。这是由于气泡内部存在更多分散的“小聚团”结构，导致气泡内部结构的速度脉动更不规则。

3.2 匀强磁场作用下湿颗粒系统介尺度结构演化特性研究

图6中给出了不同磁场强度下一个气泡生长周期内颗粒空间分布情况。从图中可以发现，当磁场强度为0.005 T 时，如图6（a）所示，气泡从床层底部产生，气泡边界不规则且气泡内部存在明显的颗粒聚团，随着气泡不断向床层上部运动，气泡尺寸逐渐增大，并在床层表面破碎推动块状颗粒聚团向两侧运动。随着磁场强度增大，颗粒聚团逐渐由块状转变为沿着磁感线方向的链条状。如图6（b）所示，当磁场强度为0.010 T 时，气泡尺寸明显减小，气泡边界更不清晰。当磁场强度增强到0.020 T 时，如图6（c）所示，气泡结构明显减小，由于磁场作用增强，气泡和颗粒运动被限制，少量颗粒以链状颗粒聚团沿着磁感线向上运动，流动结构发生明显变化。

图7中给出了不同磁场强度下时均气泡颗粒温度分布情况以及气泡颗粒温度随着颗粒体积分数变化情况。从图7（a）中可以发现，当磁场强度为0.005 T 时，气泡颗粒温度存在一个位于床层上部气泡核心，说明在床层上部气泡脉动相对较为剧烈。随着磁场强度增强到0.010 T，气泡颗粒温度明显减小，气泡颗粒温度核心几乎消失，说明气泡脉动现象减弱。当磁场强度进一步增强到0.020 T时，气泡脉动几乎消失，这一现象说明随着磁场强度增强，气泡脉动现象受到明显限制。由图7（b）可知，随着磁场强度增强，气泡颗粒温度明显减小，当磁场强度为0.005 T 和0.010 T 时，气泡颗粒温度在颗粒体积分数[0.25，0.35]范围内存在峰值，该区域对应气泡边界处位置，说明气泡边界处气固之间动量交换剧烈，脉动较为强烈。随着颗粒体积分数增大，由于颗粒同时受到液桥力、磁场力的限制，气泡脉动明显被削弱。当磁场强度为0.020 T时，在较低颗粒分数处存在峰值，结合图6中颗粒空间分布发现，该区域对应床层上部自由空间区域。

图6 不同磁场强度下一个气泡生长周期内颗粒空间分布情况Fig.6 Instantaneous particle distribution and bubble forming process under different magnetic field intensities in wet particle system

图8中给出了不同磁场强度下压降脉动情况以及对应气泡空间分布情况。由图8（a）中的压降分布情况可以发现，随着磁场强度增强，压降脉动周期逐渐减小，这一现象说明由于受到颗粒间液桥力以及磁场力的限制，气泡生长运动周期明显减小。此外，随着磁场强度的增强，压降脉动振幅逐渐减小，这一现象说明流化床内气泡形成和演化过程明显受到削弱。图8（b）给出了气泡生长过程中的气泡结构演化过程，从图中可以发现，随着磁场强度的增强，气泡尺寸逐渐减小，但气泡生成频率增加，在流化床内运动空间逐渐受到限制，无法达到床层顶部，气泡边界更不规则。这一现象说明，引入匀强磁场限制了气泡结构的生成和演化过程。

图8 不同磁场强度下床层压降脉动及一个气泡生长周期内气泡生长情况Fig.8 Distribution of pressure drop and bubble evolution process under different magnetic field intensities

从图8可知，引入匀强磁场后，流化床内气泡尺寸减小但生成频率提高。为了进一步说明磁场湿颗粒系统中气泡演化过程作用机制，图9 在匀强磁场B=0.005 T 工况基础上，引入梯度磁场（k=0.005 T/m）。从图中可以发现，引入与重力方向相反的梯度磁场后气泡长径比增大，通过提高颗粒向上的作用，促进了气泡的生长。因此，通过施加合适的磁场强度或者磁场梯度可以有效控制湿颗粒系统气泡演化过程，突破颗粒之间液桥力对颗粒的运动阻力。

图9 梯度磁场对一个气泡生长周期内气泡生长情况的影响Fig.9 Effects of magnetic field gradient on bubble evolution process

3.3 匀强磁场作用下湿颗粒系统中气泡边界受力竞争机制研究

由于气泡周围受到颗粒间接触力、磁场力、气固之间交互作用等因素共同的影响，通过将颗粒受到的作用力与重力进行对比，并对颗粒受力进行无量纲化处理，对比了气泡区域垂直方向上碰撞力与重力比值（Fcon/Fmg）、外加磁场力与重力比值（Fmag/Fmg）、液桥力与重力比值（Fliq/Fmg）以及曳力（气固之间作用力）与重力比值（Fdrag/Fmg）分布情况，如图10所示。当磁场强度为0.005 T时，流化床内存在一个正在上升中的气泡和底部刚刚产生的气泡，底部产生的气泡初始阶段气泡尺寸较小，气泡周围气固之间的动量交换明显高于颗粒碰撞、颗粒间液桥力和磁场力产生的运动阻力，此时液桥力与磁场力大小几乎相同；当气泡上升到床层中间高度时，气泡的宽度和高度明显增大，此时气泡受到的气固之间的阻力值略有减小，颗粒之间碰撞产生的阻力、颗粒间液桥力略有增大，此外位于较高位置处的气泡发生破裂；随着气泡继续向上运动，气泡长径比进一步增大，气泡边缘处颗粒碰撞过程产生的阻力进一步增强，气泡整体受到的运动阻力随着气泡逐渐运动到床层表面处逐渐减小，在该工况下可以看出磁场力未能完全克服颗粒之间液桥形成的阻力。当磁场强度为0.010 T时，床层内同样同时存在两个气泡结构，且运动周期更短，这与图8中压降脉动分布一致。与磁场强度0.005 T相比，此时磁场对颗粒运动阻力增强，因此进一步阻碍了气泡的运动，气固之间的动量交换逐渐减小。由于气泡内部存在明显的颗粒聚团结构，气泡内部受到的阻力波动增强，此时液桥力明显增大，这也说明在气泡内部有明显的聚团结构，液桥力与磁场力共同控制着气泡的运动。当磁场强度为0.020 T时，一个气泡演化周期床层内仅有一个气泡存在，根据颗粒的受力分布情况可以发现，匀强磁场对颗粒运动阻力增强，从而对气泡的运动阻力也进一步增大，明显限制了气泡的运动，结合颗粒空间分布情况气泡内部存在更多不规则的颗粒聚团结构，气泡内部受到的阻力增强，磁场力明显高于颗粒之间的液桥力，这也说明磁场和液桥力进一步限制了气泡的演化过程，此时磁场作用对气泡的限制作用更为明显。

4 结 论

本文采用CFD-DEM 方法对鼓泡流化床中典型的介尺度结构演化过程展开研究，并分析外加匀强磁场对含湿颗粒系统中介尺度结构演化过程的影响。分析了没有外部磁场的情况下，干、湿颗粒系统中气泡的演化过程。在此基础上，引入了外加匀强磁场，研究了湿颗粒系统中介尺度结构在磁场作用下的演化机制。并通过分析气泡受力、气泡边缘处颗粒接触力、磁场力以及曳力，获得了不同磁场强度对湿颗粒系统中气泡结构演化过程的主要影响因素，获得了如下主要结论。

（1）随着磁场强度增大，颗粒聚团逐渐由块状转变为沿着磁感线方向的链条状，气泡尺寸明显减小，气泡边界更不清晰，气泡演化过程受到抑制。同时，随着磁场强度增强，压降脉动周期逐渐减小，说明由于受到颗粒间液桥力以及磁场力的限制，气泡生长运动周期明显减小。

（2）气泡结构生成初期，气泡尺寸较小，受到气泡上部床层重力以及阻力的影响，气泡受到的阻碍作用较大，随着气泡结构不断生长并沿床层上升，气泡边缘处受到的阻力逐渐减小，由于气泡内部在该工况下存在不规则聚团，气泡中心区域受到的阻力高于气泡边缘位置。

（3）对比了气泡区域接触力与重力比值（Fcon/Fmg）、外加磁场力与重力比值（Fmag/Fmg）、液桥力与重力比值（Fliq/Fmg）以及曳力（气固之间作用力）与重力比值（Fdrag/Fmg）分布情况。随着磁场强度增强，匀强磁场对颗粒运动阻力增强，气泡内部存在更多不规则的颗粒聚团结构，气泡内部受到的阻力增强，限制了气泡的演化过程。

本文通过添加匀强磁场，限制了湿颗粒流化床内气泡结构的生成，减小了气泡的运动周期，加快了气泡生成频率，添加适当的梯度磁场可以促进气泡的生成。后续将进一步开展梯度磁场促进或抑制气泡结构生长及演化机制研究，为通过磁场调节湿颗粒系统传热传质特性提供一定理论基础。

符 号 说 明

B——磁感应强度，T

d——浸没高度，m

dp——颗粒直径，m

Fc——接触力，N

Fc,t——切向接触力，N

Fgp——气相与颗粒相间的动量交换率，kg/(m2·s2)

Flb——液桥力，N

Flb,t——切向液桥力，N

Fmag——磁场力，N

Fme——磁场梯度力，N

g——重力加速度，m/s2

H——颗粒/壁面间的分离距离，m；

Ip——转动惯量，kg·m2

k——弹簧刚度，N/m

Mf——用于计算时间平均值的帧数

M——磁场强度，A/m

∇M——磁场强度梯度，A/m2

m——磁矩，A/m2

mp——颗粒质量，kg

Np——模拟单元内的颗粒数

p——气体压力，Pa

r——颗粒之间相对距离，m

r——颗粒中心位置，m

rp——颗粒半径，m

Tp——转矩，N·m

Tr——滚动摩擦转矩，N·m

t——时间，s

ug——气体速度，m/s

Vcell——模拟单元体积，m3

Vp——颗粒体积，m3

vp——颗粒速度，m/s

vr——相对碰撞速度，m/s

β——相间动量交换系数，kg/(m3·s）

εg——每个计算网格内的气相空隙率

δ——弹性变形量，m

η——阻尼系数，N·s/m

Θ——气泡颗粒温度，m2/s2

θ——接触角/粒子连线与磁感线间的夹角，rad

μf——滑动摩擦系数

μg——气体剪切黏度，Pa·s

μr——滚动摩擦系数

μ0——真空磁导率，N/A2

ρg——气体密度，kg/m3

σ——表面张力系数，N/m

φ——半填充角，rad

χe——颗粒的有效磁化率

ωp——颗粒旋转速度，rad/s

下角标

n——法向

t——切向